2023年全国新高考1卷数学试题 （精校版）

这是一份2023年全国新高考1卷数学试题 （精校版），共19页。试卷主要包含了设椭圆，的离心率分别为，，记为数列的前项和，设甲，已知，，则等内容，欢迎下载使用。

2023年全国新高考I卷数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】，所以，故选C.
2.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】，.故选A.
3.已知向量，.若，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】，
所以.故选D.
4.设函数在区间单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【解析】令，要使得在区间单调递减，需要满足在区间单调递减，所以，所以的取值范围是.故选D.
5.设椭圆，的离心率分别为，.若，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】，，由可得，解得.
故选A.
6.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】，所以圆心为，
记，设切点为，如图所示.

因为，，故，
，，
.故选B.
7.记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解析】为等差数列，设首项为公差为，则，，所以为等差数列，所以甲是乙的充分条件.
为等差数列，即为常数，
设为，即，故，，两式相减得，为常数，对也成立，所以为等差数列，所以甲是乙的必要条件.
所以，甲是乙的充要条件，故选C.
8.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】，，
所以，所以，
.故选B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9.有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A.的平均数等于的平均数
B.的中位数等于的中位数
C.的标准差不小于的标准差
D.的极差不大于的极差
【解析】，所以A错误；
因为是最小值，是最大值，所以的中位数的位置和的中位数的位置相同，所以B正确；
因为是最小值，是最大值，所以的波动性不大于的波动性，所以C错误；
设的最小值为，最大值为，则，，所以，所以D正确.
故选BD.
10.噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60~90
混合动力汽车
10
50~60
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】选项A，，所以，所以A正确；
选项B，，所以，所以，故B错误；
选项C，，所以，所以，故C正确；
选项D，，所以，所以，故D正确.
故选ACD.
11.已知函数的定义域为，，则（ ）
A. B. C.是偶函数 D.为的极小值点
【解析】选项A，令，则，故A正确；
选项B，令，则，所以，故B正确；
选项C，令，则，因为，所以，
令，则，所以是偶函数，故C正确；
选项D，对式子两边同时除以，得到，
故可以设，
当时，，，
令，解得，令，解得，
故在单调递减，在单调递增.
又是偶函数，所以在单调递增，在单调递减.
的图像如图所示，所以为的极大值点，故D错误.
故选ABC.

12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A.直径为0.99m的球体
B.所有棱长均为1.4m的四面体
C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体
D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体
【解析】选项A，球的直径为0.99m<1m，故球体可以放入正方体容器内，故A正确；
选项B，连接正方体的面对角线，可以得到一个正四面体，其棱长为，故B正确；
选项C，正方体的体对角线为，圆柱体的高，故C错误.
选项D，因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过的中点作，设，
可知，则，
即，解得，且，即，
故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，
若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，
可知，则，
即，解得，
根据对称性可知圆柱的高为，
所以能够被整体放入正方体内，故D正确.

故选ABD.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）.
【解析】如果选修2门，共有种；如果选修3门，共有种.所以不同的选课方案共有种.
14. 在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为 .
【解析】如图所示，将正四棱台补成正四棱锥，
因为，，，所以，
设，，
则，，
故，
故填.
15.已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 .
【解析】令，得，又，则，
因为函数在区间有且仅有3个零点，
所以，所以，故填.
16.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为 .
【解析】解法一：建立如图所示的平面直角坐标系，设，
由可得，又且，，
则，所以，
又点在上，则，整理可得，
代入，可得，即，解得或.
故.

解法二：由可得，设，
由对称性可得，，由定义可得，，，
设，则，所以，解得，
所以，，
在中，由余弦定理可得，，
所以.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）已知在中，，.
（1） 求；
（2） 设，求边上的高.
【解析】（1）解法一 因为，所以，所以，



.
解法二 因为，所以，所以，
所以，所以，
故，即，
得.又，，得.
（2） 若.
如图所示，设边上的高为，边上的高为， ，
由（1）可得，
，，
所以，
.

18. （12分）如图所示，在正四棱柱中，，，点，，，分别在棱，，，上，，，.
（1） 证明：；
（2） 点在棱上，当二面角为时，求.

【解析】(1)证法一：过点作于点，过点作于点，
连接，如图所示，则平行且等于，
所以四边形是平行四边形，所以
又因为，所以,
所以.

证法二：连接，易得，
所以为平行四边形，所以.
（2）如图所示，以为坐标原点，为轴、轴、轴的正方向，建立平面直角坐标系，设，，

设平面的一个法向量为，则，
令得，平面的法向量.
同理可得平面的法向量，
因为二面角为，
则，
即，解得或.
则
19. （12分）已知函数.
（1） 讨论的单调性；
（2） 证明：当时，.
【解析】（1），
当时，，在上单调递减；
当时，令，得，即，
函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，当时，，
要证明，等价于证明，
即，.
设，则，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
则，证毕.
解法二：目标式，
即，
，
，证毕.
【命题背景揭示】凸函数的切线不等式
当时，给出函数其在点处的切线方程为：
，
又，，
，
因此，，该切线与直线平行，
且，
即，得，
由凸函数的切线不等式可知，
即.
【评注】 本题考查函数与导数的单调性分析和函数不等式的证明，考查函数形式依旧是指、对混合形式.
20. （12分）设等差数列的公差为，且.令，记，分别为数列，的前项和.
（1） 若，，求的通项公式；
（2） 若为等差数列，且，求.
【解析】（1），
则，
则，
故.
（2）若为等差数列，设公差为，
则
故，（）
，
.
① 时，

② 时，
.矛盾.
综上，.

21.（12分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为，由抽签确定第1次投篮的人选.第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.
（1） 求第2次投篮的人是乙的概率；
（2） 求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，则.记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求.
【解析】（1）.
（2）第次是乙投的概率为，，
且，
则，
故
（3）解法一:① 时，

② 时，.
综上，
解法二（利用期望递推）
记前次投篮中甲投篮次数的数学期望为，
则在前次投篮中甲投篮次数的数学期望为.
，
故，
所以
.
又，故
.
当时也满足上式，故.
22.（12分）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为.
（1） 求的方程；
（2） 已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于.
【解析】（1）设，则，故.
（2）解法一：不妨设三个顶点在抛物线上，且，
显然的斜率存在且不为0，
令，则，
，即，即，
本题等价于证明，
令，
则，
（未知数有，通过转化（放缩），将变量归一）
由，即，
不妨设，则






.
令，则，
当时取等号，又取等时必有，因此取不到等号，所以.
解法二：如图所示，先将第一问中的曲线下移个单位，其表达式为.
不妨设三点在抛物线上，再设及的斜率为.
由题意知的斜率为，因为，故而可再使，
直线的方程，即，
与曲线联立可得，由此可知
同理，，由此可知矩形的周长满足


①

②

③
.
当时①处取等号，当同号时②处取等号，当时③处取等号，显然三处不能同时取等号，所以矩形的周长大于.