人教版高中数学 北京高考真题（试卷+解析）

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2023年北京卷高考真题数学试卷(详解)


一 、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合 ， ，则 ( ) .
A. B. C. D. { ＜ 1}

【答案】 A
【解析】 M = {|z+ 2 ≥ 0} = { 2}，
N = { 1 ＜ 0} = { ＜ 1}，
M n N = { 2 ≤ ＜ 1}，
故选： .



1 √-3) ，则的共扼复数 ( ) .
C. 1 + √-3i
2. 在复平面内， 复数 对应的点的坐标是
A. B. 1 - √-3i


D. 1 √-3i


【答案】 D
【解析】 因为在复平面内， 复数 对应的点的坐标是 ，
所以 ，
所以 ，
故选： .


3. 已知向量， 满足 ， ，则 ( ) .
A. B. C. D. 1

【答案】 B
【解析】 设， ，
则 ，
→
→α b = ( 1 2 1 2) = ( 2, 1)，
{ ＋2 2
,
1 22 ＝ 2




1
2
y2
解得{

y2

1
2
解得{


＝ 2
,
= 3
1，
＝ 2
,


2)，
2
2
b


→
b = (2，1)，


,

故选： .


4. 下列函数中 ，在区间上单调递增的是 ( ) .
2
A. B. C. D. f()= 3

【答案】 C
【解析】 A 选项：f() = ln 在 上单调递减， 故不符合题意 .


B 选项：f()
C 选项：f()
D 选项：f()

＋ )
2
= 2 (0在 上单调递减， 故不符合题意 .
= - 在 上单调递增， 故符合题意 .
＋)
= 3 1在 上不单调， 故不符合题意 .

故选 C .

5
5 1
C
. 在 的展开式中 ， 的系数为 ( ) .
A. B. C. D. 80

【答案】 D
5
【解析】 (2 - ) 的展开式的通项为
T＋1 C5(2 5 T ( - ( ) 25 C5 5 2，
令 ，解得，
所以 的系数为，
故选 .


8
6. 已知抛物线 的焦点为 ，点在上． 若到直线 的距离为 ，则 ( ) .
A. B. C. D. 4




【答案】 D
【解析】 因为抛物线，
所以准线为 ，
因为到直线 的距离为，
所以到直线 的距离为，
所以，
故选 .


7. 在中， ，则 ( ) .
A. B. C. D.

【答案】 B
【解析】 因为在中， ，
所以由正弦定理得 ，
化简得 ，
即 ，
由余弦定理得 ，
又，


所以C =
故选 .

3 ，



8. 若 ，则“ ”是“ ” 的 ( ) .
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】 C
y
【解析】 若 ，则 ， 即二者互为相反数， 可得 -= 2 成立；
g 2 ＋ 2 2
若 ，则 ， 即 ，得 .

故选 .

A B
D . . C
M · H



9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一， 蕴含着丰富的数学元素． 安装灯带可以勾勒出建筑轮廓 ，展现造型之
美． 如图 ，某坡屋顶可视为一个五面体， 其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形 .
若 ，，且等腰梯形所在平面 、等腰三角形所在平面与平面的夹角的正切值
均为 ，则该五面体的所有棱长之和为 ( ) .
E F
D/
C


A. B. C. D. 125m

【答案】 C
【解析】 如图 ，作点在底面的投影，
过点分别向和作垂线， 垂足分别为 ， .
E F








A

N

B


则和 为侧面与底面所成角的平面角，
有 .
由， 可得， 于是， 可得 .

在中 ， .
在中 ， ， .
⼜ .
于是 ，灯带的长度即所有棱长之和为：
2 × 25 ＋2 × 10 ＋4 × 8 ＋ 15 ＝ 117m，
故选 .


10. 已知数列满足 ，则 ( ) .
A. 当时， 为递减数列，且存在常数 ，使得恒成立
B. 当时， 为递增数列，且存在常数 ，使得恒成立
C. 当时， 为递减数列，且存在常数 ，使得恒成立
D. 当时， 为递增数列，且存在常数 ，使得恒成立

3
4
13
1
4 ＝ 一

4
,
,
4



【答案】 B
【解析】 n+ 1 n = -4 (a 6)3 ＋6
4 n n n 4 n
= - ( 6)3 ( 6) ＝ ( 6) - 6)2 1
A选项 ，若 ， ， ， ，
显然 ，且 ，得 ，
即是递减数列 .
又 ，
α3 02 ＜ 48 -4 ＜ 48 ，
a4 a3 ＜ a3 ＜ 48，

