2023年新七年级数学人教版暑假弯道超车自学预习——第14讲 实际问题与一元一次方程

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第14讲 实际问题与一元一次方程
【人教版】

·模块一 产品配套与工程问题
·模块二 商品销售问题与利息问题
·模块三 积分问题与行程问题
·模块四 分段计费问题与方案选择问题
·模块五 课后作业
模块一
产品配套与工程问题



【例1】2022年北京冬奥会以及冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融，受到了国内外网友的热烈欢迎，某加工厂接到紧急加工冰墩墩的任务，原计划每天完成1200只，实际每天比原计划多加工600只，结果提前3天完成任务，设原计划x天完成任务，则可列方程为（  ）
A．1200x=(1200+600)(x−3) B．1200(x−3)=(1200+600)x
C．1200x=(1200−600)(x+3) D．1200(x+3)=(1200−600)x
【答案】A
【分析】设原计划x天完成任务，则实际完成时间为(x−3)天，结合题意得实际每天加工1200+600只，根据总量不变列方程即可．
【详解】解：设原计划x天完成任务，则实际完成时间为(x−3)天，
实际每天加工1200+600只，
依题意得，1200x=(1200+600)(x−3)
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用；根据题意找等量关系正确列方程是解题的关键．
【例2】某车间有44名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或2000个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套．根据题意可列方程（    ）
A．1200x=200044−x B．2×1200x=200044−x
C．2×2000=120044−x D．2000x=120044−x
【答案】B
【分析】根据“有x个工人生产螺丝”可得有44−x个工人生产螺母，再根据“每天生产的螺母和螺丝按2：1配套”，即可列出方程．
【详解】解：有x个工人生产螺丝，则有44−x个工人生产螺母，
可列方程为：2×1200x=200044−x，
故选∶B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程．
【变式1】从一个蓄水池中抽水，甲抽水机单独抽要12h抽完，乙抽水机单独抽要15h抽完，丙抽水机单独抽要20h抽完，若甲､丙先合抽3h后乙再加入，则还需几小时可以抽完?（    ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】A
【分析】设还需xh可以抽完，则由题意得3+x12+x15+3+x20=1，求出x的值即可得到结果．
【详解】解：设还需xh可以抽完，则由题意得：
3+x12+x15+3+x20=1，
解得x=3．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意列出方程是解决本题的关键．
【变式2】某车间有58名工人，每人每天可以生产8个甲种部件或5个乙种部件，1个甲种部件和3个乙种部件配成一套，为使每天生产的甲种部件和乙种部件刚好配套，应安排生产甲种部件和乙种部件的工人各多少名？
【答案】安排10名工人生产甲种部件，安排48名工人生产乙种部件
【分析】根据题意和题目中的数据，可知：甲种部件的数量×3＝乙种部件的数量，然后即可列出相应的方程，再求解即可．
【详解】解：设安排x名工人生产甲种部件，则安排58−x名工人生产乙种部件，
由题意可得8x×3=558−x，
解得x=10，
所以58−x=58−10=48
答：安排10名工人生产甲种部件，安排48名工人生产乙种部件．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
模块二
商品销售问题与利息问题



