2023年河南省+南阳市+卧龙区南阳市第二十一学校中考数学四模试卷+

这是一份2023年河南省+南阳市+卧龙区南阳市第二十一学校中考数学四模试卷+，共30页。试卷主要包含了绝对值是，下列计算正确的是，如图，在中，等内容，欢迎下载使用。

2023年河南省南阳第二十一学校中考数学四模试卷
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）绝对值是　　
A． B． C． D．
2．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）据报道，在中国科研团队在联合攻关下，成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．实验显示，当求解5000万个样本的高斯玻色取样时，“九章”仅需200秒，从运算等效来看，“九章”的计算用时仅为“悬铃木”用时的百亿分之一．“百亿分之一”用科学记数法可以表示为　　
A． B． C． D．
4．（3分）“从明天起，做一个幸福的人，喂马，劈柴，周游世界”．如图所示，已知一个正方体展开图六个面依次书写“明”“天”“喂”“马”“劈”“柴”，则折叠后与“明”相对的是　　

A．天 B．马 C．劈 D．柴
5．（3分）如图，，，垂足为，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
6．（3分）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B．且 C． D．且
7．（3分）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则的长为　　

A． B．3 C．4 D．5
8．（3分）如图，在中，．轴，已知点的纵坐标是6，将绕点旋转得到，使恰好落在轴的负半轴点处，若点和点关于原点成中心对称，则点的坐标　　

A． B． C． D．
9．（3分）如图所示，在平行四边形中，，以点为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．交的延长线于点，则的长度为　　

A． B．2 C． D．3
10．（3分）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积为，压敏电阻的阻值随所受液体压力的变化关系如图2所示（水深越深，压力越大），电源电压保持不变，当电路中的电流为时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式，，，则下列说法中不正确的是　　

A．当水箱未装水时，压强为
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力为
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度是
D．若想使水深时报警，应使定值电阻的阻值为
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若式子，则实数的值是 　　．
12．（3分）不等式组的解集是 　　．
13．（3分）圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，恰好选中祖冲之和刘徽的画像的概率为 　　．
14．（3分）如图所示，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为 　　．

15．（3分）如图，矩形中，，，点为矩形对角线，的交点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，当点落在矩形的对称轴上时，的长为 　　．

三.解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）．
（2）化简：．
17．（9分）《义务教育劳动课程标准年版）》已正式颁布，围绕劳动课程要培养的“核心素养”即“劳动素养”，劳动课程内容包含“日常生活劳动”“生产劳动”“服务性劳动”．某校为培养学生的劳动观念和劳动能力，鼓励学生增加日常家务劳动的时间，积极参与日常生活劳动．某数学兴趣小组对该校七、八两个年级的学生每周参加家务劳动的时间进行了收集、整理及分析．分别在每个年级随机抽取20人，并统计了他们每周参加家务劳动的时间（单位：分钟，劳动时间分为四组：．；．；．；．．
20名七年级学生每周参加家务劳动时间整理如下：
60，63，70，71，80，82，90，95，85，65，64，66，72，73，80，80，85，86，89，95．
20名八年级学生每周参加家务劳动时间解形统计图如图所示：

其中组学生每周参加家务劳动的时间为80，80，82，85，85，85，87，89．
某同学根据收集的数据整理了以下各统计量（查阅相关资料，可知每周参加家务劳动时间不少于70分钟为达标）

平均数
中位数
众数
方差
达标率
七年级
77.55
80
80
113.0475

八年级
80

85
94.3

根据以上信息，完成以下各题：
（1）上述表格中的　　，　　．
（2）若该校七年级学生人数为200，请估计该校七年级学生中每周参加家务劳动的时间达标的学生人数．
（3）请根据以上统计量，分析哪个年级学生每周参加家务劳动的情况较好，并说明理由．
18．（9分）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）若直线过点，且不经过第一象限，写出一个满足条件的直线的函数解析式，并说明理由．