,

an - an 1 ＜ - 48
,
累加可得 ，则 ，
显然， 当时 ， ， 即没有最小值， 故错误；
,
B选项 ，， 由n＋1 -4 (αn 6)3 ＋
4
3
＋ 6 ＝
＋6，
4
得 ，3 = -4 -4 ＋6
4
13
3

＋ 6
6 ＋ 6 =
4 ＝ 一
＋6，
4
4
4
40
13
3

＋ 6

6 ＋ 6 ＝
05 ＝ 一
＋6，
4
4
4



观察可得， 是递增数列，且当时 ，，


若，

＜ 6恒成立， 故正确；

C选项 ，， 由 ，
4
1
3
6 ＋ 6 =
1
-4 ＋ 6

4
1
＋6，
03 ＝ 一
4
得 ，


4
观察可知， 是递减数列，且当时 ，，
故不存在常数， 恒成立． 故错误；
D选项 ，， 由 ，
得 ，

3
3
＋ 3 -4 ＋
3 = -41 6 - 6247＋
3
4
9
27

4
6 ＋ 6 = -4 -4
＋ 6
4





,
27
4


3
3
＋






,
结合。n＋1 an ＝ (αn 6)
于是可得是递增数列，
,
[ -4 (α )2 1 ， 可知…
结合各项特点，
可知不存在常数 ，使得恒成立． 故错误 .
故选： .


二 、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 已知函数 ，则 f( -2 .

【答案】
【解析】 f( -2 4-2 1g2 -2 4 + 1g2 2 2 1 = 1 .
【踩分点】


12. 已知双曲线的焦点为和 ， 离心率为 ，则的方程为 .


【答案】
【解析】

2
2

2 2
2
,
由题意 ，知C =



e = C = 2 = -2，


解得，
所以 ，


故的方程为

【踩分点】

2
2
2 2


.



13. 已知命题 ：若 ，为第一象限角，且 α > β , 则 ，能说明为假命题的一组 ，β 的值为
α = ，β .


9
【答案】
4

;

（ 答案不唯一）




【解析】 答案是开放性的， 比如α =
但是tan α < tanβ

2下 ＋ -下4 = ， ，满足 ，为第一象限角，且 神 β ,


【踩分点】


14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史， 战国时期就已经出现了类似于砝码的 、用来测量物体质量的“环 权”． 已知 枚环权的质量（ 单位：铢）从小到大构成项数为的数列 ，该数列的前项成等差数列，
后项成等比数列，且 ，， ，则a7 = ；数列所有项的和为 .

【答案】 48 ; 384
【解析】 由题意 ，得， 即 ，解得 （ 负值舍去） .
则 ， ，， 可得 .

于是 ，该数列为， ，， ， ， ， ，， ，
可得 .
【踩分点】

15. ＋ 2 ＜ α
设， 函数 ，给出下列四个结论：

①在区间 上单调递减；
②当时， 存在最大值；
③设 ， ，则 ；
④设 ， ． 若 存在最小值 ，则的取值范围是( -2
.
其中 ，所有正确结论的序号是 .

【答案】 ②③
【解析】 ①当 时， 在 上不是递减的 .
②当 时， ， ， 故 存在最大值 .
③当 时， ， 又 ， 故 .
当 时 ，若 ， 显然成立，
若 ， 由于 ，

C
A



只考虑 的情形，
1≤ 2且 ，必然成立，
（若 ，必然成立） .


3 {＋2 {
④当 时， = 显然在f() - ＋2( ＜
4 ，
即 也满足题意 故④错误 .



1 ，
3
4



上， 满足有最小值，










a



【踩分点】


三 、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤。
16. 如图 ，在三棱锥 中 ，平面 ，， Pc = 3 .
P
B


（ 1 ） 求证：平面 .
（ 2 ） 求二面角 的大小 .


【答案】（ 1 ） 见解析 .
（ 2 ） .
【解析】（ 1 ） 因为平面，
所以 ， .
因为在中 ，PA =









1， PC = 3 ，

由勾股定理可得 .
在中 ，， AC = √-2，
则，
可得， 即 .
因为， ，平面，

●
P.
g
●
A C



所以平面 .
（ 2 ） 过点作 ，则平面， ，，
又 ， 以为原点 ， ，和所在直线分别为轴 ，轴， 轴， 建立空间
直角坐标系， 如图所示 .

D

B

依题意， 可得 ， ， ，，

AP ＝ (0, 0, 1) ， ，，
设平面的法向量为，
I → ＋ y ＋ 2 = 0
CP = 0
则 ， 即 ，
令， 可得，
,
设平面的法向量为→n = (
( →
BC. = 0 a' = 0
1 →72 ＋ y+ = 0
则 ， 即 ，
CP · = 0
)
令， 可得 ，
1
,





所以cos →m , = =
2
√-2 × √-2
结合图示可知二面角 为锐角，
所以二面角 的大小为 .
【踩分点】

17. 设函数 .
（ 1 ） 若 ， 求的值 .
（ 2 ） 已知在区间 -下3 上单调递增， f() = 1． 再从条件① 、条件② 、条件③这三个条
件中选择一个作为已知 ，使函数存在， 求， 的值 .



