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2023年山西省中考数学试卷（含答案解析）
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这是一份2023年山西省中考数学试卷（含答案解析），共23页。试卷主要包含了 计算×的结果为， 下列计算正确的是，5x等内容，欢迎下载使用。
2023年山西省中考数学试卷
1. 计算(−1)×(−3)的结果为( )
A. 3 B. 13 C. −3 D. −4
2. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量.图书馆是开展全民阅读的重要场所.以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6 B. (−a3b)2=−a6b2 C. a6÷a3=a2 D. (a2)3=a6
4. 山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长18.55%.数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为( )
A. 1.464×108千瓦时
B. 1464×108千瓦时
C. 1.464×1011千瓦时
D. 1.464×1012千瓦时
5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC=40∘，则∠DBC的度数为( )
A. 40∘ B. 50∘ C. 60∘ D. 70∘
6. 一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为( )
A. y=12−0.5x
B. y=12+0.5x
C. y=10+0.5x
D. y=0.5x
7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若∠1=155∘，∠2=30∘，则∠3的度数为( )
A. 45∘ B. 50∘ C. 55∘ D. 60∘
8. 若点A(−3,a)，B(−1,b)，C(2,c)都在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，则a，b，c的大小关系用“<”连接的结果为( )
A. b
A. π4km B. π2km C. 3π4km D. 3π8km
10. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点.若点P，Q的坐标分别为(−2 3,3)，(0,−3)，则点M的坐标为( )
A. (3 3,−2) B. (3 3,2) C. (2,−3 3) D. (−2,−3 3)
11. 计算：( 6+ 3)( 6− 3)的结果为______ .
12. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有______ 个白色圆片(用含n的代数式表示).
13. 如图，在▱ABCD中，∠D=60∘.以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE.分别以点A，E为圆心，以大于12AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则OFOE的值为______ .
14. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是______ .
15. 如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90∘，对角线AC，BD相交于点O.若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，则AD的长为______ .
16. (1)计算：|−8|×(−12)2−(−3+5)×2−1；
(2)计算：x(x+2)+(x+1)2−4x.
17. 解方程：1x−1+1=32x−2.
18. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔.报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分(满分100分)，取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩.
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图(每组含最小值，不含最大值)如图.
选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
78
小涵
86
84
▲
▲
(1)在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71.这组数据的中位数是______ 分，众数是______ 分，平均数是______ 分；
(2)请你计算小涵的总评成绩；
(3)学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者.试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由.
19. 风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输.已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等.
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备.
20. 2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单(2022−2025年)》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选，在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸(也叫护坡).某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告.请根据活动报告计算BC和AB的长度(结果精确到0.1m，参考数据： 3≈1.73， 2≈1.41).
课题
母亲河驳岸的调研与计算
调查方式
资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
调查内容
功能
驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌成冲刷的构筑物
材料
所需材料为石料、混凝土等
驳岸时剖面图
相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD=135∘，∠EDC=60∘，ED=6m，AE=1.5m，CD=3.5m.
计算结果
…
交通展示
…
21. 阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形.
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁(Varingnon,Pierte1654−1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N.
∵H，G分别为AD，CD的中点，∴HG//AC，HG=12AC.(依据1)
∴DNNM=DGGC.∵DG=GC，∴DN=NM=12DM.
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE//GF，即HP//GQ.
∵HG//AC，即HG//PQ，
∴四边形HPQG是平行四边形，(依据2)∴S▱HPQG=HG⋅MN=12HG⋅DM.
∵S△ADC=12AC⋅DM=HG⋅DM，∴S▱HPQG=12S△ADC.同理，…
任务：(1)填空：材料中的依据1是指：______ .
依据2是指：______ .
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH、使得四边形EFGH为矩形；(要求同时画出四边形ABCD的对角线)
(3)在图1中，分别连接AC，BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论.
22. 综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90∘，∠A=∠D，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合(标记为点B).当∠ABE=∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由.
数学思考：(1)请你解答老师提出的问题；
深入探究：(2)老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题.
①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明.请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9，AC=12，求AH的长.请你思考此问题，直接写出结果.
23. 综合与探究
如图，二次函数y=−x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B(1,3)，与y轴交于点C.
(1)求直线AB的函数表达式及点C的坐标；
(2)点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m.
①当PD=12OC时，求m的值；
②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF.设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(−1)×(−3)
=1×3
=3，
故选：A.
根据有理数乘法的计算得出结论即可．
本题主要考查有理数乘法的计算，熟练掌握有理数乘法的计算方法是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、B，D选项中的图书馆标志都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图书馆标志能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】D
【解析】解：A.a2⋅a3=a5，故选项不符合题意；
B.(−a3b)2=a6b2，故选项不符合题意；
C.a6÷a3=a3，故选项不符合题意；
D.(a2)3=a6，故选项符合题意．
故选：D.
