2022-2023学年山东省潍坊市六县区高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省潍坊市六县区高一（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省潍坊市六县区高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. sin7π3的值为(    )
A. − 32 B. 12 C. −12 D. 32
2. “角α是第三象限角”是“sinα⋅tanα<0”的(    )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 为了得到函数y=12sin(2x−1)的图象，只需把y=12sin2x的图象上的所有点(    )
A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位 C. 向左平移12个单位 D. 向右平移12个单位
4. 函数f(x)=tan(2x−π4)图象的一个对称中心是(    )
A. (−π4,0) B. (π4,0) C. (π8,0) D. (0,0)
5. 已知D是△ABC的边BC上的点，且BC=3BD，则向量AD=(    )
A. AB−AC B. 13AB−13AC C. 23AB+13AC D. AB+AC
6. 函数f(x)=2x⋅tanx(−1≤x≤1)的图象大致是(    )
A. B. C. D.
7. 向量b=(1,2)在向量a=(−1,1)上的投影向量的坐标为(    )
A. (12,12) B. (−12,12) C. (12,−12) D. (− 22, 22)
8. 某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线m上取长度为1的线段AB，并作等边三角形ABC，然后以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D；再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E；再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧，交线段BA的延长线于点F；再以点B为圆心，BF为半径逆时针画圆弧，…；以此类推，得到的螺线如图所示.当螺线与直线m有4个交点(不含A点)时，则螺线长度为(    )

A. 14π B. 30π C. 100π3 D. 110π3
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 以下各式化简结果正确的是(    )
A. sinθ−cosθtanθ−1=cosθ
B. 1−2sin20°cos20°=cos20°−sin20°
C. sin(−36°)+cos54°=0
D. sin(π2−θ)cos(π2+θ)=sinθcosθ
10. 下列说法错误的是(    )
A. 若a⋅b=b⋅c，则a=c
B. 若a//b，则存在唯一实数λ使得a=λb
C. 若a//b，b//c，则a//c
D. 与非零向量a共线的单位向量为±a|a|
11. 已知函数f(x)=sin(ωx+π6)在(0,π)上是单调函数，则下列结论中正确的有(    )
A. 当ω>0时，ω的取值范围是0<ω≤13
B. 当ω<0时，ω的取值范围是−13≤ω<0
C. 当ω>0时，ω的取值范围是0<ω≤23
D. 当ω<0时，ω的取值范围是−23≤ω<0
12. 小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”.小明是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中水滴的轴截面(如图)，该水滴轴截面由线段AB，AC和优弧BC围成，设优弧BC所在圆的圆心为O，半径为R，其中BC⊥AO，AB，AC与圆弧相切，已知水滴轴截面的水平宽度与竖直高度之比为32，则(    )
A. 优弧BC的长度5π3R
B. OA=2R
C. sin∠BAO=12
D. “水滴”的轴截面的最大面积为( 3+2π3)R2
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量a=(−1,2)，b=(m,1).若向量a+b与a平行，则m= ______ ．
14. 已知tanα=−43，且α∈[0,π]，则2sinα−cosα= ______ ．
15. 已知f(x)=2023sinx+2024tanx−1，f(−2)+f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)= ______ ．
16. 设正八边形A1A2⋯A8的外接圆半径为1，圆心是点O，点P在边A1A2上，则OP⋅i=18OAi= ______ ；若P在线段A1A2上，且A3P=xA3A2+yA3A4，则x−y的取值范围为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知点P( 3,m)(其中m≠0在角α的终边上，sinα=m2，且α是第_____象限角.从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并据此解答以下问题：
(1)求m，cosα，tanα的值；
(2)在(1)的条件下化简并求值：sin(−α)cos(2π+α)tan(2023π+α)．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. (本小题12.0分)
设e1，e2是平面内不平行的非零向量，a=e1+e2，b=e1−2e2．
(1)证明：a，b组成平面上向量的一组基底；
(2)请探究是否存在实数k，使得ke1+e2和3e1+ke2平行？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
19. (本小题12.0分)
在一次研究性学习中，小华同学在用“五点法”画函数f(x)=Acos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
x
x1
π2
x2
x3
7π2
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
cos(ωx+φ)
1
0
−1
0
1
f(x)
2
0
y2
0
2
(1)请利用上表中的数据，写出x1的值，并求函数f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π2个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若|g(x)−λ|<2在[π4,π3]上恒成立，求实数λ的取值范围．
20. (本小题12.0分)
已知向量a=(cos(π2−θ),sin(π2−θ))，b=(cosθ,−sinθ)．
(1)求|a|，|b|和a⋅b的值；
(2)令m=(t2+4)a+b，n=ta−kb，若存在正实数k和t，使得m⊥n，求此时kt2的最小值．
21. (本小题12.0分)
北方某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，BC=25 3米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°．
(1)设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
(2)在(1)的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用．
(备用公式：sinα+cosα= 2sin(α+π4)，sin7π12= 6+ 24)

