2023年甘肃省白银市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年甘肃省白银市中考数学试卷（含答案解析），共22页。试卷主要包含了 9的算术平方根是， 若a2=3b，则ab=， 计算， 方程2x=1x+1的解为等内容，欢迎下载使用。

2023年甘肃省白银市中考数学试卷
1. 9的算术平方根是(    )
A. 81 B. 3 C. −3 D. 4
2. 若a2=3b，则ab=(    )
A. 6 B. 32 C. 1 D. 23
3. 计算：a(a+2)−2a=(    )
A. 2 B. a2 C. a2+2a D. a2−2a
4. 若直线y=kx(k是常数，k≠0)经过第一、第三象限，则k的值可为(    )
A. −2 B. −1 C. −12 D. 2
5. 如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长于点E，则∠DEC=(    )
A. 20∘
B. 25∘
C. 30∘
D. 35∘
6. 方程2x=1x+1的解为(    )
A. x=−2 B. x=2 C. x=−4 D. x=4
7. 如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB=2，BC=4，则四边形EFGH的面积为(    )
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
8. 据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表(部分数据)如下，下列结论错误的是(    )
年龄范围(岁)
人数(人)
90−91
25
92−93
■
94−95
■
96−97
11
98−99
10
100−101
m


A. 该小组共统计了100名数学家的年龄
B. 统计表中m的值为5
C. 长寿数学家年龄在92−93岁的人数最多
D. 《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96−97岁的人数估计有110人
9. 如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就.其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”.为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC=50∘时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC=(    )


A. 60∘ B. 70∘ C. 80∘ D. 85∘
10. 如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点.动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为(    )

A. (4,2 3) B. (4,4) C. (4,2 5) D. (4,5)
11. 因式分解：ax2−2ax+a=______.
12. 关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根，则c=______ (写出一个满足条件的值).
13. 近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果.如由我国制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录.如果把海平面以上9050米记作“+9050米”，那么海平面以下10907米记作“______ .
14. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB=55∘，则∠ABC=______ ∘.


15. 如图，菱形ABCD中，∠DAB=60∘，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB=6cm，则EF=______ cm.

16. 如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家.1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰.而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征.如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条(圆的半径)OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150∘上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处(舀水)转动到B处(倒水)所经过的路程是______ 米.(结果保留π)


17. 计算： 27÷ 32×2 2−6 2.
18. 解不等式组：x>−6−2xx≤3+x4.
19. 化简：a+2ba+b−a−ba−2b÷a2−b2a2−4ab+4b2.
20. 1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图.1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中.请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分.(按如下步骤完成，保留作图痕迹)
①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在⊙O上逆时针方向顺次截取AB=BC=CD；
②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于⊙O上方点E；
③以点A为圆心，OE长为半径作弧交⊙O于G，H两点.即点A，G，D，H将⊙O的圆周四等分.

21. 为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A.南梁精神红色记忆之旅(华池县)；B.长征会师胜利之旅(会宁县)；C.西路军红色征程之旅(高台县)，且每人只能选择一条线路.小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路.他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片.
(1)求小亮从中随机抽到卡片A的概率；
(2)请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率.
22. 如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离(图1).为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
课题
检测新生物到皮肤的距离
工具
医疗仪器等
示意图


说明
如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN.
测量数据
∠DBN=35∘，∠ECN=22∘，BC=9cm
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离.(结果精确到0.1cm)
(参考数据：sin35∘≈0.57，cos35∘≈0.82，tan35∘≈0.70，sin22∘≈0.37，cos22∘≈0.93，tan22∘≈0.40)
23. 某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析(两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用x表示，分成6个等级：A.x<10；B.10≤x<15；C.15≤x<20；D.20≤x<25；E.25≤x<30；F.30≤x≤35).下面给出了部分信息：
a.八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如图：

b.八年级学生上学期期末地理成绩在C.15≤x<20这一组的成绩是：15，15，15，15，15，16，16，16，18，18；
c.八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：
学期
平均数
众数
中位数
八年级上学期
17.7
15
m
八年级下学期
18.2
19
18.5
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：m=______ ；
(2)若x≥25为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有______ 人；
(3)你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由.
24. 如图，一次函数y=mx+n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=6x(x>0)的图象交于点B(3,a).
(1)求点B的坐标；
(2)用m的代数式表示n；
(3)当△OAB的面积为9时，求一次函数y=mx+n的表达式.

25. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)当⊙O的半径为5，sinB=35时，求CE的长.

26. 【模型建立】
(1)如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上.
①求证：AE=CD；
②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
(2)如图2，△ABC是直角三角形，AB=AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上.用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
(3)在(2)的条件下，若AD=4 2，BD=3CD，求cos∠AFB的值.