选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可；选项B根据积的乘方运算法则判断即可；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可；选项D根据幂的乘方运算法则判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：1464亿千瓦时=146400000000千瓦时=1.464×1011千瓦时，
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.【答案】B
【解析】解：∵BD经过圆心O，
∴∠BCD=90∘，
∵∠BDC=∠BAC=40∘，
∴∠DBC=90∘−∠BDC=50∘，
故选：B.
由圆周角定理可得∠BCD=90∘，∠BDC=∠BAC=40∘，再利用直角三角形的性质可求解．
本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，得y=12+0.5x(0≤x≤10)，
故选：B.
根据不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，可得在弹性限度内，y与x的函数关系式．
本题考查了一次函数的应用，理解题意并根据题意建立函数关系式是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB//OF，
∴∠1+∠OFB=180∘，
∵∠1=155∘，
∴∠OFB=25∘，
∵∠POF=∠2=30∘，
∴∠3=∠POF+∠OFB=30∘+25∘=55∘.
故选：C.
由平行线的性质求出∠OFB=25∘，由对顶角的性质得到∠POF=∠2=30∘，由三角形外角的性质即可求出∠3的度数．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出∠OFB的度数，由对顶角的性质得到∠POF的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
8.【答案】D
【解析】解：∵k<0，点A，B同象限，y随x的增大而增大，
∵−3<−1，
∴0
∴c<0，
∴c
反比例函数y=kx(k≠0,k为常数)中，当k<0时，双曲线在第二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．根据这个判定则可．
本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．
9.【答案】B
【解析】解：∵过点A，B的两条切线相交于点C，
∴∠OAC=∠OBC=90∘，
∴A、O、B、C四点共圆，
∴∠AOB=α=60∘，
∴圆曲线AB的长为：60π⋅1.5180=12π(km).
故选：B.
由圆的切线可得∠OAC=∠OBC=90∘，进而可证明A、O、B、C四点共圆，利用圆内接四边形的性质可求得∠AOB=60∘，再根据弧长公式计算可求解．
本题主要考查圆的切线的性质，点与圆的位置关系，圆内接四边形的性质，弧长的计算，证明A、O、B、C四点共圆求解∠AOB的度数是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB.
∵点P，Q的坐标分别为(−2 3,3)，(0,−3)，图中是7个全等的正六边形，
∴AB=BC=2 3，OQ=3，
∴OA=OB= 3，
∴OC=3 3，
∵DQ=DB=2OD，
∴OD=1，QD=DB=CM=2，
∴M(3 3,−2)，
故选：A.
设中间正六边形的中心为D，连接DB.判断出OC，CM的长，可得结论．
本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11.【答案】3
【解析】解：原式=( 6)2−( 3)2
=6−3
=3.
故答案为：3.
直接利用平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用平方差公式是解题关键．
12.【答案】(2+2n)
【解析】解：第1个图形中有2+2×1=4个白色圆片；
第2个图形中有2+2×2=6个白色圆片；
第3个图形中有2+2×3=8个白色圆片；
⋅⋅⋅⋅⋅
第n个图形中有(2+2n)个白色圆片；
故答案为：(2+2n).
每增加一个图案增加2个白色圆片，据此解答．
本题考查了图形的变化类问题，找到图形变化的规律是解答本题的关键．
13.【答案】 3
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠D=∠ABC=60∘，
∴∠BAD=180∘−60∘=120∘，
∵BA=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60∘，
∵BF平分∠ABE，
∴AO=OE，BO⊥AE，
∵∠OAF=∠BAD−∠BAE=120∘−60∘=60∘，
∴tan∠OAF=OFOA= 3，
∴OFOE= 3，
故答案为： 3.
证明△ABE是等边三角形，推出BO⊥AE，AE=OE，可得结论．
本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】16
【解析】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，即AC、CA，
∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是212=16，
故答案为：16.
画树状图，共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】 973
【解析】解：过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，如图所示：
则∠AHC=∠AHB=90∘，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=HC=12BC=3，
∴AH= AC2−CH2=4，
∵∠ADB=∠CBD+∠CEH，∠ADB=2∠CBD，
∴∠CBD=∠CED，
∴DB=DE，
∵∠BCD=90∘，
∴DC⊥BE，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=9，
∵DC⊥BE，AH⊥BC，
∴CD//AH，
∴△ECD∽△EHA，
∴CDAH=CEHE，
即CD4=69，
∴CD=83，
∴DE= CE2+CD2= 62+(83)2=2 973，
∵CD//AH，
∴DEAD=CECH，
即2 973AD=63，
解得AD= 973.
故答案为： 973.