19．（9分）利用风力发电非常环保，且风能蕴量巨大，因此风力发电日益受到重视．2022年9月，河南省发改委下发《关于2022年风电和集中式光伏发电项目建设有关事项的通知》，共73个风电项目进入河南省新能源前期项目库，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图，图2是从图1引出的平面图，王丹同学站在处测得塔杆顶端的仰角是，她又沿方向水平前进43米到达山底处，在山顶处发现当一叶片到达最高位置时测得叶片的顶端的仰角是（点、、在同一直线上）．已知塔杆的高为60米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高为10米，，，求叶片的长度．（答案精确到0.1米．参考数据：，，

20．（9分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
21．（9分）足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用品射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，战术中足球的运动轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门30米的点处起脚吊射，假如球飞行的线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米，以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）此时，葡萄牙队的守门员在起跳后双手能达到的最大高度是多少？在球门前方距离球门线1米处，原地起跳，在没有摩洛哥队员干扰的情况下，他能否在空中截住这次吊射？请说明理由．
22．（10分）水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，如图1所示是一种水车的实物图，由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成，某数学兴趣小组对其进行了研究，示意图如图2所示，为立式水轮，水轮在水流的作用下，将水送至处，再经水槽送至处水渠，为水轮与水面的交汇处．连接，，，交于点，连接，已知，与相切．
（1）求证：为等腰三角形．
（2）若米，米，且，求水渠离水面的高度．

23．（10分）综合与实践：折纸中的数学折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都广为流传的，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的限光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识．
（1）折纸1：如图①，在一张长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图②．
问题1：重叠部分的的形状 　　（是、不是）等腰三角形．
问题2：如果长方形纸片，，重叠部分的面积为 　　．
（2）折纸2：如图③，长方形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图③中找出点的位置．
（3）折纸3：如图④，长方形纸片，，，若点为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求的长．



2023年河南省南阳第二十一学校中考数学四模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）绝对值是　　
A． B． C． D．
【分析】本题依据有理数绝对值的计算即可得到答案．
【解答】解：负数的绝对值等于这个数的相反数，绝对值等于．
故选：．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质．
2．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】利用合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方以及完全平方公式对各项进行运算即可．
【解答】解：．，所以选项计算正确，故选项符合题意；
．，所以选项计算错误，故选项不符合题意；
．与不属于同类项，不能合并，故选项不符合题意；
．，所以选项计算错误，故选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了完全平方式，幂的乘方，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则，熟练掌握完全平方式，幂的乘方与同底数幂的除法法进行计算是解决本题的关键．
3．（3分）据报道，在中国科研团队在联合攻关下，成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．实验显示，当求解5000万个样本的高斯玻色取样时，“九章”仅需200秒，从运算等效来看，“九章”的计算用时仅为“悬铃木”用时的百亿分之一．“百亿分之一”用科学记数法可以表示为　　
A． B． C． D．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：“百亿分之一”用科学记数法可以表示为．
故选：．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（3分）“从明天起，做一个幸福的人，喂马，劈柴，周游世界”．如图所示，已知一个正方体展开图六个面依次书写“明”“天”“喂”“马”“劈”“柴”，则折叠后与“明”相对的是　　

A．天 B．马 C．劈 D．柴
【分析】依据隔一对应和“”形法则，可得“天”与“马”相对，“喂”与“劈”相对，“明”与“柴”相对．
【解答】解：根据正方体的展开图可知：
折叠后与“明”相对的是“柴”．
故选：．
【点评】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
5．（3分）如图，，，垂足为，若，则的度数为　　

A． B． C． D．
【分析】由平行线的性质得到，由垂直的定义得到，即可求出的度数．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查平行线的性质，垂线，关键是掌握平行线的性质，垂直的定义．
6．（3分）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　
A． B．且 C． D．且
【分析】由一元二次方程有实数根，则，即，且△，即△，然后解两个不等式得到的取值范围．
【解答】解：一元二次方程有实数根，
，即，
△，即△，
解得，
的取值范围是且．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的根的判别式△．当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．
7．（3分）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则的长为　　

A． B．3 C．4 D．5
【分析】由可得点为中点，从而可得为的中位线，进而求解．
【解答】解：在矩形中，，，
，
，
点为中点，
又点为边的中点，
为的中位线，
．
故选：．
【点评】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，解题关键是掌握三角形的中位线的性质．
8．（3分）如图，在中，．轴，已知点的纵坐标是6，将绕点旋转得到，使恰好落在轴的负半轴点处，若点和点关于原点成中心对称，则点的坐标　　

