福建省厦门市2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试题

厦门市2022—2023学年第二学期高一年级质量检测

数学试题

满分：150分考试时间：120分钟

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名境写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘淇的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。马在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数的虚部为（    ）

A．1 B．2 C． D．

2．某高中志愿者协会共有250名学生，其中高三年级学生50名．为了解志愿者的服务意愿，按年级采用比例分配的分层随机抽样方法抽取50名学生进行问卷调查，则高一年和高二年共抽取的学生数为（    ）

A．25 B．30 C．40 D．45

3．将一个底面半径为2，高为3的圆柱体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（    ）

A． B． C． D．

4．一个袋中装有大小与质地相同的3个白球和若干个红球，某班分成20个小组进行随机摸球试验，每组各做50次，每次有放回地摸1个球并记录颜色．统计共摸到红球619次，则袋中红球的个数最有可能为（    ）

A．3 B．5 C．7 D．9

5．在平行四边形中，，，设，，则（    ）

A． B． C． D．

6．某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术特长．设事件“选中的同学精通乐器”，“选中的同学㜔长舞蹈”，若，则（    ）

A． B． C． D．

7．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

8．一个人骑自行车由地出发向正东方向骑行了到达地，然后由地向南偏东方向骑行了到达地，再从地向北偏东方向骑行了到达地，则两地的距离为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．如图是全国居民消费价格涨跌幅的统计图（月度同比增长率是指本月和上一年同月相比较的增长率，月度环比增长率是指本月和上一个月相比较的增长率），从2022年5月到2023年5月（    ）

A．全国居民消费价格月度同比涨跌幅的极差为

B．2023年1月份全国居民消费价格月度环比涨幅最大

C．2023年5月份全国居民消费价格比2022年5月份全国居民消费价格上涨了

D．2023年2月份开始，全国居民消费价格持续下降

10．在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则（    ）

A．  B．

C．在方向上的投影向量的模为1 D．存在实数，使得与共线

11．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，且不共线，为复平面的坐标原点．若，则（    ）

A．  B．

C．四边形为菱形 D．若，则四边形为正方形

12．已知正四面体的棱长为2，和的重心分别为点，则（    ）

A．  B．平面

C．二面角的余弦值为 D．直线到平面的距离为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．方程在复数范围内的根为______．

14．如图，用斜二测画法画出水平放置的的直观图为，已知，，则的周长为______．

15．为调查某中学高一年级学生的身高情况，从中随机抽取100名学生作为样本，在统计过程中，甲、乙两名同学因事缺席，测得其余98名同学的平均身高为，方差为50，之后补测得甲、乙的身高分别为与，则样本的方差为______．

16．已知的内解所对的边分別为，且，，，则______；若内有一点，使得，，则______．（第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在四边形中，，，，其中，为不共线的向量．

（1）判断四边形的形状开给出证明；

（2）若，，与的夹角为，为中点，求．

18．（12分）

如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求三棱唯的体积．

19．（12分）

工作椅的座高是影响坐姿舒适程度的主要因素之一，符合人体工程学的合理座高约等于人体的“小腿加足高”．在某市居民中抽样调查了50位女性（1855岁）和50位男性（1840岁）的“小腿加足高”的数据（单位：），分别按从小到大排序如下：

（1）按如下方式把100个样本观测数据以组距20分为6组：，，．．．，，画频率分布直方图．根据所给数据补全直方图（用阴影表示），并估计总体的大致分布情况；

（2）根据国家标准，以男性的“小腿加足高”数据的第95百分位数和女性的“小腿加足高”数据的第5百分位数作为工作椅座高的上、下限值．根据这次调查结果，确定工作椅座高的范围，并判断是否在国家标准范围（单位：）内？若不在，请你从统计学的角度分析可能的原因．

20．（12分）

已知的内解所对的边分别为，满足．

（1）求证：；

（2）若为上一点，且，求的面积的最大值．

21．（12分）

为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动。该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，迬胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：

（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；

（2）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．

22．（12分）

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，．

（1）若平面平面，求证：；

（2）若，设和平面所成角为，求的最大值．

厦门市2022—2023学年度第二学期高一年级质量检测

数学试题参考答案及评分标准

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．A　2．C　3．B　4．B　5．A　6．C　7．D　8．B

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

9．BCD　10．BCD　11．ACD　12．AC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．　14．12　　15．49.5　　16．，

16．解：在中，由余弦定理得，

∴，∴

∵，∴，所以，，

∴，

∴，∴

又，且，∴．

同理

设，在中，，∴，∴

在中，，∴

由正弦定理得，即

∴∴，

∴，即．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．本题考查平面向量基本定理，向量的线性运算，向量的数量积等知识；考查推理论证能力和运算求解能力；考查化归与转化、数形结合等数学思想．本题满分10分．