过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，根据等腰三角形的性质得出BH=HC=12BC=3，根据勾股定理求出AH= AC2−CH2=4，证明∠CBD=∠CED，得到DB=DE，根据等腰三角形的性质得出CE=BC=6，证明CD//AH，得到CDAH=CEHE，求出CD=83，根据勾股定理求出DE= CE2+CD2= 62+(83)2=2 973，根据CD//AH，得到DEAD=CECH，即2 973AD=63，求出结果即可．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：(1)|−8|×(−12)2−(−3+5)×2−1
=8×14−2×12
=2−1
=1；
(2)x(x+2)+(x+1)2−4x
=x2+2x+x2+2x+1−4x
=2x2+1.
【解析】(1)根据绝对值，指数幂及单项式乘多项式的计算得出结论即可；
(2)根据指数幂及单项式乘多项式的计算得出结论即可．
本题主要考查绝对值，指数幂及单项式乘多项式的计算，熟练掌握绝对值，指数幂及单项式乘多项式的计算方法是解题的关键．
17.【答案】解：由题意得最简公分母为2(x−1)，
∴原方程可化为：
2+2x−2=3.
∴x=32.
检验：把x=32代入2(x−1)=1≠0，且原方程左边=右边．
∴原方程的解为x=32.
【解析】由题意，根据分式方程的解题步骤先找出最简公分母，化为整式方程，解方程后检验即可得结果．
本题主要考查了分式方程的解法，解题时要能找准最简公分母进行变形化为整式方程是关键，同时注意检验．
18.【答案】69 69 70
【解析】解：(1)七位评委给小涵打出的分数从小到大排列为：67，68，69，69，71，72，74，
所以这组数据的中位数是69(分)，众数是69(分)，平均数是67+68+69+69+71+72+747=70(分)；
故答案为：69，69，70；
(2)86×4+84×4+70×24+4+2=82(分)，
答：小涵的总评成绩为82分；
(3)不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选，
理由：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于80分的有10人，因为小悦78分、小涵82分，
所以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选．
(1)分别根据中位数、众数和平均数的定义即可求出答案；
(2)根据加权平均数公式计算即可；
(3)根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案．
本题考查了频数(率)分布直方图，加权平均数，中位数和众数，解题的关键在于熟练掌握加权平均数，中位数和众数的计算方法．
19.【答案】解：(1)设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，
由题意得：x+2y=2.82x=3y，
解得：x=1.2y=0.8，
答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨．
(2)解：设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥．
根据题意得：(1.2+0.8×3)⋅m+8≤30，
解得：m≤559.
∵m为整数，
∴m取最大值，
∴m=6.
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．
【解析】设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，根据1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20.【答案】解：过E作EF⊥CD于F，延长AB，CD交于H，
∴∠EFD=90∘，
由题意得，在Rt△EFD中，∠EDF=60∘,ED=6,sin∠EDF=EFED，cos∠EDF=FDED，
∴EF=ED⋅sin∠EDF=6×sin60∘=6× 32=3 3(m)，
∴FD=ED⋅cos∠EDF=6×cos60∘=6×12=3(m)，
由题意得，∠H=90∘，四边形AEFH是矩形，
∴AH=EF=3 3，HF=AE=1.5m，
∵CF=CD−FD=3.5−3=0.5(m)，
∴CH=HF−CF=1.5−0.5=1(m)，
在Rt△BCH中，∠H=90∘，∠BCH=180∘−∠BCD=180∘−135∘=45∘，
∵cos∠BCH=CHBC,tan∠BCH=BHCH，
∴BC=CHcos∠BCH=1cos45∘=1 22= 2≈1.4(m)，
∴BH=CH⋅tan∠BCH=1×tan45∘=1(m)，
∴AB=AH−BH=3 3−1≈4.2(m).
答：BC的长度约为1.4m，AB的长度约为4.2m.
【解析】过E作EF⊥CD于F，延长AB，CD交于H，得到∠EFD=90∘，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】三角形中位线定理 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【解析】解：(1)证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N.
∵H，G分别为AD，CD的中点，
∴HG//AC，HG=12AC，(三角形中位线定理)，
∴DNMN=DGGC，
∵DG=GC，
∴DN=NM=12DM，
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，
∴HE//GF，即HP//GQ.
∵HG//AC，即HG//PQ，
∴四边形HPQG是平行四边形，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，
∴S▱HPQG=HG⋅MN=12HG⋅DM，
∵S△ADC=12AC⋅DM=HG⋅DM，
∴S▱HPQG=12S△ADC，
同理可得，S▱EFQP=12S△ABC，
∴S▱HEFG=12S四边形ABCD，
故答案为：三角形中位线定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)如图，画四边形ABCD，且AC⊥BD于O，点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求；
理由如下：∵点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF//BD，HG//BD，EH//AC，FG//AC，
∴EF//HG，EH//FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，EF//BD，
∴AC⊥EF，
∵FG//AC，
∴EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH是矩形；
(3)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于AC+BD，理由如下：
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，
∴点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF=12BD，GH=12BD，EH=12AC，FG=12AC，
∴瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长=EF+GF+GH+EH=12BD+12BD+12AC+12AC=AC+BD.