22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象相邻两条对称轴间的距离为π2，且过点(0,12)．
(1)若函数y=f(x+m)是偶函数，求|m|的最小值；
(2)令g(x)=3f(x)+1，记函数g(x)在x∈[−π3,5π3]上的零点从小到大依次为x1，x2，…，xn，求x1+2x2+2x3+⋯+2xn−1+xn的值；
(3)设函数y=φ(x)，x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，若恒有φ(x+T)=P⋅φ(x)成立，则称函数φ(x)是D上的P级周期函数，周期为T.是否存在非零实数λ，使函数h(x)=(12)xf(12λx−π12)是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：sin7π3=sin(2π+π3)=sinπ3= 32．
故选：D．
原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．

2.【答案】A 
【解析】解：①当角α是第三象限角时，则sinα<0，tanα>0，∴sinα⋅tanα<0，∴充分性成立，
②当角α是第二象限角时，则sinα>0且tanα<0，∴sinα⋅tanα<0，∴必要性不成立，
∴角α是第三象限角是sinα⋅tanα<0的充分不必要条件．
故选：A．
利用三角符号的判断，充要条件的定义判定即可．
本题考查了三角符号的判断，充要条件的判定，属于中档题．

3.【答案】D 
【解析】解：为了得到函数y=12sin(2x−1)的图象，只需把y=12sin2x的图象上的所有点向右平移12个单位．
故选：D．
由已知结合三角函数图象的平移即可求解．
本题主要考查了三角函数图象的平移，属于基础题．

4.【答案】C 
【解析】解：令2x−π4=kπ2，k∈Z，
则x=kπ4+π8，k∈Z，
结合选项可知，C符合题意．
故选：C．
由已知结合正切函数的对称性即可求解．
本题主要考查了正切函数对称性的应用，属于基础题．

5.【答案】C 
【解析】解：∵BC=3BD，
∴AC−AB=3(AD−AB)，
∴AD=23AB+13AC．
故选：C．
根据BC=3BD可得出AC−AB=3(AD−AB)，然后根据向量的数乘运算即可用AB,AC表示出AD．
本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．

6.【答案】B 
【解析】解：根据题意，f(x)=2x⋅tanx(−1 有f(−x)=2x⋅tanx=f(x)，为偶函数，排除AC，
在区间(0,1)上，x>0，tanx>0，则有f(x)>0，排除D，
故选：B．
根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AC，再判断函数在(0,1)上的符号，排除D，即可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和函数值符号的分析，属于基础题．

7.【答案】B 
【解析】解：∵b=(1,2)，a=(−1,1)，
∴a⋅b=−1+2=1，|a|= 1+1= 2，
∴b=(1,2)在a=(−1,1)上的投影向量为a⋅ba2⋅a=12(−1,1)=(−12,12).
故选：B．
利用投影向量公式求解即可．
本题考查投影向量的求法，属于基础题．

8.【答案】A 
【解析】解：第1次画线：以点B为圆心，扇形半径为r=1，旋转2π3，划过的圆弧长为1×2π3=2π3；
第2次画线：以点C为圆心，扇形半径为r=2，旋转2π3，划过的圆弧长为2×2π3=4π3，交m累计1次；
第3次画线：以点A为圆心，扇形半径为r=3，旋转2π3，划过的圆弧长为3×2π3=6π3=2π，交m累计2次；
第4次画线：以点B为圆心，扇形半径为r=4，旋转2π3，划过的圆弧长为4×2π3=8π3；
第5次画线：以点C为圆心，扇形半径为r=5，旋转2π3，划过的圆弧长为5×2π3=10π3，交m累计3次；
前5次累计画线2π3+4π3+6π3+8π3+10π3=10π；
第6次画线：以点A为圆心，扇形半径为r=6，旋转2π3，划过的圆弧长为6×2π3=12π3=4π，
交m累计4次，累计画线10π+4π=14π．
故选：A．
根据题意，找到螺线画法的规律，确定每次划线时圆弧的半径以及圆心角，结合扇形的弧长公式可求得结果．
本题考查扇形弧长公式，考查三角函数在实际中的应用，属于中档题．

