2021-2023年高考数学真题分项汇编专题10解三角形（全国通用）（Word版附解析）

这是一份2021-2023年高考数学真题分项汇编专题10解三角形（全国通用）（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了在中，，则，在中，已知，，，则，在中，角，，的对边分别为，，，在中，角，，所对的边分别为，，等内容，欢迎下载使用。
专题10 解三角形
知识点目录
知识点1：正余弦定理综合应用
知识点2：实际应用
知识点3：角平分线、中线、高问题
知识点4：解三角形范围与最值问题
知识点5：外接圆问题
知识点6：周长与面积问题
知识点7：解三角形中的几何应用
近三年高考真题
知识点1：正余弦定理综合应用
1．（2023•北京）在中，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由正弦定理为三角形外接圆半径）可得：
，，，
所以可化为，
即，
，
又，．
故选：．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，属简单题．
2．（2023•乙卷（理））在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由得，
得，
即，
即，得，
在中，，
，即，
则．
故选：．
【点评】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理，两角和差的三角公式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
3．（2021•甲卷（文））在中，已知，，，则　　
A．1 B． C． D．3
【答案】
【解析】设角，，所对的边分别为，，，
结合余弦定理，可得，
即，解得 舍去），
所以．
故选：．
【点评】本题考查了余弦定理，考查了方程思想，属基础题．
4．（2023•上海）已知中，角，，所对的边，，，则 ．
【答案】．
【解析】，，，
由余弦定理得，，
又，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了同角三角函数间的基本关系，属于基础题．
5．（2023•天津）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【解析】（Ⅰ），，，
则；
（Ⅱ），，，
则，化简整理可得，，解得（负值舍去）；
（Ⅲ），
，，，
则，
故，
所以．
【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
6．（2022•天津）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【解析】解（1）因为，，，
由余弦定理可得，
解得：；
（2），，所以，
由，可得，
由正弦定理可得，即，
可得，
所以；
（3）因为，，
所以，，
，可得，
所以，
所以的值为．
【点评】本题考查正余弦定理及两角差的正弦公式的应用，属于基础题．
7．（2022•乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，求；
（2）证明：．
【解析】（1）由，
又，，
，，即（舍去）或，
联立，解得；
证明：（2）由，
得，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得：，
整理可得：．
【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．
8．（2021•天津）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【解析】（1）中，，，
，，．
（2）中，由余弦定理可得．
（3）由（2）可得，
，，
．
【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．
9．（2021•上海）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，．
（1）若，求、；
（2）若，求．
【解析】（1）因为，可得，
又，可得，
由于，可得．
（2）因为，
可得，
又，
可解得，，或，，
因为，可得，，可得为钝角，
若，，可得，可得，
可得为钝角，这与为钝角矛盾，舍去，
所以，由正弦定理，可得．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

知识点2：实际应用
10．（2021•甲卷（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影，，满足，．由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为　　

A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】
【解析】过作于，过作于，
则，，，，，，
，
则在中，，
在△中，由正弦定理知，，，
，
故选：．

【点评】理解仰角的概念，各个三角形不共面，因此做好辅助线是关键．
11．（2021•乙卷（理））魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和都称为“表目距”， 与的差称为“表目距的差”，则海岛的高　　

A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
【答案】
【解析】，，故，即，
解得，，
故表高．
另如图所示，连接并延长交于点，
，
，
表高．
故选：．


【点评】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（2023•上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为．行人每沿着斜坡向上走消耗的体力为，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则 ．
【答案】．
【解析】斜坡的长度为，
上坡所消耗的总体力，
函数的导数，
由，得，得，，
由时，即时，函数单调递增，
由时，即时，函数单调递减，
即，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．
故答案为：．

【点评】本题主要考查生活的应用问题，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键，是中档题．
13．（2021•浙江）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则 ．

【答案】25．
【解析】直角三角形直角边的长分别为3，4，
直角三角形斜边的长为，
即大正方形的边长为5，，
则小正方形的面积，
．
故答案为：25．
【点评】本题考查了三角形中的几何计算和勾股定理，考查运算能力，属于基础题．
知识点3：角平分线、中线、高问题
14．（2023•甲卷（理））在中，，，，为上一点，为的平分线，则 ．
【答案】2．
【解析】如图，在中，，，
由正弦定理可得，
，又，
，，
又为的平分线，且，
，又，，
．
故答案为：2．

【点评】本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，属中档题．
15．（2021•浙江）在中，，，是的中点，，则　 　．
【答案】；．
【解析】在中：，，，解得：或（舍去）．
点是中点，，，在中：，；
在中：．
故答案为：；．
【点评】本题考查余弦定理应用，考查数学运算能力，属于中档题．
16．（2023•新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，已知面积为，为的中点，且．
（1）若，求；
（2）若，求，．
【解析】
（1）根据已知条件，推得，过作，垂足为，依次求出，，即可求解；
（2）根据已知条件，求得，两边同时平方，再结合三角形的面积公式，即可求解．
【详解】
（1）为中点，，
则，
过作，垂足为，如图所示：