(1)由三角形中位线定理和平行四边形的判定可求解；
(2)画四边形ABCD，且AC⊥BD于O，点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求；
(3)由三角形中位线定理可得EF=12BD，GH=12BD，EH=12AC，FG=12AC，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22.【答案】解：(1)结论：四边形BCGE为正方形．理由如下：
∵∠BED=90∘，
∴∠BEG=180∘−BED=90∘，
∵∠ABE=∠A，
∴AC//BE，
∴∠CGE=∠BED=90∘，
∵∠C=90∘，
∴四边形BCGE为矩形．
∵△ACB≌△DEB，
∴BC=BE.
∴矩形BCGE为正方形；
(2)①结论：AM=BE.
理由：∵∠ABE=∠BAC，
∴AN=BN，
∵∠C=90∘，
∴BC⊥AN，
∵AM⊥BE，即AM⊥BN，
∴S△ABF=12AN⋅BC=12BN⋅AM，
∵AN=BN，
∴BC=AM.由(1)得BE=BC，
∴AM=BE.
②解：如图：设AB，DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G，
∵△ACB≌△DEB，
∴BE=BC=9，DE=AC=12，∠A=∠D，∠ABC=∠DBE，
∴∠CBE=∠DBM，
∵∠CBE=∠BAC，
∴∠D=∠BAC，
∴MD=MB，
∵MG⊥BD，
∴点G是BD的中点，
由勾股定理得AB= AC2+BC2=15，
∴DG=12BD=152，
∵cos∠D=DGDM=DEBD，
∴DM=DG⋅BDDE=152×1512=758，即BM=DM=758，
∴AM=AB−BM=15−758=458，
∵AH⊥DE，BE⊥DE，∠AMH=∠BME，
∴△AMH∽△BME，
∴AHBE=AMBM=35，
∴AH=35BE=35×9=275，即AH的长为275.
【解析】(1)先证明四边形BCGE是矩形，再由△ACB=△DEB可得BC=BE，从而得四边形BCGE是正方形；
(2)①由已知∠ABE=∠BAC可得AN=BN，再由等积方法S△ABF=12AN.BC=12BN−AM，再结合已知即可证明结论；
②设AB，DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G，则易得MD=MB，点G是BD的中点；利用三角函数知识可求得DM的长，进而求得AM的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由y=−x2+4x得，当y=0时，−x2+4x=0，
解得x1=0，x2=4，
∵点A在x轴正半轴上．
∴点A的坐标为(4,0).
设直线AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0).
将A，B两点的坐标(4,0)，(1,3)分别代入y=kx+b，
得4k+b=0k+b=3，
解得k=−1b=4，
∴直线AB的函数表达式为y=−x+4.
将x=0代入y=−x+4，得y=4.
∴点C的坐标为(0,4)；
(2)①解：∵点P在第一象限内二次函数y=−x2+4x的图象上，且PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，其横坐标为m.
∴点P，D的坐标分别为P(m,−m2+4m)，D(m,−m+4)，
∴PE=−m2+4m.DE=−m+4，OE=m，
∵点C的坐标为(0,4)，
∴OC=4.PD=12OC，
∴PD=2.
如图1，当点P在直线AB上方时，PD=PE−DE=−m2+4m−(−m+4)=−m2+5m−4，
∵PD=2，
∴−m2+5m−4=2，
解得m1=2.m2=3.
如图2，当点P在直线AB下方时，PD=DE−PE=−m+4−(−m2+4m)=m2−5m+4，
∵PD=2，
∴m2−5m+4=2，
解得m=5± 172，
∵0
②解：如图3，
由(1)得，OE=m，PE=−m2+4m，DE=−m+4.
∵BQ⊥x轴于点Q，交OP于点F，点B的坐标为(1,3)，
∴OQ=1，
∵点P在直线AB上方，
∴EQ=m−1.