A． B． C． D．
【分析】根据旋转可得，设点坐标为，根据点和点关于原点成中心对称，可得点坐标为，得，所以点坐标为，点坐标为，根据列出方程即可求出的值，进而可得结果．
【解答】解：绕点旋转，
，
，，，
轴，
轴，
设点坐标为，
点和点关于原点成中心对称，
点坐标为，
，
点坐标为，
点坐标为，
，
，
解得，
点的坐标为．
故选：．
【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转，关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
9．（3分）如图所示，在平行四边形中，，以点为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．交的延长线于点，则的长度为　　

A． B．2 C． D．3
【分析】证明，，可得结论．
【解答】解：由作图可知，平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查作图基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（3分）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积为，压敏电阻的阻值随所受液体压力的变化关系如图2所示（水深越深，压力越大），电源电压保持不变，当电路中的电流为时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式，，，则下列说法中不正确的是　　

A．当水箱未装水时，压强为
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力为
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度是
D．若想使水深时报警，应使定值电阻的阻值为
【分析】由图3可以直接判断；根据欧姆定律计算当报警器刚好开始报警时通过电路的电阻，根据串联电路电阻规律计算此时压敏电阻的阻值，根据计算压敏电阻受到的压力即可判断，根据液体压公式计算水箱中水的深度即可判断；根据液体压强公式计算水深为时压敏电阻受到的压强，根据计算此时压敏电阻受到的压力，由乙图可知此时压敏电阻的阻值，由知当报警器刚好开始报警时电路总电阻，根据串联电路电阻规律计算选用的定值电阻的阻值．
【解答】解：、由图3可知，水箱未装水时，压强为，
故正确，不符合题意；
、当报警器刚好开始报警时，根据欧姆定律可知此时电路的电阻：，
比时压敏电阻的阻值：，由乙图可知此时压敏电阻受到压力为，
故不正确，符合题意；
、当报警器刚好开始报警时，则水箱受到的压强为，
则水箱的深度为，
故正确，不符合题意；
、水深为时，压敏电阻受到的压强：，
此时压敏电阻受到的压力：，
由图2可知此时压敏电阻的阻值为，
由知当报警器刚好开始报警时，电路总电阻为，
根据串联电路电阻规律可知选用的定值电阻的阻值：．
故正确，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数，关键串联电路特点、欧姆定律、液体压强公式、压强定义公式的灵活运用．
二.填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若式子，则实数的值是 　　．
【分析】由分式的分子为0，分母不为0，求解即可．
【解答】解：若分式的值为0，需满足且．
的解为，的解为，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式值为0，掌握分式值为0的条件是解决本题的关键．
12．（3分）不等式组的解集是 　　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（3分）圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．某校进行校园文化建设，拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅，恰好选中祖冲之和刘徽的画像的概率为 　　．
【分析】将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉4位数学家记为，，，，画树状出所有等可能结果及符合条件的结果数，根据概率公式求解即可．
【解答】解：由题意，依次将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉4位数学家记为，，，，画树状图如下：

由树状图，可知共有12种等可能的结果，其中恰好选中祖冲之和刘徽的画像的结果有2种，
（恰好选中祖冲之和刘徽的画像．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
14．（3分）如图所示，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为 　　．

【分析】连接，如图，利用折叠性质得由弧、线段和所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，，则，，从而得到，，然后根据扇形面积公式，利用由弧、线段和所围成的图形的面积，能进而求出答案．
【解答】解：连接、．根据题意可知点是的中点，

，
在中，，，

，
，，
，
是等边三角形，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，掌握求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积，记住扇形面积的计算公式是解题的关键．
15．（3分）如图，矩形中，，，点为矩形对角线，的交点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，当点落在矩形的对称轴上时，的长为 　2或　．

【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：四边形是矩形，
，
，，，
，
，
如图，当落在的垂直平分线上时，
，
将绕点顺时针旋转，
，
当点落在的垂直平分线上时，连接，设的垂直平分线于交于点，
同理可得，
，
四边形是菱形，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
综上所述：的长为2或，
故答案为：2或．