中，，，，解得，
，，
故；
（2），
，
，，
则，
①，
，即②，
由①②解得，
，
，又，
．
【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
17．（2023•新高考Ⅰ）已知在中，，．
（1）求；
（2）设，求边上的高．
【解析】（1），，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
又，，
解得，
又，，
；
（2）由（1）可知，，
，
，
，，
设边上的高为，
则，
，
解得，
即边上的高为6．
【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
18．（2021•北京）在中，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上的中线的长．
条件①；
条件②的周长为；
条件③的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（Ⅰ），
由正弦定理可得，即，
，
当 时，，即，不符合题意，舍去，
，
，
即．
（Ⅱ）选①，
由正弦定理可得
，与已知条件矛盾，故不存在，
选②周长为，
，，
，
由正弦定理可得，即，
，
，
，即，，，
存在且唯一确定，
设的中点为，
，
在中，运用余弦定理，，
即，，
边上的中线的长度．
选③面积为，
，
，
，解得，
余弦定理可得
，
．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．
知识点4：解三角形范围与最值问题
19．（2022•甲卷（理））已知中，点在边上，，，．当取得最小值时， ．
【答案】．
【解析】设，，
在三角形中，，可得：，
在三角形中，，可得：，
要使得最小，即最小，
，
其中，此时，
当且仅当时，即或（舍去），即时取等号，
故答案为：．
【点评】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．
20．（2022•上海）如图，在同一平面上，，，为中点，曲线上任一点到距离相等，角，，关于对称，；
（1）若点与点重合，求的大小；
（2）在何位置，求五边形面积的最大值．

【解析】（1）点与点重合，由题意可得，，，
由余弦定理可得，
所以，在中，由正弦定理得，
所以，解得，
所以的大小为；
（2）如图，连结，，，，
曲线上任意一点到距离相等，
，
，关于对称，
点在劣弧中点或劣弧的中点位置，，
则，
则五边形面积


，其中，
当时，取最大值，
五边形面积的最大值为．


【点评】本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题．
21．（2022•新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
【解析】（1），，．
，
化为：，
，
，，
，
，．
（2）由（1）可得：，，，，
为钝角，，都为锐角，．
，
，当且仅当时取等号．
的最小值为．
【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
知识点5：外接圆问题
22．（2022•上海）已知在中，，，，则的外接圆半径为 ．
【答案】．
【解析】在中，，，，
利用余弦定理，整理得，
所以，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
知识点6：周长与面积问题
23．（2021•乙卷（文））记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则 ．
【答案】．
【解析】的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，
，
又，（负值舍）
故答案为：．
【点评】本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题．
24．（2022•浙江）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积．
【解析】（Ⅰ）因为，所以，且，
由正弦定理可得：，
即有；
（Ⅱ）因为，
所以，故，
又因为，所以，
所以；
由正弦定理可得：，
所以，
所以．
【点评】本题考查了解三角形中正弦定理、面积公式，属于基础题．
25．（2022•新高考Ⅱ）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知，．
（1）求的面积；
（2）若，求．
【解析】（1），
，
，
，
解得：，
，，即，
，
，
解得：，
．
的面积为．
（2）由正弦定理得：，
，，
由（1）得，

已知，，，
解得：．
【点评】本题考查利用正余弦定理解三角形，需灵活运用正余弦定理公式．
26．（2022•乙卷（理））记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）证明：；
（2）若，，求的周长．
【解析】（1）证明：中，，
所以，
所以，
即，
所以，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以；
（2）当，时，，，
所以，解得，
所以的周长为．
【点评】本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力，是中档题．
27．（2021•新高考Ⅱ）在中，角，，所对的边长为，，，，．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1），
根据正弦定理可得，
，，
，，，
在中，运用余弦定理可得，
，
，
．
（2），
为钝角三角形时，角必为钝角，
，
，
，
，
三角形的任意两边之和大于第三边，
，即，即，
，
为正整数，
．
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
28．（2021•上海）在中，已知，．
（1）若，求．
（2）若，求．
【解析】（1）由余弦定理得，
解得，
；
（2），由正弦定理得，又，
，，，，为锐角，
．
由余弦定理得：，又，，
，得：，解得：．
当时，时；
当时，时．
【点评】本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题．
29．（2022•北京）在中，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长．
【解析】（Ⅰ），
，
又，，
，，
；
（Ⅱ）的面积为，
，
又，，
，
，
又，
，
，
，
的周长为．
【点评】本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用，属于中档题．
30．（2023•乙卷（文））在中，已知，，．
（1）求；
（2）若为上一点．且，求的面积．
【解析】（1）在中，由余弦定理可知，
，由余弦定理可得，
又，，

（2）由（1）知：，，
，，，
的面积为．
【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积的计算，属基础题．
31．（2023•甲卷（理））记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，求面积．
【解析】（1）因为，
所以；
（2），
所以，
所以，
所以，
即，
由为三角形内角得，
面积．
【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式及三角形面积公式的应用，属于中档题．
知识点7：解三角形中的几何应用
32．（2021•新高考Ⅰ）记的内角，，的对边分别为，，．已知，点在边上，．
（1）证明：；
（2）若，求．
【解析】（1）证明：由正弦定理知，，
，，
，，
即，
，
；
（2）法一：由（1）知，
，，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
，
，
即，
得，
，
，
或，
在中，由余弦定理知，，
当时，（舍；
当时，；
综上所述，．
法二：点在边上且，
，
，
而由（1）知，
，
即，
由余弦定理知：，
，
，
，
或，
在中，由余弦定理知，，
当时，（舍；
当时，；
综上所述，．
法三：在中，由正弦定理可知，
而由题意可知，
于是，从而或．
若，则，于是，
无法构成三角形，不合题意．
若，则，
于是，满足题意，
因此由余弦定理可得．
【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的内容，是一道好题．