∵PE⊥x轴于点E，
∴∠OQF=∠OEP=90∘，
∴FQ//DE，∠FOQ=∠POE，
∴△FOQ∽△POE，
∴FQPE=OQOE，
∴FQ−m2+4m=1m，
∴FQ=−m2+4mm=−m+4，
∴FQ=DE，
∴四边形FQED为平行四边形，
∵PE⊥x轴，
∴四边形FQED为矩形．
∴S=EQ+FQ=(m−1)(−m+4)，即S=−m2+5m−4=−(m−52)2+94，
∵−1<0，1
【解析】(1)利用待定系数法可求得直线AB的函数表达式，再求得点C的坐标即可；
(2)①分当点P在直线AB上方和点P在直线AB下方时，两种情况讨论，根据PD=2列一元二次方程求解即可；
②证明△FOQ∽△POE，推出FQ=−m+4，再证明四边形FQED为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，特殊四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．
2023年山西省中考数学试卷
1. 计算(−1)×(−3)的结果为( )
A. 3 B. 13 C. −3 D. −4
2. 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量.图书馆是开展全民阅读的重要场所.以下是我省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6 B. (−a3b)2=−a6b2 C. a6÷a3=a2 D. (a2)3=a6
4. 山西是全国电力外送基地，2022年山西省全年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长18.55%.数据1464亿千瓦时用科学记数法表示为( )
A. 1.464×108千瓦时
B. 1464×108千瓦时
C. 1.464×1011千瓦时
D. 1.464×1012千瓦时
5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O.若∠BAC=40∘，则∠DBC的度数为( )
A. 40∘ B. 50∘ C. 60∘ D. 70∘
6. 一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为( )
A. y=12−0.5x
B. y=12+0.5x
C. y=10+0.5x
D. y=0.5x
7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若∠1=155∘，∠2=30∘，则∠3的度数为( )
A. 45∘ B. 50∘ C. 55∘ D. 60∘
8. 若点A(−3,a)，B(−1,b)，C(2,c)都在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，则a，b，c的大小关系用“<”连接的结果为( )
A. b
A. π4km B. π2km C. 3π4km D. 3π8km
10. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点.若点P，Q的坐标分别为(−2 3,3)，(0,−3)，则点M的坐标为( )
A. (3 3,−2) B. (3 3,2) C. (2,−3 3) D. (−2,−3 3)
11. 计算：( 6+ 3)( 6− 3)的结果为______ .
12. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有______ 个白色圆片(用含n的代数式表示).
13. 如图，在▱ABCD中，∠D=60∘.以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE.分别以点A，E为圆心，以大于12AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则OFOE的值为______ .
14. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是______ .
15. 如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90∘，对角线AC，BD相交于点O.若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，则AD的长为______ .
16. (1)计算：|−8|×(−12)2−(−3+5)×2−1；
(2)计算：x(x+2)+(x+1)2−4x.
17. 解方程：1x−1+1=32x−2.
18. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔.报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分(满分100分)，取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩.
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图(每组含最小值，不含最大值)如图.
选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
78
小涵
86
84
▲
▲
(1)在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71.这组数据的中位数是______ 分，众数是______ 分，平均数是______ 分；
(2)请你计算小涵的总评成绩；
(3)学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者.试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由.
19. 风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输.已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等.
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备.
20. 2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单(2022−2025年)》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选，在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸(也叫护坡).某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告.请根据活动报告计算BC和AB的长度(结果精确到0.1m，参考数据： 3≈1.73， 2≈1.41).
课题
母亲河驳岸的调研与计算
调查方式
资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
调查内容
功能
驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌成冲刷的构筑物
材料
所需材料为石料、混凝土等
驳岸时剖面图
相关数据及说明：图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，AE和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A，∠BCD=135∘，∠EDC=60∘，ED=6m，AE=1.5m，CD=3.5m.
计算结果
…
交通展示
…
21. 阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形.
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁(Varingnon,Pierte1654−1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N.
∵H，G分别为AD，CD的中点，∴HG//AC，HG=12AC.(依据1)
∴DNNM=DGGC.∵DG=GC，∴DN=NM=12DM.
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE//GF，即HP//GQ.
∵HG//AC，即HG//PQ，
∴四边形HPQG是平行四边形，(依据2)∴S▱HPQG=HG⋅MN=12HG⋅DM.
∵S△ADC=12AC⋅DM=HG⋅DM，∴S▱HPQG=12S△ADC.同理，…
任务：(1)填空：材料中的依据1是指：______ .
依据2是指：______ .
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH、使得四边形EFGH为矩形；(要求同时画出四边形ABCD的对角线)
(3)在图1中，分别连接AC，BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论.
22. 综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90∘，∠A=∠D，将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合(标记为点B).当∠ABE=∠A时，延长DE交AC于点G，试判断四边形BCGE的形状，并说明理由.
数学思考：(1)请你解答老师提出的问题；
深入探究：(2)老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题.
①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M，BM与AC交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明.请你解答此问题；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9，AC=12，求AH的长.请你思考此问题，直接写出结果.
23. 综合与探究
如图，二次函数y=−x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B(1,3)，与y轴交于点C.
(1)求直线AB的函数表达式及点C的坐标；
(2)点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m.
①当PD=12OC时，求m的值；
②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF.设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(−1)×(−3)
=1×3
=3，
故选：A.
根据有理数乘法的计算得出结论即可．
本题主要考查有理数乘法的计算，熟练掌握有理数乘法的计算方法是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、B，D选项中的图书馆标志都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图书馆标志能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】D
【解析】解：A.a2⋅a3=a5，故选项不符合题意；
B.(−a3b)2=a6b2，故选项不符合题意；
C.a6÷a3=a3，故选项不符合题意；
D.(a2)3=a6，故选项符合题意．
故选：D.