【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
三.解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）．
（2）化简：．
【分析】（1）利用绝对值的性质，立方根的定义，负整数指数幂进行计算即可；
（2）利用分式的加减运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式

；

（2）原式


．
【点评】本题考查实数的运算及分式的化简，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
17．（9分）《义务教育劳动课程标准年版）》已正式颁布，围绕劳动课程要培养的“核心素养”即“劳动素养”，劳动课程内容包含“日常生活劳动”“生产劳动”“服务性劳动”．某校为培养学生的劳动观念和劳动能力，鼓励学生增加日常家务劳动的时间，积极参与日常生活劳动．某数学兴趣小组对该校七、八两个年级的学生每周参加家务劳动的时间进行了收集、整理及分析．分别在每个年级随机抽取20人，并统计了他们每周参加家务劳动的时间（单位：分钟，劳动时间分为四组：．；．；．；．．
20名七年级学生每周参加家务劳动时间整理如下：
60，63，70，71，80，82，90，95，85，65，64，66，72，73，80，80，85，86，89，95．
20名八年级学生每周参加家务劳动时间解形统计图如图所示：

其中组学生每周参加家务劳动的时间为80，80，82，85，85，85，87，89．
某同学根据收集的数据整理了以下各统计量（查阅相关资料，可知每周参加家务劳动时间不少于70分钟为达标）

平均数
中位数
众数
方差
达标率
七年级
77.55
80
80
113.0475

八年级
80

85
94.3

根据以上信息，完成以下各题：
（1）上述表格中的　80　，　　．
（2）若该校七年级学生人数为200，请估计该校七年级学生中每周参加家务劳动的时间达标的学生人数．
（3）请根据以上统计量，分析哪个年级学生每周参加家务劳动的情况较好，并说明理由．
【分析】（1）根据中位数的定义计算即可，根据达标人数除以抽测的总人数即可求达标率；
（2）根据总人数乘以达标率即可求得；
（3）对各统计量进行对比分析，说明即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，八年级组人数为：人，
八年级组人数为：人，
八年级组人数为：人，
八年级组人数为：人，
故中位数为八年级组中，成绩从小到大排序的中间两个数据的平均值，为：，
七年级的达标率为：，
故答案为：80，．
（2）估计七年级学生中每周参加家务劳动的时间达标的学生人数为人，
答：估计该校七年级学生中每周参加家务劳动的时间达标的学生人数为150，
（3）八年级学生每周参加家务劳动的情况较好．
理由：统计量中显示，，即八年级的达标率高于七年级；
，即八年级的平均数高于七年级；
，即八年级的方差小于七年级，
故八年级的整体水平比较稳定且平均劳动时间高于七年级，
八年级学生每周参加家务劳动的情况较好．（理由合理即可）．
【点评】本题考查了中位数，由样本所占百分比估计总体中的数量，利用合适的统计量做决策，由扇形统计图推断结论，熟练掌握用样本的达标率求总体的达标率是解题的关键．
18．（9分）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）若直线过点，且不经过第一象限，写出一个满足条件的直线的函数解析式，并说明理由．

【分析】（1）先将点的坐标代入反比例函数中可得的值，则，代入一次函数可得的值；
（2）根据直线过点，且不经过第一象限，可知直线的解析式为：，则可以是负数．
【解答】解：（1）将点代入反比例函数中得：，
，
，
将点代入中得：，；
（2）满足条件的直线的函数表达式可以是：，理由如下：
直线，
，
直线过点，且不经过第一象限（即，
满足条件的直线的函数表达式可以是：．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，涉及反比例函数的图象与一次函数的交点，求出点的坐标是解题的关键．
19．（9分）利用风力发电非常环保，且风能蕴量巨大，因此风力发电日益受到重视．2022年9月，河南省发改委下发《关于2022年风电和集中式光伏发电项目建设有关事项的通知》，共73个风电项目进入河南省新能源前期项目库，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图，图2是从图1引出的平面图，王丹同学站在处测得塔杆顶端的仰角是，她又沿方向水平前进43米到达山底处，在山顶处发现当一叶片到达最高位置时测得叶片的顶端的仰角是（点、、在同一直线上）．已知塔杆的高为60米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高为10米，，，求叶片的长度．（答案精确到0.1米．参考数据：，，