9.【答案】ABC 
【解析】解：对于A，sinθ−cosθtanθ−1=sinθ−cosθsinθcosθ−1=(sinθ−cosθ)⋅cosθsinθ−cosθ=cosθ，故正确；
对于B， 1−2sin20°cos20= (sin20°−cos20°)2=|sin20°−cos20°|=−(sin20°−cos20°)=cos20°−sin20°，故正确；
对于C，sin(−36°)+cos54°=−sin36°+cos54°=−sin(90°−54°)+cos54°=−cos54°+cos54°=0，故正确；
对于D，sin(π2−θ)cos(π2+θ)=−cosθsinθ，故错误．
故选：ABC．
对于A，由同角的商数关系即可判断；
对于B，由二倍角公式化简即可判断；
对于C，D，由诱导公式化简即可判断；
本题考查了同角的三角函数关系、二倍角的应用及诱导公式的应用，属于基础题．

10.【答案】ABC 
【解析】
【分析】
本题考查了向量的有关性质，属于基础题．
根据向量的有关性质判断即可．
【解答】
解：对于ABC：令b=0，显然不成立，
对于D：与非零向量a共线的单位向量为±a|a|，故D正确；
故选：ABC．
  
11.【答案】AD 
【解析】
【分析】
本题主要考查正弦函数的单调性，属于中档题．
由题意利用正弦函数的单调性，分类讨论，求得ω的取值范围．
【解答】
解：∵函数f(x)=sin(ωx+π6)在(0,π)上是单调函数，
当ω>0时，ωx+π6∈(π6,ωπ+π6)，
∴ωπ+π6≤π2，求得0<ω≤13．
当ω<0时，ωx+π6∈(ωπ+π6,π6)，
∴ωπ+π6≥−π2，求得−23≤ω<0，
故选AD．
  
12.【答案】BCD 
【解析】解：如图所示：

连接OB、OC、OA、BC，设AO与BC的交点为D，
因为水滴轴截面的水平宽度与竖直高度之比为32，
即有R+|OA|2R=32，所以12+|OA|2R=32，
所以|OA|2R=1，|OA|=2R，故B正确；
在Rt△ABO中，|OA|=2R，|OB|=R，
所以|AB|= 3R，
所以∠BAO=π6，∠BOA=π3，
同理可得∠CAO=π6，∠COA=π3，
所以∠BOC=∠BOA+∠COA=2π3，
所以优弧BC所对的圆心角为2π−2π3=4π3，
所以优弧BC所对的弧长为4π3R，故A错误；
Rt△ABO中，sin∠BAO=|OB||OA|=R2R=12，故C正确；
设优弧BC所对的扇形的面积为S1，则S1=12R2⋅4π3=2π3R2，
四边形BACO所对应的面积为S2，则S2=2SRt△ABO=2×12×AB×BO=AB×BO= 3R2，
“水滴”的轴截面的面积为S=S1+S2=2π3R2+ 3R2=( 3+2π3)R2，故D正确．
故选：BCD．
连接OB、OC、OA、BC，设AO与BC的交点为D，由水滴轴截面的水平宽度与竖直高度之比为32，可得|OA|2R=1，|OA|=2R，从而判断B；
求出优弧BC所对的圆心角，根据弧长公式计算，可判断A；
Rt△ABO中，由sin∠BAO=|OB||OA|计算可判断C；
由“水滴”的轴截面的面积为S=S1+S2，其中S1优弧BC所对的扇形的面积，S2四边形BACO所对应的面积，可判断D．
本题考查了扇形的弧长的计算、面积的计算，属于中档题．