选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可；选项B根据积的乘方运算法则判断即可；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可；选项D根据幂的乘方运算法则判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：1464亿千瓦时=146400000000千瓦时=1.464×1011千瓦时，
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.【答案】B
【解析】解：∵BD经过圆心O，
∴∠BCD=90∘，
∵∠BDC=∠BAC=40∘，
∴∠DBC=90∘−∠BDC=50∘，
故选：B.
由圆周角定理可得∠BCD=90∘，∠BDC=∠BAC=40∘，再利用直角三角形的性质可求解．
本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，得y=12+0.5x(0≤x≤10)，
故选：B.
根据不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，可得在弹性限度内，y与x的函数关系式．
本题考查了一次函数的应用，理解题意并根据题意建立函数关系式是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB//OF，
∴∠1+∠OFB=180∘，
∵∠1=155∘，
∴∠OFB=25∘，
∵∠POF=∠2=30∘，
∴∠3=∠POF+∠OFB=30∘+25∘=55∘.
故选：C.
由平行线的性质求出∠OFB=25∘，由对顶角的性质得到∠POF=∠2=30∘，由三角形外角的性质即可求出∠3的度数．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出∠OFB的度数，由对顶角的性质得到∠POF的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
8.【答案】D
【解析】解：∵k<0，点A，B同象限，y随x的增大而增大，
∵−3<−1，
∴0
∴c<0，
∴c
反比例函数y=kx(k≠0,k为常数)中，当k<0时，双曲线在第二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．根据这个判定则可．
本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．
9.【答案】B
【解析】解：∵过点A，B的两条切线相交于点C，
∴∠OAC=∠OBC=90∘，
∴A、O、B、C四点共圆，
∴∠AOB=α=60∘，
∴圆曲线AB的长为：60π⋅1.5180=12π(km).
故选：B.
由圆的切线可得∠OAC=∠OBC=90∘，进而可证明A、O、B、C四点共圆，利用圆内接四边形的性质可求得∠AOB=60∘，再根据弧长公式计算可求解．
本题主要考查圆的切线的性质，点与圆的位置关系，圆内接四边形的性质，弧长的计算，证明A、O、B、C四点共圆求解∠AOB的度数是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB.
∵点P，Q的坐标分别为(−2 3,3)，(0,−3)，图中是7个全等的正六边形，
∴AB=BC=2 3，OQ=3，
∴OA=OB= 3，
∴OC=3 3，
∵DQ=DB=2OD，
∴OD=1，QD=DB=CM=2，
∴M(3 3,−2)，
故选：A.
设中间正六边形的中心为D，连接DB.判断出OC，CM的长，可得结论．
本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11.【答案】3
【解析】解：原式=( 6)2−( 3)2
=6−3
=3.
故答案为：3.
直接利用平方差公式计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用平方差公式是解题关键．
12.【答案】(2+2n)
【解析】解：第1个图形中有2+2×1=4个白色圆片；
第2个图形中有2+2×2=6个白色圆片；
第3个图形中有2+2×3=8个白色圆片；
⋅⋅⋅⋅⋅
第n个图形中有(2+2n)个白色圆片；
故答案为：(2+2n).
每增加一个图案增加2个白色圆片，据此解答．
本题考查了图形的变化类问题，找到图形变化的规律是解答本题的关键．
13.【答案】 3
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠D=∠ABC=60∘，
∴∠BAD=180∘−60∘=120∘，
∵BA=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60∘，
∵BF平分∠ABE，
∴AO=OE，BO⊥AE，
∵∠OAF=∠BAD−∠BAE=120∘−60∘=60∘，
∴tan∠OAF=OFOA= 3，
∴OFOE= 3，
故答案为： 3.
证明△ABE是等边三角形，推出BO⊥AE，AE=OE，可得结论．
本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】16
【解析】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，即AC、CA，
∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是212=16，
故答案为：16.
画树状图，共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】 973
【解析】解：过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，如图所示：
则∠AHC=∠AHB=90∘，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=HC=12BC=3，
∴AH= AC2−CH2=4，
∵∠ADB=∠CBD+∠CEH，∠ADB=2∠CBD，
∴∠CBD=∠CED，
∴DB=DE，
∵∠BCD=90∘，
∴DC⊥BE，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=9，
∵DC⊥BE，AH⊥BC，
∴CD//AH，
∴△ECD∽△EHA，
∴CDAH=CEHE，
即CD4=69，
∴CD=83，
∴DE= CE2+CD2= 62+(83)2=2 973，
∵CD//AH，
∴DEAD=CECH，
即2 973AD=63，
解得AD= 973.
故答案为： 973.