【分析】过点作于点，首先得到，，然后利用三角函数值求出，然后证明出是等腰直角三角形，利用线段的和差求解即可．
【解答】解：如图，过点作于点，则，．

在中，，
（米，
（米，
，
是等腰直角三角形，
米．
米，
（米，
（米．
答：叶片的长度约为35.9米．
【点评】此题考查了三角函数的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
20．（9分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
【分析】（1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据数量总价单价，结合用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设学校可以购买个篮球，则可以购买个足球，利用总价单价数量，结合购买足球和篮球的总费用不超过15500元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．
（2）设学校可以购买个篮球，则可以购买个足球，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以取的最大值为116．
答：学校最多可以购买116个篮球．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．（9分）足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用品射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，战术中足球的运动轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门30米的点处起脚吊射，假如球飞行的线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米，以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）此时，葡萄牙队的守门员在起跳后双手能达到的最大高度是多少？在球门前方距离球门线1米处，原地起跳，在没有摩洛哥队员干扰的情况下，他能否在空中截住这次吊射？请说明理由．
【分析】（1）根据题意得出二次函数的顶点坐标，进而求出二次函数解析式；
（2）求出当时的函数值，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意可得，足球距离点米时，足球达到最大高度8米，
设抛物线解析式为：，
把代入解析式得：，
解得：，
故抛物线解析式为：，
（2）由（1）知抛物线的解析式为，
守门员在球门前方距离球门线1米处，
（米，
当时，，

葡萄牙队的守门员能在空中截住这次吊射．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键．
22．（10分）水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，如图1所示是一种水车的实物图，由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成，某数学兴趣小组对其进行了研究，示意图如图2所示，为立式水轮，水轮在水流的作用下，将水送至处，再经水槽送至处水渠，为水轮与水面的交汇处．连接，，，交于点，连接，已知，与相切．
（1）求证：为等腰三角形．
（2）若米，米，且，求水渠离水面的高度．

【分析】（1）利用圆周角定理、等腰三角形的性质及角的和差关系先说明，再得结论．
（2）先说明，再利用相似三角形的性质求出的长，最后在中，利用直角三角形的边角间关系得结论．
【解答】（1）证明：连接，延长交于点，连接．
圆周角、都对着弧，
．
是的直径，
．
．
与相切，
．
．
．
，
．
．
为等腰三角形．
（2）解：，，
．
．
．
在中，
，
（米．
答：水渠离水面的高度为米．

【点评】本题主要考查了圆的相关定理和计算，掌握切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
23．（10分）综合与实践：折纸中的数学折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都广为流传的，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的限光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识．
（1）折纸1：如图①，在一张长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图②．
问题1：重叠部分的的形状 　是　（是、不是）等腰三角形．
问题2：如果长方形纸片，，重叠部分的面积为 　　．
（2）折纸2：如图③，长方形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图③中找出点的位置．
（3）折纸3：如图④，长方形纸片，，，若点为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求的长．


【分析】（1）问题1：由折叠的性质知，，得到，即可求解；问题2：由的面积，即可求解；
（2）以点为圆心，以长度为半径作圆交于点，作的角平分线，交于点，即可求解；
（3）求出，证明，即可求解．
【解答】解：（1）问题1：如图②，设点是纸片下边上的点，

纸片为矩形，则，
，
由折叠的性质知，，
，
的形状为等腰三角形，
故答案为：是；
问题2：过点作于点，则，
则，
则的面积，
故答案为：；

（2）以点为圆心，以长度为半径作圆交于点，作的角平分线，交于点，
作图过程如下：


（3）过点作于点，交于点，

由题意得：，
点恰好落在的垂直平分线上，故，
在△中，，
，，则，则，
则，
，，
，
在△中，，
解得：，
则．
当点落在矩形内部时，
同理可得，．
故答案为9或15．



【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．