13.【答案】−12 
【解析】解：∵a=(−1,2)，b=(m,1)，∴a+b=(m−1,3)，
又向量a+b与a平行，∴−3=2(m−1)，解得m=−12．
故答案为：−12．
由已知利用平面向量的加法运算求得a+b，再由向量共线的坐标运算列式求得m值．
本题考查平面向量的加法与共线的坐标运算，是基础题．

14.【答案】−115或115 
【解析】解：tanα=−43，且α∈[0,π]，
∴α是第二象限角或α是第四象限角，
当α是第二象限角时，
1cosα=− 1+tan2α=− 1+169=−53，
∴cosα=−35，sinα= 1−(−35)2=45，
则2sinα−cosα=2×45+35=115．
当α是第四象限角时，
1cosα= 1+tan2α= 1+169=53，
∴cosα=35，sinα=− 1−(35)2=45，
则2sinα−cosα=2×(−45)−35=−115．
故答案为：−115或115．
利用诱导公式、同角三角函数关系式直接求解．
本题考查诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15.【答案】−5 
【解析】解：∵f(x)=2023sinx+2024tanx−1，
∴f(−2)+f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)
=2023sin(−2)+2024tan(−2)−1+2023sin(−1)+2024tan(−1)−1+2023sin0+2024tan0−1+2023sin1+2024tan1−1+2023sin2+2024tan2−1
=−2023sin2−2024tan2−1−2023sin1−2024tan1−1+2023sin0+2024tan0−1+2023sin1+2024tan1−1+2023sin2+2024tan2−1
=−5．
故答案为：−5．
利用正弦函数、正切函数的性质直接求解．
本题考查正弦函数、正切函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

16.【答案】0  [1, 2] 
【解析】解：由正八边形的性质知，OA1与OA5，OA2与OA6，OA3与OA7，OA4与OA8均互为相反向量，
所以OP⋅i=18OAi=OP⋅[(OA1+OA5)+(OA2+OA6)+(OA3+OA7)+(OA4+OA8)]=OP⋅0=0；
在正八边形中，∠A1OA2=360°8=45°，
所以∠A1OA3=90°，
以O为坐标原点，OA1，OA3的正方向分别为x，y轴建立平面直角坐标系，

则A1(1,0)，A2( 22, 22)，A3(0,1)，A4(− 22, 22)，
所以A1A2=( 22−1, 22)，A3A1=(1,−1)，A3A2=( 22, 22−1)，A3A4=(− 22, 22−1)，
设A1P=λA1A2，其中λ∈[0,1]，则A3P=A3A1+A1P=A3A1+λA1A2=(1,−1)+λ( 22−1, 22)=(1+( 22−1)λ,−1+ 22λ)，
因为A3P=xA3A2+yA3A4，
所以(1+( 22−1)λ,−1+ 22λ)=x( 22, 22−1)+y(− 22, 22−1)=( 22(x−y),( 22−1)(x+y))，
所以1+( 22−1)λ= 22(x−y)，即x−y= 2+(1− 2)λ∈[1, 2].
故答案为：0；[1, 2].
由正八边形的性质，可得i=18OAi=0，从而知OP⋅i=18OAi=0；以O为坐标原点建立平面直角坐标系，写出A1，A2，A3，A4的坐标，设A1P=λA1A2，其中λ∈[0,1]，利用A3P=xA3A2+yA3A4，推出x−y= 2+(1− 2)λ，再求其取值范围即可．
本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的坐标运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