过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，根据等腰三角形的性质得出BH=HC=12BC=3，根据勾股定理求出AH= AC2−CH2=4，证明∠CBD=∠CED，得到DB=DE，根据等腰三角形的性质得出CE=BC=6，证明CD//AH，得到CDAH=CEHE，求出CD=83，根据勾股定理求出DE= CE2+CD2= 62+(83)2=2 973，根据CD//AH，得到DEAD=CECH，即2 973AD=63，求出结果即可．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】解：(1)|−8|×(−12)2−(−3+5)×2−1
=8×14−2×12
=2−1
=1；
(2)x(x+2)+(x+1)2−4x
=x2+2x+x2+2x+1−4x
=2x2+1.
【解析】(1)根据绝对值，指数幂及单项式乘多项式的计算得出结论即可；
(2)根据指数幂及单项式乘多项式的计算得出结论即可．
本题主要考查绝对值，指数幂及单项式乘多项式的计算，熟练掌握绝对值，指数幂及单项式乘多项式的计算方法是解题的关键．
17.【答案】解：由题意得最简公分母为2(x−1)，
∴原方程可化为：
2+2x−2=3.
∴x=32.
检验：把x=32代入2(x−1)=1≠0，且原方程左边=右边．
∴原方程的解为x=32.
【解析】由题意，根据分式方程的解题步骤先找出最简公分母，化为整式方程，解方程后检验即可得结果．
本题主要考查了分式方程的解法，解题时要能找准最简公分母进行变形化为整式方程是关键，同时注意检验．
18.【答案】69 69 70
【解析】解：(1)七位评委给小涵打出的分数从小到大排列为：67，68，69，69，71，72，74，
所以这组数据的中位数是69(分)，众数是69(分)，平均数是67+68+69+69+71+72+747=70(分)；
故答案为：69，69，70；
(2)86×4+84×4+70×24+4+2=82(分)，
答：小涵的总评成绩为82分；
(3)不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选，
理由：由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于80分的有10人，因为小悦78分、小涵82分，
所以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选．
(1)分别根据中位数、众数和平均数的定义即可求出答案；
(2)根据加权平均数公式计算即可；
(3)根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案．
本题考查了频数(率)分布直方图，加权平均数，中位数和众数，解题的关键在于熟练掌握加权平均数，中位数和众数的计算方法．
19.【答案】解：(1)设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，
由题意得：x+2y=2.82x=3y，
解得：x=1.2y=0.8，
答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨．
(2)解：设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥．
根据题意得：(1.2+0.8×3)⋅m+8≤30，
解得：m≤559.
∵m为整数，
∴m取最大值，
∴m=6.
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．
【解析】设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，根据1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20.【答案】解：过E作EF⊥CD于F，延长AB，CD交于H，
∴∠EFD=90∘，
由题意得，在Rt△EFD中，∠EDF=60∘,ED=6,sin∠EDF=EFED，cos∠EDF=FDED，
∴EF=ED⋅sin∠EDF=6×sin60∘=6× 32=3 3(m)，
∴FD=ED⋅cos∠EDF=6×cos60∘=6×12=3(m)，
由题意得，∠H=90∘，四边形AEFH是矩形，
∴AH=EF=3 3，HF=AE=1.5m，
∵CF=CD−FD=3.5−3=0.5(m)，
∴CH=HF−CF=1.5−0.5=1(m)，
在Rt△BCH中，∠H=90∘，∠BCH=180∘−∠BCD=180∘−135∘=45∘，
∵cos∠BCH=CHBC,tan∠BCH=BHCH，
∴BC=CHcos∠BCH=1cos45∘=1 22= 2≈1.4(m)，
∴BH=CH⋅tan∠BCH=1×tan45∘=1(m)，
∴AB=AH−BH=3 3−1≈4.2(m).
答：BC的长度约为1.4m，AB的长度约为4.2m.
【解析】过E作EF⊥CD于F，延长AB，CD交于H，得到∠EFD=90∘，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】三角形中位线定理 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【解析】解：(1)证明：如图2，连接AC，分别交EH，FG于点P，Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N.
∵H，G分别为AD，CD的中点，
∴HG//AC，HG=12AC，(三角形中位线定理)，
∴DNMN=DGGC，
∵DG=GC，
∴DN=NM=12DM，
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，
∴HE//GF，即HP//GQ.
∵HG//AC，即HG//PQ，
∴四边形HPQG是平行四边形，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，
∴S▱HPQG=HG⋅MN=12HG⋅DM，
∵S△ADC=12AC⋅DM=HG⋅DM，
∴S▱HPQG=12S△ADC，
同理可得，S▱EFQP=12S△ABC，
∴S▱HEFG=12S四边形ABCD，
故答案为：三角形中位线定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)如图，画四边形ABCD，且AC⊥BD于O，点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求；
理由如下：∵点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF//BD，HG//BD，EH//AC，FG//AC，
∴EF//HG，EH//FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，EF//BD，
∴AC⊥EF，
∵FG//AC，
∴EF⊥FG，
∴平行四边形EFGH是矩形；
(3)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于AC+BD，理由如下：
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，
∴点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF=12BD，GH=12BD，EH=12AC，FG=12AC，
∴瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长=EF+GF+GH+EH=12BD+12BD+12AC+12AC=AC+BD.
