2023新教材高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.2导数的概念及其几何意义教师用书新人教A版选择性必修第二册

5.1.2　导数的概念及其几何意义

知识点1　函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y′|x＝x0，即f ′(x0)＝ ＝ ．

简记：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在(x0，f(x0))处的瞬时变化率．

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的意义还可以用别的式子表示吗？

[提示]　还可以表示为f ′(x0)＝

 ＝ 等．

1．f(x)＝x2在x＝1处的导数为(　　)

A．2x B．2

C．2＋Δx  　 D．1

B　[f ′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2．故选B．]

知识点2　导数的几何意义

(1)导数的几何意义

如图，割线P0P的斜率k＝．记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即

k0＝ ＝f ′(x0)．

(2)切线方程

曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)的几何意义是(　　)

A．在点(x0，f(x0))处与y＝f(x)的图象只有一个交点的直线的斜率

B．过点(x0，f(x0))的切线的斜率

C．点(x0，f(x0))与点(0,0)的连线的斜率

D．函数y＝f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线的斜率

D　[根据导数几何意义知，只有D正确．在(x0，f(x0))处的切线可能与函数有多个交点．]

知识点3　导函数

对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，即f ′(x)＝y′＝ ．

2．f ′(x)与f ′(x0)有何关系？

[提示]　f ′(x)是f(x)的导函数，f ′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值，是f ′(x)在x＝x0时的函数值．

3．求函数f(x)＝－x2＋3x的导数．

[解]　因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝[－(x＋Δx)2＋3(x＋Δx)]－(－x2＋3x)＝－(Δx)2－2x·Δx＋3·Δx，所以＝－Δx－2x＋3．

故函数的导数f ′(x)＝ ＝ (－Δx－2x＋3)＝－2x＋3．

类型1　利用定义求函数在某点处的导数

【例1】　(1)已知函数f(x)在x＝x0处可导，若 ＝1，则f ′(x0)＝(　　)

A．2 B．1

C． D．0

(2)求函数y＝f(x)＝x－在x＝－1处的导数．

(1)C　[∵ ＝1，

∴ ＝，

即f ′(x0)＝ ＝，故选C．]

(2)[解]　因为Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－1＋Δx－－0＝，

所以＝＝，故函数在x＝－1处的导数y′|x＝－1＝ ＝ ＝2．

1．利用定义求函数f(x)的导数的步骤

(1)求函数值的改变量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；

(2)求函数的平均变化率

＝；

(3)取极限，得f ′(x)＝ ．

其中，在第二步求平均变化率时，要注意对的变形与约分，如果变形或约分不彻底，可能导致极限 不存在；在对取极限时，必须将变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式，如例1(2)．

2．求函数f(x)在某一点x0处的导数，通常可以有两种方法：一是直接利用函数在某一点x0处的导数的定义求解；二是先利用导数的定义求出函数的导函数，再计算导函数在x0处的函数值．

1．建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义．

[解]　根据导数的定义，得

f ′(100)＝

＝

＝

＝

＝

＝＋

＝0.105．

f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2．

类型2　导数几何意义的理解与应用

【例2】　(1)已知函数f(x)在R上有导函数，且f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是(　　)

A．f ′(a)＜f ′(b)＜f ′(c)

B．f ′(b)＜f ′(c)＜f ′(a)

C．f ′(a)＜f ′(c)＜f ′(b)

D．f ′(c)＜f ′(a)＜f ′(b)

(2)如图所示，点A(2,1)，B(3,0)，E(x，0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l．记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下列选项中的(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

利用导数的几何意义去理解，导数值越大，瞬时变化率越大，在该点处切线的斜率也越大．

(1)A　(2)D　[(1)由题意可知，f ′(a)，f ′(b)，f ′(c)分别是函数f(x)在x＝a、x＝b和x＝c处切线的斜率，则有f ′(a)<0<f ′(b)<f ′(c)，故选A．

(2)函数的定义域为[0，＋∞)．

当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即图象切线的斜率f ′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；

当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即图象切线的斜率f ′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的； 

当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即图象切线的斜率f ′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．故选D．]

导数几何意义理解中的两个关键

关键点一：y＝f(x)在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔f ′(x0)＞0；k＜0⇔f ′(x0)＜0；k＝0⇔f ′(x0)＝0．

关键点二：|f ′(x0)|越大⇔在x0处瞬时变化越快；|f ′(x0)|越小⇔在x0处瞬时变化越慢．

2．(1)已知函数f(x)的图象如图，设f ′(x)是f(x)的导函数，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系正确的是(　　)

A．f ′(xA)＞f ′(xB)

B．f ′(xA)＜f ′(xB)

C．f ′(xA)＝f ′(xB)

D．f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系不确定

(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是(　　)

A　　　　　B　　　　C　　　　　D

(1)A　(2)B　[(1)由导数的几何意义可得，f ′(xA)与f ′(xB)分别为A，B处的切线斜率，结合图象可知，f ′(xA)>f ′(xB)．

(2)从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B．]

类型3　求切线方程

【例3】　已知曲线C：y＝x3．

(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；

(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．

[解]　(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．

y′|x＝1＝ ＝

＝[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3．

∴k＝y′|x＝1＝3．

∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，

即3x－y－2＝0．

(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝x0＝3x，由题意可知kPQ＝y′|x＝x0，

即＝3x，又y0＝x，所以＝3x，

即2x－3x＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－．

①当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0．

②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0．

利用导数的几何意义求切线方程的方法

(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点(x0，y0)处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x0)·(x－x0)．

(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．

1．下面说法正确的是(　　)

A．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线

B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f ′(x0)必存在

C．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在

D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f ′(x0)有可能存在

C　[根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．]

2．已知f ′(x)是f(x)的导函数，且f ′(1)＝3，则 ＝(　　)

A．3 B．6

C．－6 D．－

C　[∵f ′(1)＝3，

∴

＝

＝－2

＝－2f ′(1)＝－6，故选C．]

3．某司机看见前方50 m处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是(　　)

A　　　　　B　　　　C　　　　D

A　[根据题意，刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C，D；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图象较陡，排除选项B，故选A．]

4．设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于________．

1　[因为f ′(1)＝ ＝

 ＝ (2a＋aΔx)＝2a，

所以2a＝2，所以a＝1．]

5．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则切点P的坐标为________．

(2,1)　　[设切点P(m，n)，切线斜率为k，

由y′＝ ＝ ＝

 (4x＋2Δx)＝4x，

得k＝y′|x＝m＝4m．

由题意可知4m＝8，∴m＝2．

代入y＝2x2－7得n＝1．

故所求切点P为(2,1)．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)f ′(x0)是如何反映函数y＝f(x)的图象特征的？

[提示]　曲线的升降、切线的斜率与f ′(x0)的关系如下．

(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)与导函数f ′(x)之间的区别和联系是什么？

[提示]　区别：①f ′(x0)是函数f(x)在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；

②f ′(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f ′(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f ′(x)．

联系：函数f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．这也是求函数在x＝x0处的导数的方法之一．

(3)曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？

[提示]　曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f ′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．