17.【答案】解：∵点P( 3,m)(其中m≠0在角α的终边上，
∴α是第一象限角或α是第二象限角．
选①α是第一象限角，
(1)r= 3+m2=2，解得m=1，
cosα= 32，tanα=1 3= 33；
(2)sin(−α)cos(2π+α)tan(2023π+α)
=−sinαcosαtanα
=−12× 32× 33
=−14．
选④α是第四象限角，
(1)r= 3+m2=2，解得m=−1，
cosα= 32，tanα=−1 3=− 33；
(2)sin(−α)cos(2π+α)tan(2023π+α)
=−sinαcosαtanα
=12× 32×(− 33)
=−14． 
【解析】(1)点P( 3,m)(其中m≠0在角α的终边上，α是第一象限角或α是第二象限角．利用任意角的定义能求出结果；
(2)利用诱导公式能求出结果．
本题考查任意角的定义和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18.【答案】解：(1)证明：∵e1，e2是平面内不平行的非零向量，
∴a=e1+e2≠0，
若a,b共线，则存在实数λ，使b=λa，即e1−2e2=λe1+λe2，
∴根据平面向量基本定理得：λ=1λ=−2，∴不存在λ使b=λa，
∴a,b不共线，
∴a，b组成平面上向量的一组基底；
(2)∵ke1+e2≠0，
∴若ke1+e2和3e1+ke2平行，则存在实数t，使3e1+ke2=tke1+te2，
∴根据平面向量基本定理得：tk=3t=k，解得k=± 3，
∴存在k=± 3，使得ke1+e2和3e1+ke2平行． 
【解析】(1)可根据条件得出e1+e2≠0，然后假设a与b共线，得出e1−2e2=λe1+λe2，然后说明不存在实数λ，使b=λa，从而得出结论；
(2)若ke1+e2与3e1+ke2平行，可得出3e1+ke2=tke1+te2，然后看能否解出k，能解出k说明存在k使得ke1+e2和3e1+ke2平行，否则不存在．
本题考查了平面向量基本定理和共线向量基本定理，基底的定义，考查了计算能力，属于基础题．

19.【答案】解：由题意可知：A= 2，
当x=π2时，ωx+φ=π2；当x=7π2时，ωx+φ=2π，
所以7π2ω+φ=2ππ2ω+φ=π2，解得ω=12φ=π4，
所以f(x)= 2cos(12x+π4)，
所以12x1+π4=0，解得x1=−π2，
由2kπ≤12x+π4≤2kπ+π，k∈Z，
可得4kπ−π2≤x≤4kπ+3π2，k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为[4kπ−π2,4kπ+3π2]，k∈Z；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π2个单位，得y=f(x−π2)= 2cos[12(x−π2)+π4]= 2cos12x，
再把y= 2cos12x所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)，
所以g(x)= 2cosx，
又因为|g(x)−λ|<2在[π4,π3]上恒成立，
即−2 所以λ−2 当x∈[π4,π3]时，cosx∈[12, 22]，
所以g(x)= 2cosx∈[ 22,1]，
所以λ−2< 22λ+2>1，解得−1<λ<2+ 22，
所以实数λ的取值范围为(−1,2+ 22). 
【解析】(1)由题意可知A= 2，当x=π2时，ωx+φ=π2；当x=7π2时，ωx+φ=2π，列出方程解出ω，φ的值，得f(x)的解析式，再根据12x1+π4=0，求解x1的值，根据余弦函数的性质求解单调递减区间即可；
(2)由题意可求得g(x)= 2cosx，从而有λ−2 本题考查了余弦函数的性质、五点作图法、转化思想，属于中档题．

20.【答案】解：(1)已知向量a=(cos(π2−θ),sin(π2−θ))，
则a=(sinθ,cosθ)，
又∵b=(cosθ,−sinθ)，
∴|a|= sin2θ+cos2θ=1，|b|= cos2θ+(−sinθ)2=1，a⋅b=sinθcosθ+cosθ(−sinθ)=0；
(2)令m=(t2+4)a+b，n=ta−kb，若存在正实数k和t，使得m⊥n，
则[(t2+4)a+b]⋅(ta−kb)=0，
即t(t2+4)a2−kb2=0，
即k=t(t2+4)，(t>0)，
则kt2=t(t2+4)t2=t+4t≥2 t×4t=4，
当且仅当t=4t，即t=2时取等号，
即kt2的最小值为2． 
【解析】(1)由平面向量数量积的坐标运算，结合平面向量的模的运算求解即可；
(2)由平面向量数量积的运算，结合基本不等式求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量模的运算及基本不等式的应用，属基础题．