3
条件①: ;
条件②: ;
2 3
条件③：在区间[ - ,- 上单调递减 .
注：如果选择的条件不符合要求， 第 问得 分； 如果选择多个符合要求的条件分别解答 ，按第
一个解答计分 .

【答案】（ 1 ） .
（ 2 ） 见解析 .
【解析】（ 1 ） f() = sin um cos ＋cos sin 9 = sin( ＋ ) .
若 ， 即 .
⼜ ，
所以 .
（ 2 ） 若选条件②: ,
则 ， 即 ，得，
即，
⼜ ，，
所以 ， ，
解得 ，
⼜ ，
所以 ，
故 ，
经检验， 符合题意 .

【踩分点】


18. 为研究某种农产品价格变化的规律， 收集得到了该农产品连续天的价格变化数据， 如下表所示． 在描 述价格变化时 ，用“ ”表示“上涨”， 即当天价格比前一天价格高；用“ ”表示“下跌”， 即当天价格比前一
天价格低；用“ ”表示“不变”， 即当天价格与前一天价格相同 .

时段
价格变化
第 天到第天





第天到第天
0 ＋ ＋0 ＋ ＋ 0 ＋ 0 ＋ ＋ 0 ＋
用频率估计概率 .
（ 1 ） 试估计该农产品价格“上涨” 的概率 .
（ 2 ） 假设该农产品每天的价格变化是相互独立的． 在未来的日子里任取天 ，试估计该农产品价格在
这天中天“上涨” 、天“下跌” 、天“不变” 的概率；
（ 3 ） 假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响． 判断第天该农产品价格“上涨”“下
跌”和“不变” 的概率估计值哪个最大． （ 结论不要求证明）

2

5
0 . 168
不变
⽆
⽆
⽆
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
【解析】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）

【踩分点】



19.
已知椭圆E ：

2
2
＋
2
b2



√-5
3
b ＞ 0) 的离心率为

, , 分别是的上 、下顶点 ， ，分别是E

的左 、右顶点， .
（ 1 ） 求的方程 .
（ 2 ） 设为第一象限内上的动点， 直线与直线交于点， 直线与直线 交于点 .
求证： .


【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
2
2

9 4
见解析

【解析】（ 1 ）依题意 ，得e
则e2 = =





C √-5
= - = b = 2
a 3 ， ，
a2 b2 a2 4 5

2 a2 9 ，

解得，
2 2
故的方程为 .
（ 2 ） 设 ，则 .

k =


立可得，， ，线：： . . ,

A
P

B 0 D
N
C


M



2)
由 ， ， 可得直线：g =
4m
2 - 0
与直线 联立， 可得N( 2)

2
C

.

＋2，

可得直线的斜率为：

＋2
3 2m ＋3n ＋ 6)
4m

3 ＋ 2m 6 2
6n2 4mn ＋ 8m 24

92 8m2 6m ＋ 12m ＋ 36
,
代入 ， 可得
6n2 4mn ＋ 8m 24 2
k = -，
36 ＋ 92 6m2 ＋ 12m 3

而直线的斜率为k


2

3
,

于是可得 .

【踩分点】


＋1 .
20. 设函数 ， 曲线在点 处的切线方程为
（ 1 ） 求 ，的值；
（ 2 ） 设函数， 求的单调区间；
（ 3 ） 设的极值点个数 .

【答案】（ 1 ）α ＝ - 1 ，b ＝ 1
（ 2 ） g()在 和 上单调递增 ，在 和 上单
调递减
（ 3 ） 有 个极值点
【解析】（ 1 ） f ( )= 1 32e＋b a3eα2＋b，




f (1) = 1 3e＋b αea＋b，
{1 3eb e＋b = ＋b
e = a
＋b 0 ，得 ，
解得 ， .
（ 2 ）
( )＝1 3 2 ea2＋b a 3 ea＋b，
g(α) = 6eα＋b 3aa2ea＋b 3a2e＋b a23e＋b
= eα＋b( 6 3α2 3α2 α23)
= ＋1 ( 6 6 2)
= · e ＋1 2 6＋ 6)，
令 ，解得， ， 或 .
g()与的关系如下表：




(0, 3 √-3)
3 √-3
3 √-3 3＋ √-3)
3 ＋ √-3
(3＋ √-3, ＋)
g()