27. 如图1，抛物线y=−x2+bx与x轴交于点A，与直线y=−x交于点B(4,−4)，点C(0,−4)在y轴上.点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止.
(1)求抛物线y=−x2+bx的表达式；
(2)当BP=2 2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由；
(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动.连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值.


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：9的算术平方根是3，
故选：B.
根据算术平方根的定义即可求出答案．
本题考查算术平方根，解题的关键是熟练运用算术平方根的定义，本题属于基础题型．

2.【答案】A 
【解析】解：∵a2=3b，
∴ab=6.
故选：A.
直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．

3.【答案】B 
【解析】解：原式=a2+2a−2a
=a2.
故选：B.
直接利用单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项得出答案．
a2.

4.【答案】D 
【解析】解：∵直线y=kx(k是常数，k≠0)经过第一、第三象限，
∴k>0.
故选：D.
正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象经过第一、三象限，则k>0.
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：在等边△ABC中，∠ABC=60∘，
∵BD是AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD=12∠ABC=30∘，
∵BD=ED，
∴∠DEC=∠CBD=30∘，
故选：C.
根据等边三角形的性质可得∠ABC=60∘，根据等边三角形三线合一可得∠CBD=30∘，再根据作图可知BD=ED，进一步可得∠DEC的度数．
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．

6.【答案】A 
【解析】解：去分母得：2x+2=x，
解得：x=−2，
经检验x=−2是分式方程的解，
故原方程的解是x=−2.
故选：A.
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是关键．

7.【答案】B 
【解析】解：如图，设EG与FH交于点O，

∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，AB//CD，∠A=∠B=∠C=∠D=90∘，
根据折叠的性质可得，∠AGE=∠BGE=90∘，AG=BG，∠AFH=∠DFH=90∘，AF=DF，
∴AD//GE⊥BC，AB//FH//CD，
∴FH⊥GE，GE=BC=4，FH=AB=2，OF=OH，OG=OE，
∴四边形EFGH为菱形，
∴S菱形EFGH=12GE⋅FH=12×2×4=4.
故选：B.
由折叠可知∠AGE=∠BGE=90∘，AG=BG，∠AFH=∠DFH=90∘，AF=DF，由同旁内角互补，两直线平行得AD//GE⊥BC，AB//FH//CD，由平行线的性质可得FH⊥GE，GE=BC=4，FH=AB=2，OF=OH，OG=OE，再根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形可知四边形EFGH为菱形，最后利用菱形的面积公式计算即可求解．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、菱形的面积公式，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解题关键．

8.【答案】D 
【解析】解：A、该小组共统计的人数为：10÷10%=100(人)，故不符合题意；
B、统计表中m的值为100×5%=5(人)，故不符合题意；
C、长寿数学家年龄在92−93岁的人数为100×35%=35，长寿数学家年龄在94−95岁的人数为100×14%=14(人)，所以长寿数学家年龄在92−93岁的人数最多，故不符合题意；
D、《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96−97岁的人数估计有2200×11100=242(人)，故符合题意．
故选：D.
根据统计表和扇形统计图给出的数据分别对每一项进行分析，即可得出答案．
此题考查了统计表和用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．

9.【答案】B 
【解析】解：如图，

∵BM⊥CD，
∴∠CBM=90∘，
∵∠ABC=50∘，
∴∠ABE+∠FBM=180∘−90∘−50∘=40∘，
∵∠ABE=∠FBM，
∴∠ABE=∠FBM=20∘，
∴∠EBC=20∘+50∘=70∘.
故选：B.
根据BM⊥CD，得∠CBM=90∘，所以∠ABE+∠FBM=40∘，再根据∠ABE=∠FBM，得∠ABE=∠FBM=20∘，即可得∠EBC=20∘+50∘=70∘.
本题主要考查了垂线和角的计算，解题的关键是熟练掌握垂线的性质等知识．

10.【答案】C 
【解析】解：由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大，
当点P在边BC上时，y的值逐渐减小，
∴M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，
∵AB=4，EC=ED=12AB=12×4=2，
∴BE= BC2+CE2= 42+22=2 5，
∴M(4,2 5)，
故选：C.
根据图2确定M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，然后求值即可．
本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定M点的坐标与正方形的边之间的关系．

11.【答案】a(x−1)2 
【解析】
【分析】
此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式．
【解答】
解：ax2−2ax+a
=a(x2−2x+1)
=a(x−1)2.
故答案为：a(x−1)2.  
12.【答案】0(答案不唯一) 
【解析】解：∵方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22−16c>0，
解得：c<14.
故答案为：0(答案不唯一).
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=4−16c>0，解之即可得出c的取值范围，任取其内的一个数即可．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