21.【答案】解：(1)∵在Rt△BOE中，
OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=25cosα，
在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=25sinα，
又∠EOF=90°,EF= OE2+OF2= (25cosα)2+(25sinα)2=25cosαsinα，
∴l=OE+OF+EF=25cosα+25sinα+25cosαsinα，
即l=25(sinα+cosα+1)cosαsinα，
当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α=π6，
点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=π3，
故此函数的定义域为[π6,π3]；
(2)由题意知，要求照明装置费用最低，只要求OE+OF最小即可，
由(1)得，OE+OF=25(sinα+cosα)cosαsinα,α∈[π6,π3]，
设sinα+cosα=t，则sinα⋅cosα=t2−12，
∴OE+OF=25(sinα+cosα)cosαsinα=25tt2−12=50tt2−1=50t−1t，
由5π12≤α+π4≤7π12，得 3+12≤t≤ 2，
令f(t)=t−1t，可以证明y=f(t)在(0,+∞)上为增函数，
所以当t= 2时OE+OF最小，(OE+OF)min=50 2，此时α=π4，
所以当BE=AF=25米时，照明装置费用最低，最低费用为20000 2元． 
【解析】(1)根据三角函数定义及勾股定理，即可表示出EF长度，进而用α表示出周长，根据点E、F的极限位置，判断出角的大小范围得到定义域；
(2)利用三角函数换元sinα+cosα=t，将周长转化为关于t的函数，结合角α的范围求得t的范围，进而得到OE+OF的范围，即为费用最低时的长度．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．

22.【答案】解：(1)因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象相邻两条对称轴间的距离为π2，
所以2πω=2×π2=π，所以ω=2，
所以f(x)=sin(2x+φ)，
又函数f(x)过点(0,12)，
所以sinφ=12，又因为|φ|<π2，
所以φ=π6，
所以f(x)=sin(2x+π6)，
又f(x+m)=sin(2x+2m+π6)是偶函数，
所以2m+π6=kπ+π2，k∈Z，
所以m=kπ2+π6，k∈Z，
所以当k=0时，|m|最小，最小值为π6；
(2)由g(x)=0可得3f(x)+1=0，
所以f(x)=−13，即sin(2x+π6)=−13，
又因为x∈[−π3,5π3]，所以2x+π6∈[−π2,7π2]，
令u=2x+π6，则u∈[−π2,7π2]，
所以sinu=−13，u∈[−π2,7π2]，
设sinu=−13在[−π2,7π2]的4个根分别为u1，u2，u3，u4，
则有u1+u2=π，u2+u3=3π，u3+u4=5π，
所以x1+x2=π3，x2+x3=4π3，x3+x4=7π3，
所以x1+2x2+2x3+x4=4π；
(3)存在非零实数λ，使函数h(x)=(12)xf(12λx−π12)是R上的周期为T的T级周期函数，
证明：因为f(x)=sin(2x+π6)，
所以h(x)=(12)xf(12λx−π12)=(12)x⋅sinλx，
假设存在非零实数λ，使函数h(x)=(12)xf(12λx−π12)=(12)x⋅sinλx是R上的周期为T的T级周期函数，
即∀x∈R，恒有h(x+T)=T⋅h(x)成立，
即∀x∈R，恒有(12)x+T⋅sin(λx+λT)=T⋅(12)x⋅sinλx成立，
即∀x∈R，恒有sin(λx+λT)=T⋅2T⋅sinλx成立，
当λ≠0时，x∈R，则λx∈R，λx+λT∈R，
于是得sinλx∈[−1,1]，sin(λx+λT)∈[−1,1]，
要使sin(λx+λT)=T⋅2T⋅sinλx成立，则有T⋅2T=±1，
当T⋅2T=1，即2T=1T时，由函数y=2x与y=1x的图象存在交点知，方程2T=1T有解，
此时sin(λx+λT)=sinλx恒成立，则λT=2mπ，m∈Z，即λ=2mπT，m∈Z；
当T⋅2T=−1，即2T=−1T时，由函数y=2x与y=−1x的图象不存在交点知，方程2T=−1T有解，
所以存在λ=2mπT，m∈Z，符合题意，其中T满足T⋅2T=1． 
【解析】(1)由题意求出f(x)=sin(2x+π6)，再由图象的平移及y=f(x+m)是偶函数即可求得答案；
(2)由g(x)=0，可得f(x)=−13，即sin(2x+π6)=−13，令u=2x+π6，则u∈[−π2,7π2]，结合正弦函数的性质可得u1+u2=π，u2+u3=3π，u3+u4=5π，从而即可得x1+2x2+2x3+x4的值；
(3)根据题意只需求出使sin(λx+λT)=T⋅2T⋅sinλx成立的λ的值即确定是否存在，从而得证．
本题考查了三角函数的图象及性质，也考查了转化思想、逻辑推理能力，属于中档题．