2023北京西城高一（下）期末数学

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2023北京西城高一（下）期末
数 学
2023.7
本试卷共6页，共150分，考试时长120分钟，考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．某城市—年中12个月的月平均气温y（单位℃）与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃，则（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
5．复数，且为纯虚数，则可能的取值为（ ）
A．0 B． C． D．
6．已知直线m，直线n和平面，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知等边的边长为4，P为边上的动点，且满足，则点P轨迹的长度是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
9．已知函数，则“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．已知点A，点B，点P都在单位圆上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第二部分（选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知复数z在复平面内所对应的点的坐标为，则为______．
12．设向量，，若，则______．
13．已知圆柱的底面半径为3，体积为的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为______，圆柱的体积为______．
14．写出一个同时满足下列两个条件的函数______．
①，；
②，恒成立．
15．如图，在棱长为4的正方体中，点P是线段AC上的动点（包含端点），点E在线段上，且，给出下列四个结论：

①存在点P，使得平面平面；
②存在点P，使得是等腰直角三角形；
③若，则点P轨迹的长度为；
④当时，则平面截正方体所得截面图形的面积为18．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16．（本小题13分）
已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
17．（本小题13分）
如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）证明：平面．

18．（本小题14分）
已知在中，．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若，在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的周长．
①的面积为；②；③AB边上的高线CD长为．
19．（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数的单调递增区间；
（Ⅲ）若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围．
20．（本小题15分）
如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，四边形ABCD为正方形，E为AD的中点，F为SB上一点，M为BC上一点，且平面平面SCD．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：M为线段BC中点，并直接写出M到平面SCD的距离；
（Ⅲ）在棱SC上是否存在点N，使得平面平面ABCD？若存在，求；若不存在，说明理由．

21．（本小题15分）
对于定义在R上的函数和正实数T，若对任意，有，则为T-阶梯函数．
（Ⅰ）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：
①；②．
（Ⅱ）若为T-阶梯函数，求T的所有可能取值；
（Ⅲ）已知为T-阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有．若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为
直接给出一个符合题意的a的值，并证明：存在，使得在上有4046个零点，且．


参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．
1．D 2．C 3．B 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 9．B 10．A
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．1 12．-2 13．2， 14．（答案不唯一） 15．①③④
注：第13题第一问2分，第二问3分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分．
16．（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为，，
所以，．
又因为，所以．
所以．
（Ⅱ）．
17．（本小题13分）
（Ⅰ）证明：，所以平面．

因为平面，所以．
因为为正方形，所以，
又因为，所以平面．
（Ⅱ）设，连接OE．
因为为正方体，所以，且，
所以，且．
因为E，F分别，的中点，所以，且．
所以，且．
所以四边形为平行四边形．所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
18．（本小题14分）
解：（Ⅰ）由正弦定理，得．
所以．
因为，所以，所以．
因为，，所以，即．
又因为，所以．
（Ⅱ）选择①
因为，即，
即，所以．
又因为，即，
所以，所以的周长为．
选择③
因为AB边上的高线CD长为，即，所以．
又因为，即
所以，所以的周长为．
19．（本小题15分）
解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）

由，，
得．
所以的单调递增区间是．
（Ⅲ）因为，所以．
依题意，解得．
所以m的取值范围为．
20．（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为四边形ABCD为正方形，所以．
因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面SAD，
又平面SAD，所以．
（Ⅱ）因为平面平面SCD，平面平面，
平面平面，所以，
又因为E为AD的中点，所以M为线段BC中点．
M到平面SCD的距离为．

（Ⅲ）存在，N为SC中点，连接EC，DM交于点O，连接SE．
因为，并且，所以四边形EMCD为平行四边形，所以．
又因为N为SC中点，所以．
因为平面平面ABCD，平面平面，
又平面SAD，由已知，
所以平面ABCD，所以平面ABCD．
又因为平面DMN，所以平面平面ABCD．
所以存在点N，使得平面平面ABCD，．
21．（本小题15分）
解：（Ⅰ）①否；②是．
（Ⅱ）因为为T-阶梯函数，所以对任意有：
．
所以，对任意，，
因为是最小正周期为的周期函数，
又因为，所以，．
（Ⅲ）．
函数，则有：
，
．
取，则有：
，，
由于在上单调递减，因此在上单调递减，
结合，则有：
在上有唯一零点，在上有唯一零点．
又由于，则对任意，有：
，，
因此，对任意，在上有且仅有两个零点：，．
综上所述，存在，使得在上有4046个零点：
，，，，…，，，
其中，．