2021-2023年高考数学真题分项汇编专题03导数及其应用（选择题、填空题）（理）（全国通用）（Word版附解析）

这是一份2021-2023年高考数学真题分项汇编专题03导数及其应用（选择题、填空题）（理）（全国通用）（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了若过点可以作曲线的两条切线，则，若函数既有极大值也有极小值，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
专题03 导数及其应用（选择题、填空题）（理）
知识点目录
知识点1：切线问题
知识点2：单调性、极最值问题
知识点3：比较大小问题
近三年高考真题
知识点1：切线问题
1．（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】法一：函数是增函数，恒成立，
函数的图象如图，，即切点坐标在轴上方，
如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立．
点在轴或下方时，只有一条切线．
如果在曲线上，只有一条切线；
在曲线上侧，没有切线；
由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知．
故选：．
法二：设过点的切线横坐标为，
则切线方程为，可得，
设，可得，，，是增函数，
，，是减函数，
因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线．
故选：．

【点评】本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．
2．（2022•新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
【答案】，，．
【解析】，设切点坐标为，，
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
△，解得或，
即的取值范围是，，，
故答案为：，，．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
3．（2022•新高考Ⅱ）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 　 　．
【答案】，．
【解析】当时，，设切点坐标为，，
，切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
，
切线方程为，即，
当时，，与的图像关于轴对称，
切线方程也关于轴对称，
切线方程为，
综上所述，曲线经过坐标原点的两条切线方程分别为，，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
4．（2021•新高考Ⅱ）已知函数，，，函数的图象在点，和点，的两条切线互相垂直，且分别交轴于，两点，则的取值范围是 ．
【解析】当时，，导数为，
可得在点，处的斜率为，
切线的方程为，
令，可得，即，
当时，，导数为，
可得在点，处的斜率为，
令，可得，即，
由的图象在，处的切线相互垂直，可得，
即为，，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查导数的运用：切线的方程，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
5．（2021•甲卷（理））曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】．
【解析】因为，在曲线上，
所以，
所以，
则曲线在点处的切线方程为：
，即．
故答案为：．
知识点2：单调性、极最值问题
6．（2022•乙卷（理））已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】对原函数求导，分析可知：在定义域内至少有两个变号零点，
对其再求导可得：，
当时，易知在上单调递增，此时若存在使得，
则在单调递减，，单调递增，
此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，应满足，不满足题意；
当时，易知在上单调递减，此时若存在使得，
则在单调递增，，单调递减，且，
此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，且，
故仅需满足，
即：，
解得：，又因为，故
综上所述：的取值范围是．
7．（2023•新高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对函数求导可得，，
依题意，在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
易知当时，，
则函数在上单调递减，
则．
故选：．
8．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】函数定义域为，
且，
由题意，方程即有两个正根，设为，，
则有，，△，
，，
，即．
故选：．
【点评】本题考查函数极值的基础知识，属简单题．
9．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则　　
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【答案】
【解析】，令，解得或，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，且，
有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；
又，则关于点对称，故选项正确；
假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，
显然和均不在曲线上，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
10．（2023•乙卷（理））设，若函数在上单调递增，则的取值范围是 　　．
【答案】的取值范围是，．
【解析】函数在上单调递增，
在上恒成立，
即，化简可得在上恒成立，
而在上，
故有，由，化简可得，
即，，
解答，
故的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，指数函数的性质，是中档题．
知识点3：比较大小问题
11．（2021•乙卷）设，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
令，，
令，则
，
，
，
在上单调递增，
（1），
，
，
同理令，
再令，则
，
，
，
在上单调递减，
（1），
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性和最值的关系，考查了转化思想，属于难题．
12．（2022•新高考Ⅰ）设，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】构造函数，，
则，，
当时，，
时，，单调递减；
时，，单调递增，
在处取最小值（1），
，且，
，，；
，，
，；
设，
则，
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
，当时，，
当时，，单调递增，
，，，
．
故选：．
【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
13．（2021•天津）设，，，则三者大小关系为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，，
，，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，考查了三个数比较大小，是基础题．
14．（2021•新高考Ⅱ）已知，，，则下列判断正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
．
故选：．
【点评】本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．