解：（1）因为，，

所以，

又因为，所以，

又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形．

（2）因为，所以，

因为为中点，所以，

所以，所以，

所以，

因为，所以．

18．本题考查空间几何体结构特征、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、棱锥的体积等基本知识；考查空间想象、推理论证、运算求解等能力，考查化归与转化、数形结合等数学思想．本题满分12分．

解法一：（1）取中点，连接，，

因为是中点，所以，，

因为是中点，所以，，

所以，，

所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，所以平面．

（2）取中点，连接，

在正三棱柱中，

所以，且，

因为平面平面，所以，

因为，平面，平面，

所以平面，即平面，

所以的长为点到平面的距离，

又的面积为，

所以，

所以三棱锥的体积为．

解法二：（1）取中点，连接，，

因为是中点，所以，

因为平面，平面，

所以平面．

因为是中点，是中点

所以，，

所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，

所以平面，

因为平面，平面，，

所以平面平面，

因为平面，所以平面．

（2）同解法一．

19．本题考查频率分布直方图、样本的数字特征、用样本估计总体等知识；考查推理论证、运算求解、数据处理等数学能力．本题满分12分．

解：（1）由题意知在区间和上的频数分别为40，12，

所以在区间和上的频率/组距分别为，补全频率分布直方图如下：

所以由直方图可以看出，所对应的矩形面积最大，次之，并且整幅直方图具有一定的对称性．由此可以推测该市居民的小腿加足高的长度集中在附近，小腿加足高特别短或特别长的居民人数都较少．

（2）因为，，

所以女性的“小腿加足高”数据的第5百分位数为女性的第3个数据即356，

男性的“小腿加足高”数据的第95百分位数为男性的第48个数据即452，

所以工作椅座高的范围为．

所以本次调查所得范围不在国家标准范围内．

产生差异的主要原因为：①由样本的代表性所引起的，因为该市的调查结果不能代表全国的调查结果；②样本容量过小；③测量产生的误差等．

20．本题考查正弦定理、余弦定理等数学知识；考查推理论证、运算求解等数学能力；考查数形结合、化归与转化、分类讨论等数学思想．本题满分12分．

解：（1）因为，

由正弦定理可得，即，

因为，，所以，

所以，所以或．

若，则；

若，则，舍去；所以成立．

（2）在中，因为，，所以，

由正弦定理得，即，所以．

在中，由正弦定理得，

因为，所以．因为，

又，所以，

所以的面积．

又，所以，

所以当，即时，的面积最大值为2．

21．本题考查样本空间、古典概型、概率的基本性质、事件的相互独立性等数学知识；考查逻辑推理、运算求解等数学能力；考查化归与转化、分类讨论等数学思想．本题满分12分

解：（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则，

因为，所以，．所以游戏一获胜的概率为．

游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间，

则，因为，

所以，所以，所以游戏二获胜的概率为．

（2）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”，

则，且，，互斥，相互独立，

所以

又，且，，互斥，

所以

若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则，

所以，即．

进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：

当时，，舍去

当时，，满足题意，因此的所有可能取值为．

22．本题考查空间几何体结构特征、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系等基本知识；考查空间想象、推理论证、运算求解等能力，考查化归与转化、数形结合等数学思想．本题满分12分．

解法一：（1）取中点，连接．

因为，，，，为中点，

所以四边形为正方形，所以，

所以，，所以，，

所以，即．

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，又平面，所以，即．

（2）取中点，连接，．

在中，，，所以，所以为等腰直角三角形．

所以，．

因为为等腰直角三角形，所以，

又平面，所以平面．

又平面，所以平面平面．

在平面中，过点作于点，连接，

又平面平面，平面平面平面，

所以平面．

所以和平面所成角为，即．

设，则

①当时，在Rt中，，，

所以．

②当时，在Rt中，，，

所以．

在Rt中，因为，所以，

在Rt中，，（※）

③当，，，符合（※）．

综上，

令，，

则，

所以，当且仅当等号成立，

此时，所以的最大值为．

解法二：（1）同解法一；

（2）取中点，连接，．

在中，，，

所以，所以为等腰直角三角形．所以，．

因为为等腰直角三角形，所以，

又平面，所以平面．

又平面，所以平面平面．

在平面中，过点作于点，连接，

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面．所以和平面所成角为，即．

延长至点，使得，设，则．

当点与点不重合时，即，

在Rt中，，，所以，

在Rt中，，，所以，

在Rt中，（※），

当点与重合时，此时，，，符合（※），

所以．

所以，

令，则，．

所以，当且仅当等号成立，

此时，所以的最大值为．