13.【答案】−10907米 
【解析】解：∵海平面以上9050米记作“+9050米”，
∴海平面以下10907米记作“−10907米”，
故答案为：−10907米．
根据正数与负数的实际意义即可得出答案．
本题考查正数与负数的实际意义，正数和负数是一对具有相反意义的量，此为基础知识点，必须熟练掌握．

14.【答案】35 
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠A=∠D=55∘，
∴∠ABC=180∘−∠ACB−∠A=35∘，
故答案为：35.
根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形的外心的定义与性质．也考查了圆周角定理．

15.【答案】2 3. 
【解析】解：连接BD交AC于O，
则AO=CO，BO=OD
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA，AC⊥BD，
∵∠DAB=60∘，
∴△ABD是等边三角形，∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA=30∘，
∴BD=AB=6cm，
∴AO= AB2−BO2=3 3(cm)，
∴AC=2AO=6 3(cm)，
∵BE⊥AB，DF⊥CD，
∴∠CDF=∠ABE=90∘，
∴△CDF≌△ABE(ASA)，
∴AE=CF，
∵AE=CF=ABcos30∘=6 32=4 3(cm)，
∴EF=AE+CF−AC=2 3(cm)，
故答案为：2 3.
连接BD交AC于O，则AO=CO，BO=OD根据菱形的性质得到AD=AB，∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA，AC⊥BD，求得BD=AB=6cm，根据勾股定理得到AC=2AO=2× AB2−BO2=6 3(cm)，求得AE=CF，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．

16.【答案】5π 
【解析】解：AB=150∘π×6180∘=5π(米).
故答案为：5π.
根据弧长公式直接代入数值求解．
本题主要考查了学生对弧长公式的掌握情况，难度不大，认真计算即可．

17.【答案】解：原式=3 3×2 3×2 2−6 2
=12 2−6 2
=6 2. 
【解析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

18.【答案】解：由x>−6−2x得：x>−2，
由x≤3+x4得：x≤1，
则不等式组的解集为−2 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19.【答案】解：原式=a+2ba+b−a−ba−2b⋅(a−2b)2(a−b)(a+b)
=a+2ba+b−a−2ba+b
=4ba+b. 
【解析】根据分式的混合运算法则，先算乘除再算加减，进而得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

20.【答案】解：如图：点G、D、H即为所求．
 
【解析】根据题中的步骤作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握圆心角、弧及弦的关系是解题的关键、．

21.【答案】解：(1)小亮从中随机抽到卡片A的概率为13；
(2)画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片C的结果有1种，
∴两人都抽到卡片C的概率是19. 
【解析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有9种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片C的结果有1种，再由概率公式求解即可．
此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22.【答案】解：过点A作AF⊥MN，垂足为F，

设BF=xcm，
∵BC=9cm，
∴CF=BC+BF=(x+9)cm，
在Rt△ABF中，∠ABF=∠DBN=35∘，
∴AF=BF⋅tan35∘≈0.7x(cm)，
在Rt△ACF中，∠ACF=∠ECN=22∘，
∴AF=CF⋅tan22∘≈0.4(x+9)cm，
∴0.7x=0.4(x+9)，
解得：x=12，
∴AF=0.7x=8.4(cm)，
∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm. 
【解析】过点A作AF⊥MN，垂足为F，设BF=xcm，则CF=(x+9)cm，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

23.【答案】16 35 
【解析】解：(1)把八年级上学期40名学生的地理成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为16，16，故中位数m=16+162=16.
故答案为：16；
(2)200×6+140=35(人)，
即这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人．
故答案为：35；
(3)该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有提高，理由如下：
因为该校八年级学生的期末地理成绩下学期的平均数、众数和中位数均比上学期大，所以该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有提高．
(1)根据中位数的定义可得m的值；
(2)用200乘样本中下学期期末地理成绩达到优秀的学生所占比例即可；
(3)比较平均数、众数和中位数可得答案．
本题考查条形统计图，样本估计总体的思想，中位数，众数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

24.【答案】解：(1)∵反比例函数y=6x(x>0)的图象过点B(3,a)，
∴a=63=2，
∴点B的坐标为(3,2)；
(2)∵一次函数y=mx+n的图象过点B，
∴2=3m+n，
∴n=2−3m；
(3)∵△OAB的面积为9，
∴12n×3=9，
∴n=6，
∴A(0,−6)，
∴−6=2−3m，
∴m=83，
∴一次函数的表达式是y=83x−6. 
【解析】(1)由反比例函数的解析式即可求得的B的坐标；
(2)把B(3,2)代入y=mx+n即可求得用m的代数式表示n的式子；
(3)利用三角形面积求得n的值，进一步求得m的值．
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知函数图象上点的坐标特征满足解析式是解题的关键．

