精品解析：上海市闵行区2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

闵行区2022学年第二学期高一年级

数学期末区统考

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1. 函数的最小正周期是________________．

【答案】

【解析】

【分析】根据三角函数周期计算公式得出结果.

【详解】函数的最小正周期是

故答案为：

2. 若复数，则____________.

【答案】

【解析】

【分析】先求，再根据复数的模长的定义直接进行计算即可.

【详解】∵复数，则，∴.

故答案为：.

3. 已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=______________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用任意角的三角函数的定义直接求解即可

【详解】解：因为角α的终边经过点(3，4)，

所以，

故答案：

【点睛】此题考查任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题

4. 已知，，则角____________.

【答案】

【解析】

【分析】根据三角函数值求角的方法求解.

【详解】因为，，

所以角，

故答案为：

5. 若函数的最大值为，则____________.

【答案】

【解析】

【分析】根据辅助角公式得到，然后利用余弦函数的最值即可求解.

【详解】因为函数，

且函数的最大值为，

所以，解得，

故答案为：.

6. 已知，则的值为____________.

【答案】

【解析】

【分析】首先求出，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.

【详解】因为，所以，

则．

故答案为：．

7. 已知向量，的夹角为，，则在方向上的数量投影为____________.

【答案】

【解析】

【分析】首先求出，再根据及数量积的定义计算可得.

【详解】，的夹角为，，则，,

在方向上的数量投影为．

故答案为：．

8. 若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则___________．

【答案】5.

【解析】

【详解】分析：利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出．

详解：是关于的实系数一元二次方程的一个根，

也是此方程的一个虚根，
∴

故答案为5.

点睛：本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系，属于基础题．

9. 已知，，与平行，则实数的值为______.

【答案】

【解析】

【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.

【详解】因，，所以，

又与平行，所以，解得.

故答案为：

10. 在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称．若，则____________.

【答案】

【解析】

【分析】由题意结合任意角的三角函数的定义可得，利用二倍角的正切公式可求得的值．

【详解】在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，，

不妨设角的终边过点，则角的终边过点，

结合任意角的三角函数的定义可知，若，则，

则，

故答案为：．

11. 已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是____________.

【答案】

【解析】

【分析】依题意可得函数的图像与直线只在前几段有交点，分别分析函数与在前几段的交点个数，找到临近点，分析临界值时的交点情况，即可求出参数的取值范围.

【详解】因为函数在各段中的最大值逐渐减小，要使函数的图像与直线恰有个交点，

则函数的图像与直线只在前几段有交点，

依题意当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，

当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，

当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，

当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，

当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，

若，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，

此时函数的图像与直线的图象仅有个交点，不符合题意，

所以，

当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，

此时函数的图像与直线的图象恰有个交点，

若时，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点，

不满足函数的图像与直线的图象恰有个交点，

所以，

综上可得，即实数的取值范围是.

故答案为：

12. 已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为____________.

【答案】

【解析】

【分析】作出图形，根据图形的几何意义求解即可.

【详解】因为，

所以向量、、分别看作以为起点，以为终点，

且是边长为2的正三角形，为正三角形的中心，

又因为，

所以向量、、则是以为起点，正三角形各边中点为终点，

因为，当时，的值为，

故答案为：.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13. 复数的虚部为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的定义判断即可.

【详解】因为，所以复数的虚部为.

故选：A

14. 下列命题中正确的是（   ）

A.  B.

C. 若，则 D. 若，则

【答案】B

【解析】

【分析】根据相等向量、零向量定义判断A、C、D，根据向量数量积的定义判断B.

【详解】对于A：，故A错误；

对于B：，故B正确；

对于B：若时，与的方向可能不同，与可能不相等，故C错误；

对于D：若时，即，所以，得不出，故D错误．

故选：B．

15. 某同学将两角和的正弦、余弦、余切公式错误地记成如下三个式子：

①

②；

③；

若存在、恰巧能使上述某些式子成立，则能成立的式子最多有（   ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

【答案】C

【解析】

【分析】取特殊值判断①②，结合与已知等式，推出，从而进行判断③．

详解】当时，，

且，即①符合题意；

②当，时，，

且，即②符合题意；

③因为，

所以若成立，

则，

即，

所以，化简得，不符合实际，即③不符合题意．

故选：C．

16. 在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出取临界值时点的坐标、，即可得到图象，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积.