(1)由三角形中位线定理和平行四边形的判定可求解；
(2)画四边形ABCD，且AC⊥BD于O，点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求；
(3)由三角形中位线定理可得EF=12BD，GH=12BD，EH=12AC，FG=12AC，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22.【答案】解：(1)结论：四边形BCGE为正方形．理由如下：
∵∠BED=90∘，
∴∠BEG=180∘−BED=90∘，
∵∠ABE=∠A，
∴AC//BE，
∴∠CGE=∠BED=90∘，
∵∠C=90∘，
∴四边形BCGE为矩形．
∵△ACB≌△DEB，
∴BC=BE.
∴矩形BCGE为正方形；
(2)①结论：AM=BE.
理由：∵∠ABE=∠BAC，
∴AN=BN，
∵∠C=90∘，
∴BC⊥AN，
∵AM⊥BE，即AM⊥BN，
∴S△ABF=12AN⋅BC=12BN⋅AM，
∵AN=BN，
∴BC=AM.由(1)得BE=BC，
∴AM=BE.
②解：如图：设AB，DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G，
∵△ACB≌△DEB，
∴BE=BC=9，DE=AC=12，∠A=∠D，∠ABC=∠DBE，
∴∠CBE=∠DBM，
∵∠CBE=∠BAC，
∴∠D=∠BAC，
∴MD=MB，
∵MG⊥BD，
∴点G是BD的中点，
由勾股定理得AB= AC2+BC2=15，
∴DG=12BD=152，
∵cos∠D=DGDM=DEBD，
∴DM=DG⋅BDDE=152×1512=758，即BM=DM=758，
∴AM=AB−BM=15−758=458，
∵AH⊥DE，BE⊥DE，∠AMH=∠BME，
∴△AMH∽△BME，
∴AHBE=AMBM=35，
∴AH=35BE=35×9=275，即AH的长为275.
【解析】(1)先证明四边形BCGE是矩形，再由△ACB=△DEB可得BC=BE，从而得四边形BCGE是正方形；
(2)①由已知∠ABE=∠BAC可得AN=BN，再由等积方法S△ABF=12AN.BC=12BN−AM，再结合已知即可证明结论；
②设AB，DE的交点为M，过M作MG⊥BD于G，则易得MD=MB，点G是BD的中点；利用三角函数知识可求得DM的长，进而求得AM的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由y=−x2+4x得，当y=0时，−x2+4x=0，
解得x1=0，x2=4，
∵点A在x轴正半轴上．
∴点A的坐标为(4,0).
设直线AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0).
将A，B两点的坐标(4,0)，(1,3)分别代入y=kx+b，
得4k+b=0k+b=3，
解得k=−1b=4，
∴直线AB的函数表达式为y=−x+4.
将x=0代入y=−x+4，得y=4.
∴点C的坐标为(0,4)；
(2)①解：∵点P在第一象限内二次函数y=−x2+4x的图象上，且PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，其横坐标为m.
∴点P，D的坐标分别为P(m,−m2+4m)，D(m,−m+4)，
∴PE=−m2+4m.DE=−m+4，OE=m，
∵点C的坐标为(0,4)，
∴OC=4.PD=12OC，
∴PD=2.
如图1，当点P在直线AB上方时，PD=PE−DE=−m2+4m−(−m+4)=−m2+5m−4，
∵PD=2，
∴−m2+5m−4=2，
解得m1=2.m2=3.
如图2，当点P在直线AB下方时，PD=DE−PE=−m+4−(−m2+4m)=m2−5m+4，
∵PD=2，
∴m2−5m+4=2，
解得m=5± 172，
∵0
②解：如图3，
由(1)得，OE=m，PE=−m2+4m，DE=−m+4.
∵BQ⊥x轴于点Q，交OP于点F，点B的坐标为(1,3)，
∴OQ=1，
∵点P在直线AB上方，
∴EQ=m−1.
∵PE⊥x轴于点E，
∴∠OQF=∠OEP=90∘，
∴FQ//DE，∠FOQ=∠POE，
∴△FOQ∽△POE，
∴FQPE=OQOE，
∴FQ−m2+4m=1m，
∴FQ=−m2+4mm=−m+4，
∴FQ=DE，
∴四边形FQED为平行四边形，
∵PE⊥x轴，
∴四边形FQED为矩形．
∴S=EQ+FQ=(m−1)(−m+4)，即S=−m2+5m−4=−(m−52)2+94，
∵−1<0，1
【解析】(1)利用待定系数法可求得直线AB的函数表达式，再求得点C的坐标即可；
(2)①分当点P在直线AB上方和点P在直线AB下方时，两种情况讨论，根据PD=2列一元二次方程求解即可；
②证明△FOQ∽△POE，推出FQ=−m+4，再证明四边形FQED为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，特殊四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．
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