25.【答案】(1)证明：∵CE⊥AD，
∴∠E=90∘，
∵CO平分∠BCD，
∴∠OCB=∠OCD，
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO=∠D，
∴∠D=∠OCD，
∴OC//DE，
∴∠OCE=∠E=90∘，
∵OC是圆的半径，
∴CE是⊙O的切线；
(2)解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵sinB=ACAB=35，
∴AC=6，
∵∠OCE=∠ACO+∠OCB=∠ACO+∠ACE=90∘，
∴∠ACE=∠OCB=∠B，
∴sin∠ACE=sinB=AEAC=35，
解得：AE=3.6，
∴CE= AC2−AE2=4.8. 
【解析】(1)根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明；
(2)根据三角函数的意义及勾股定理求解．
本题考查了切线的判定和性质，掌握三角函数的意义及勾股定理是解题的关键．

26.【答案】(1)证明：①∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB=CB，EB=DB，∠ABC=∠EBD=60∘，
∴∠ABE=∠CBD，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD；
②解：AD=BD+DF.
理由如下：
∵△BDE是等边三角形，
∴BD=DE，
∵点C与点F关于AD对称，
∴CD=DF，
∵AD=AE+DE，
∴AD=BD+DF；
(2)BD+DF= 2AD.
理由如下：
如图1，过点B作BE⊥AD于E，

∵点C与点F关于AD对称，
∴∠ADC=∠ADB，
又∵CD⊥BD，
∴∠ADC=∠ADB=45∘，
又∵BE⊥AD，
∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴ABBC=BEBD= 22，∠ABC=∠EBD=45∘，
∴∠ABE=∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴CDAE=BCAB= 2，CD=DF，
∴DF= 2AE，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴BD= 2DE，
∴BD+DF= 2(DE+AE)= 2AD，
即：BD+DF= 2AD.
(3)解：如图2，过点A作AG⊥BD于G，

又∵∠ADB=45∘，
∴△AGD是等腰直角三角形，
又∵AD=4 2，
∴AG=DG=4，BD+DF= 2AD=8，
∵BD=3CD，CD=DF，
∴DF=2，
又∵DG=4，
∴FG=DG−DF=2，
在Rt△AFG中，由勾股定理得：AF= AG2+FG2= 42+22=2 5，
∴cos∠AFB=FGAF=22 5= 55. 
【解析】(1)①根据△ABC和△BDE都是等边三角形推出判定△ABE和△CBD全等，然后根据全等三角形的对应边相等即可得证；
②根据等边三角形的性质和对称的性质即可推出线段AD，BD，DF的数量关系；
(2)过点B作BE⊥AD于E，根据等腰直角三角形的性质推出判定△ABE∽△CBD，然后根据等腰直角三角形的性质和对称性即可推出线段AD，BD，DF的数量关系；
(3)过点A作AG⊥BD于G，推出△ADG是等腰直角三角形，求出AG、FG、AF的长后即可求出cos∠AFB的值．
本题是几何变换综合题，主要考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，深入理解题意是解决问题的关键．

27.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx过点B(4,−4)，
∴−16−4b=−4，
∴b=3，
∴y=−x2+3x.
答：抛物线的表达式为y=−x2+3x.
(2)四边形OCPD是平行四边形，理由如下：
如图1，作PD⊥OA交x轴于点H，连接PC、OD，

∵点P在y=−x上，
∴OH=PH，∠POH=45∘，
连接BC，
∵OC=BC=4，
∴OB=4 2.
∴BP=2 2，
∴OP=OB−BP=2 2，
∴OH=PH= 22OP= 22×2 2=2，
当xD=2时，DH=yD=−4+3×2=2，
∴PD=DH+PH=2+2=4，
∵C(0,−4)，
∴OC=4，
∴PD=OC，
∵OC⊥x轴，PD⊥x轴，
∴PD//OC，
∴四边形OCPD是平行四边形．
(3)如图2，由题意得，BP=OQ，连接BC，

在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ=45∘，OM=BC，
∵OC=BC=4，BC⊥OC，
∴∠CBP=45∘，
∴∠CBP=∠MOQ，
∵BP=OQ，∠CBP=∠MOQ，BC=OM，
∴△CBP≌△MOQ(SAS)，
∴CP=MQ，
∴CP+BQ=MQ+BQ≥MB(当M，Q，B三点共线时最短)，
∴CP+BQ的最小值为MB，
∵∠MOB=∠MOQ+∠BOQ=45∘+45∘=90∘，
∴MB= OM2+OB2= 42+(4 2)2=4 3，
即CP+BQ的最小值为4 3.
答：CP+BQ的最小值为4 3. 
【解析】(1)利用待定系数法将B点坐标代入抛物线y=−x2+bx中，即可求解．
(2)作辅助线，根据题意，求出PD的长，PD=OC，PD//OC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．
(3)作出图，证明△CBP≌△MOQ(SAS)，CP+BQ的最小值为MB，根据勾股定理求出MB即可解答．
本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．