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- 2023新教材高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性教师用书新人教A版选择性必修第二册 其他 0 次下载
- 2023新教材高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值教师用书新人教A版选择性必修第二册 其他 0 次下载
- 2023新教材高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值教师用书新人教A版选择性必修第二册 其他 0 次下载
2023新教材高中数学第5章一元函数的导数及其应用章末综合提升教师用书新人教A版选择性必修第二册
展开第5章 一元函数的导数及其应用 类型1 导数的几何意义1.导数的几何意义的应用:利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y-y0=f ′(x0)(x-x0),明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方程”的异同点.2.围绕着切点有三个等量关系:切点(x0,y0),则k=f ′(x0),y0=f(x0),(x0,y0)满足切线方程,在求解参数问题中经常用到.【例1】 已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.[解] (1)∵f ′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f ′(2)=13.∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f ′(x0)=3x+1,∴直线l的方程为y=(3x+1)(x-x0)+x+x0-16.又∵直线l过点(0,0),∴0=(3x+1)(-x0)+x+x0-16.整理得,x=-8,∴x0=-2.∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.又∵k=3×(-2)2+1=13,∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)∵切线与直线y=-+3垂直,∴切线的斜率k=4.设切点坐标为(x0,y0),则f ′(x0)=3x+1=4,∴x0=±1.∴或即切点为(1,-14)或(-1,-18).切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14. 类型2 函数的单调性与导数利用导数确定参数的取值范围时,要充分利用f(x)与其导数f ′(x)之间的对应关系,然后结合函数的单调性等知识求解.求解参数范围的步骤为:(1)对含参数的函数f(x)求导,得到f ′(x);(2)若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则f ′(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则f ′(x)≤0恒成立,得到关于参数的不等式,解出参数范围;(3)验证参数范围中取等号时,是否恒有f ′(x)=0.若f ′(x)=0恒成立,则函数f(x)在(a,b)上为常函数,舍去此参数值.【例2】 若函数f(x)=x3-x2+(a-1)x+1在区间(1,4)上单调递减,在区间(6,+∞)上单调递增,试求实数a的取值范围.[解] f ′(x)=x2-ax+a-1,由题意知f ′(x)≤0在区间(1,4)上恒成立,且f ′(x)≥0在区间(6,+∞)上恒成立.由f ′(x)≤0得x2-ax+a-1≤0.因为x∈(1,4),所以x-1∈(0,3),所以a≥=x+1.因为x+1∈(2,5),而a≥x+1恒成立,所以a≥5.由f ′(x)≥0得x2-ax+a-1≥0.因为x∈(6,+∞),所以x-1>5,所以a≤=x+1.因为x+1∈(7,+∞),而a≤x+1恒成立,所以a≤7.经检验,a=5和a=7都符合题意,所以实数a的取值范围是[5,7]. 类型3 函数的极值与导数1.已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤(1)求函数的导数f ′(x);(2)由极值点的导数值为0,列出方程(组),求解参数.2.对于函数无极值的问题,往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题,即转化为f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在某区间内恒成立的问题,此时需注意不等式中的等号是否成立.【例3】 (1)函数f(x)=x3-ax2-bx+a2-6a在x=2处取得极值8,则a=( )A.-4或6 B.-4 C.6 D.4或-6(2)设a∈R,若函数y=x+aln x在区间有极值点,则a取值范围为( )A. B.C.∪(e,+∞) D.(-∞,-e)∪(1)B (2)B [(1)对函数f(x)=x3-ax2-bx+a2-6a,求导得,f ′(x)=3x2-2ax-b.又∵在x=2处有极值为8,∴解得或①当时,f ′(x)=3x2+8x-28=0,解得x1=2,x2=-,∴有两个不等的实数根,满足题意;②当时,f ′(x)=3x2-12x+12=0⇒3(x2-4x+4)=0⇒3(x-2)2=0,∴x有两个相等的实数根,在此处无极值,不满足题意.故a的值是-4,故选B.(2)函数y=f(x)=x+aln x在区间有极值点⇔y′=0在区间有零点.f ′(x)=1+=(x>0).∴f ′·f ′(e)<0,∴(e+a)<0,解得-e<a<-.∴a的取值范围为.故选B.] 类型4 函数的最值与导数求连续函数f(x)在区间[a,b]上的最值的方法(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增或递减,则f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值;(2)若函数f(x)在闭区间[a,b]内有极值,则要先求出[a,b]上的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.【例4】 已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3x+y=0平行.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值.[解] (1)因为f ′(x)=3x2+2ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f ′(1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3.又因为函数过(1,0)点,即-2+b=0,b=2.所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2.(2)由(1)得f(x)=x3-3x2+2,得f ′(x)=3x2-6x.由f ′(x)=0,得x=0或x=2.①当0<t≤2时,在区间(0,t)上,f ′(x)<0,f(x)在[0,t]上单调递减,所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t3-3t2+2.②当2<t<3时,当x变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:x0(0,2)2(2,t)tf ′(x)0-0+ f(x)2↘-2↗t3-3t2+2f(x)min=f(2)=-2,f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0,所以f(x)max=f(0)=2. 类型5 导数在生活中的应用解决优化问题的步骤(1)要分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域.(2)要通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最值,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具.(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.【例5】 如图,曲线AH是一条居民平时散步的小道,小道两旁是空地,当地政府为了丰富居民的业余生活,要在小道两旁规划出两块地来修建休闲活动场所,已知空地ABCD和规划的两块用地(阴影区域)都是矩形(单位:米),AB=144,AD=150,CH=30,若以AB所在直线为x轴,A为原点,建立如图平面直角坐标系,则曲线AH的方程为y=a,记AM=t,规划的两块用地的面积之和为S.(1)求S关于t的函数S(t);(2)求S的最大值.[解] (1)根据所建平面直角坐标系,可得点H(144,120),所以120=a,解得a=10,又AM=t,所以P(t,10),所以S关于t的函数关系式为S(t)=t·(150-10)+(144-t)·10=150t-20t·+1 440·(0<t<144).[解] 令m=,则S=150m2-20m3+1 440m(0<m<12),所以S′=300 m-60m2+1 440=-60(m+3)(m-8),S′=0⇒m=8(负值舍去);S′>0⇒0<m<8;S′<0⇒8<m<12;所以函数S在区间(0,8)上单调递增,在区间(8,12)上单调递减,所以当m=8即t=64时,S取得最大值,为10 880平方米.所以S的最大值为10 880平方米.