9()在 和 上单调递增 ，在 和 上
单调递减 .
（ 3 ） () = 1 32 e 1 3 e +1，
( )＝ 1 3e2 e2 ＜ 0，
9(0) = 1 > 0，
由（ ） 可知在 上单调递增，
存在唯一 的使，
且在 上单调递减 ，在 上单调递增，
又 ，
9()在 上单调递减，
存在唯一 ，使，
且在 上单调递增 ，在 上单调递减，
g()在 上单调递减，
9 3 √-3) ＜ g(1) ＜ 0，
9(3) = 1 27e2 ＋27e2 = 1 > 0，
又在 上单调递增，




存在唯一 ，使，
且在 上单调递减 ，在 上单调递增，
令 ，
e - 1 > 3 2 - 3，
e - 1 ＋ 3 - 3 2 > 0，
当时， ， ，
(3, ＋ ) ，，
f()在 上无极值点，
综上所述， 有 个极值点 .







【踩分点】


21. 已知数列， 的项数均为，且 ，， ， 的前 项和分别为
A， ， 并规定 ，对于 ，定义
rk = max{iBi ≤ Ak ∈ {0, 1 , 2 …m}}， 其中 ，表示数集中最大的数 .
（ 1 ） 若 ， ，， ， ，， 写出 ， ， ， 的值；
（ 2 ） 若 ，且 ，， ， ， ， 求 ；
（ 3 ） 证明：存在， ， ， ，满足 ， ，使得 .

【答案】（ 1 ）ro = 0 r， ， ，r3 = 2
（ 2 ） rn ＝
（ 3 ） 见解析
【解析】（ 1 ） 方法一 ：列表如下， 对比可知 ， ， ， .

i


2
3
ai

2

3
Ai

2
3








3
3
Bi


4
7
TK



2
方法二： 由题意可知： ，， ， ， ， ，
B2 ＝ 4 ，，
当时 ，则 ， ， ， ，， 故；
当时 ，则 ， ， ，， ， 故 ； 当时 ，则 ，， ， ，， 故 ；
当时 ，则 ，， ， ，， 故 ；
综上所述： ， ， ， .
（ 2 ） 方法一 ：Ao ＝Bo ＝ 0， 可得；
因为 ，所以 ，
因此 ，则有 ，
又 ， 可得 ，
即 ，
则"m = "m — "m 1 ＋"m 1 - "m 2 ＋ … ＋r1 - "o
≥ 1 ＋ 1 ＋ … ＋ 1 = m，
又 ，且 共有项，
则 ，得 ，则 .
方法二： 由题意可知：，且 ，
因为， ，则 ，，
当且仅当时， 等号成立，
所以 ，，
又因为 ，则 ，
即 ，
可得 ，
反证：假设满足 的最小正整数为 ，
当时 ，则 ；
当 时 ，则 ，




则rm = (r m rm 1) 十 (rm 1 7m 2) + … + (r1 r)0 + ro
≥ 2(m j) ＋j = 2m j，
又因为 ，则 ，
假设不成立， 故 ，
即数列是以首项为 ，公差为的等差数列，
所以 ， .
（ 。） 方法一 ：要证：， 即证： ，
若 ，则取 ，即可 .
若，不妨设 ，则有，
⼜ ，
否则 ， 这与的定义矛盾 .
考虑到 ， 共有个数，且值只能从个数中取得，
由抽屉原理 ，必有相等的两个数存在 ，设其对应的下标为， .
由于关于单调递增 ，则 .
又因为 ，有 .
记 ，，
有 ，
即 .
方法二： （ ） 若 ，构建 ， ，
由题意可得：，且 为整数，
反证 ，假设存在正整数 ，使得，
则 ， ，
可得 ，
这与相矛盾，
故对任意 ， ，均有sn ≤ m 1
①若存在正整数 ，使得 ， 即，
可取 ， ， ，使得 ；
②若不存在正整数 ，使得，
因为 ，且 ，




所以必存在1 ≤ X ＜Y ≤ m ，使得 .
即 ， 可得，
可取 ， ， ， ，使得 ；
( ) 若 ，构建 ， ，
由题意可得：，且 为整数，
反证 ，假设存在正整数 ，使得 ，
则 ， ，
可得 ，
这与相矛盾，
故对任意 ， ，均有 .
①若存在正整数 ，使得 ， 即， 可取 ， ， ，使得 ；
②若不存在正整数 ，使得，
因为 ，且 ，
所以必存在1 ≤ X ＜Y ≤ m ，使得，
即 ， 可得，
可取 ， ， ， ，使得 .
综上所述：存在， 使得 .

【踩分点】