【详解】由题意可得，点在单位圆上，点的坐标为，

如图：当时，点坐标为，当时，点的坐标为，

向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和.

由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)，

故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，

因为，所以扇形的面积为等于.

故选：B.

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）考生应在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17. 在矩形中，，，点、分别是边、的中点，设向量，

（1）试用表示向量与；

（2）求值.

【答案】（1）；.   

（2）

【解析】

【分析】（1）由向量的加法运算，结合已知中点和矩形的性质即可求解；

（2）根据向量数量积的运算法则及（1）中的结论，运用向量数量积的运算方法进行计算即可求解.

【小问1详解】

如图，因为点是边的中点，所以，

则，

同理，.

【小问2详解】

由（1）可知，，，

又因为为矩形，所以，

则.

18. 欧拉公式将自然对数的底数，虚数单位，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，已知复数满足，.

（1）求，；

（2）若复数是纯虚数，求的值.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）由复数的模和共轭复数的概念直接求得；

（2）先求出，再由复数的运算法则求出，最后由复数是纯虚数求出．

【小问1详解】

；

【小问2详解】

且，

复数是纯虚数，

.

19. 上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.

（1）当米时，求分隔栏的长；

（2）综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值.

【答案】（1）米   

（2）平方米

【解析】

【分析】（1）首先求出，在中，利用余弦定理求出；

（2）在中，先利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解.

【小问1详解】

因为，所以，

在中，，，

由余弦定理得，

即，解得或（舍去），

所以的长为米；

【小问2详解】

因为，，

设，，则，

在中，由正弦定理得，

所有，

则

，

当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米.

20. 已知函数，其中，，分别求满足下列条件的函的解析式.

（1），，.

（2），、是的两个相异零点，的最小值为，且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称.

（3），，对任意的实数，记在区间上的最大值为，最小值为，，函数的值域为.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据求出，即可求出函数解析式；

（2）依题意可得，即可求出，再根据三角函数的变换规则求出变换后的解析式，由对称性及诱导公式求出，即可得解；

（3）首先求出周期，分、两种情况讨论，分别求出的取值范围，即可得到的值域，从而得到方程组，解得，再根据求出，即可得解.

【小问1详解】

依题意，又，所以，

所以，，解得，，又，

所以，所以.

【小问2详解】

依题意，，所以，

所以，将的图像向右平移个单位长度得到，

又关于轴对称，所以，所以，

又，所以，所以.

【小问3详解】

因为，，即区间的长度恰为，

又，令，，解得，，

所以的对称轴为，，

根据正弦曲线的性质当在区间上严格单调时取得最大值，

当与恰关于，对称时取得最小值，

①不妨设当，则是上严格增函数，

则

，

因为，

所以，则，即，

即，

②不妨设当，

则，

因为，

所以，则，即，

即，

综上所述，即，解得，

所以，又，

所以，所以或，，

因为，所以，所以.

21. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：

①；    ②；

③；        ④.

（1）设，，求和.

（2）由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：

①

②    ③.

试判断这三个结论是否正确，并对正确的结论予以证明.

（3）若，集合，.对于任意的，求出满足条件的，并将此时的记为，证明对任意的，不等式恒成立.

根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.

【答案】（1），   

（2）①③错误，②正确，证明见解析   

（3）证明见解析，答案见解析

【解析】

【分析】（1）根据所给定义计算可得；

（2）根据所给定义及复数代数形式的运算法则计算可得；

（3）设满足条件的，，、，根据所给条件求出，再证明对任意的，不等式恒成立，则只需计算的最小值，不妨令，表示出，即可得到，根据完全平方数的性质计算可得.

【小问1详解】

因为，，

所以，

【小问2详解】

设，，，、、、、、、，

则，，故①不成立，

，，

，

因为，，

所以

，故②正确；

，，

，，

设，，，

则，，

，

所以，故，即③错误；

【小问3详解】

设满足条件的，，、，

则，，

因为为任意的复数，不妨设且，

由定义可得，即，则，

所以，则，

以下证明对任意的，不等式恒成立，只需计算的最小值，

不妨令，则，

则

，

当，时取得最小值，此时与之前得到的相同，结论得证；

推广结论：对于任意复向量，，若对于任意的，当且仅当时，取到最小值.

【点睛】关键点睛：对于新定义问题，关键是理解所给定义，再结合所学相应知识解决问题.