【例1】某商店在某一时间以每件 60 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 25%，另一件亏损 25%，卖这两件衣服总的是（    ）
A．不盈不亏 B．盈利 8 元 C．亏损 8 元 D．亏损 15 元
【答案】C
【分析】设第一件的成本价为x元，第二件的成本价为y元，根据题意，得60−x=25%x，y−60=25%y，比较总成本价与总销售价的大小判断即可．
【详解】设第一件的成本价为x元，第二件的成本价为y元，
根据题意，得60−x=25%x，y−60=25%y，
解得x=48，y=80
∵x+y=48+80=128＞120，且128−120=8
∴亏损8元，
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
【例2】将一笔资金按一年定期存入银行，若年利率为2%，到期支取时，共得本息和为7140元，则这笔资金是（    ）
A．6000元 B．6500元 C．7000元 D．7100元
【答案】C
【分析】设这笔资金为x元，根据本息和=本金×(1+年利率)，列出一元一次方程，求出x的值即可．
【详解】解：设这笔资金为x元，
由题意得，(1+2%)x=7140，
解得：x=7000．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程式，难度一般．
【变式1】某水果店第一次购进西瓜400千克，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进800千克西瓜，进货价比第一次每千克少0.5元，两次进货共花费4400元．
(1)这两次购进的西瓜进货价分别是每千克多少元?
(2)在销售过程中，两次进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，第一次购进的西瓜有4%的损耗，第二次购进的西瓜有5%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利3036元，每千克西瓜的售价为多少元?
【答案】(1)4元
(2)6元
【分析】（1）设第一次购进西瓜的进价为每千克x元，则第二次购进西瓜的进价为每千克x−0.5元，根据题意列一元一次方程即可求解．
（2）设每千克西瓜的售价为y元，求出两次的销售总额，再减去成本就是获利，列出一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）设第一次购进西瓜的进价为每千克x元，则第二次购进西瓜的进价为每千克x−0.5元，
依题意得：400x+800x−0.5=4400，
解得：x=4．
答：第一次购进西瓜的进价为每千克4元．
（2）设每千克西瓜的售价为y元，
依题意得：400×1−4%y+800×1−6%y−4400=3036
解得：y=6．
答：每千克西瓜的售价为6元．
【点睛】此题主要考查了一元一 次方程的应用，理解题意弄清楚题中的等量关系是解题的关键．
【变式2】小丽的妈妈在银行里存入一些现金，年利率2.25%存期一年，到期时银行代扣20%的利息税，实际可得利息90元．求这项储蓄的本金是多少？
【答案】这项储蓄的本金是5000元
【分析】设这项储蓄的本金是x元，根据题意列出方程解答即可．
【详解】解：设这项储蓄的本金是x元，可得：
2.25%x1−20%=90，
解得：x=5000，
答：这项储蓄的本金是5000元．
【点睛】此题考查一元一次方程的应用，关键是根据题意列出方程．
模块三
积分问题与行程问题


【例1】甲、乙两个足球队连续进行对抗赛，规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，共赛10场，甲队保持不败，得22分，甲队胜（    ）
A．5场 B．6场 C．7场 D．8场
【答案】B
【分析】共比赛10场，场次结果分胜、负、平，因为各自的分值不同，故设不同的未知数将等量关系表达出来，即设甲队胜x场，则平了(10−x)场，由此即可求出答案．
【详解】解：根据题意，设甲队胜x场，平(10−x)场，
∴3x+(10−x)=22，解方程组得，x=6，
∴甲队胜6场，可得22分，
故选：B．
【点睛】本题主要考查方程在实际中的运用，理清题干要表达的意思，设未知数将等量关系表示出来，再根据实际情况取值，符合题意得即可求出正确答案，理解题意，掌握方程思想是解题的关键．
【例2】一列长150米的火车，以每秒15米的速度通过长600米的桥洞，从列车进入桥洞口算起，这列火车完全通过桥洞所需时间是（　　）
A．40秒 B．60秒 C．50秒 D．34秒
【答案】C
【分析】火车完全通过桥洞行驶的路程等于桥洞长度与火车长度之和，设这列火车完全通过桥洞所需时间为x秒，根据时间、路程、速度的关系列方程，解方程即可．
【详解】解：设这列火车完全通过桥洞所需时间为x秒，
依题意得：15x=150+600，
解得：x=50，
∴这列火车完全通过桥洞所需时间为50秒．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是计算出火车完全通过桥洞时行驶的路程．
【变式1】学校组织学生参加知识问答，问答活动共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了A、B、C三名学生的得分情况，按此规则，参赛学生D的得分可能是（    ）．
参赛学生
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
19
1
93
C
15
5
65
A．75 B．63 C．56 D．44
【答案】D
【分析】根据表格中3名参赛学生的得分情况，可知答对一道题加5分，答错一题倒扣2分，设参赛学生D答错x道题（0≤x≤20，且x为整数），则其得分值为：5（20-x）-2x=100-7x，然后逐个选项进行计算，结果符合x的取值范围的为正确答案．
【详解】解：根据表格数据，A学生答对20道得分100，由B、C同学得分情况可知答错一题倒扣2分，故设参赛学生D答错x道题（0≤x≤20，且x为整数），则其得分值为：5（20-x）-2x=100-7x，
选项A：令100-7x=75，解得x=257，故选项A错误，不符合题意；
选项B：令100-7x=63，解得x=377，故选项B错误，不符合题意；
选项C：令100-7x=56，解得x=447，故选项C错误，不符合题意；
选项D：令100-7x=44，解得x=8，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据表格求出答错一题倒扣2分，正确列出方程解出x，当x的值为正整数时才符合题意．
【变式2】某车间计划加工一批产品．如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务；实际加工两个小时后，提高了加工速度，每小时多加工2个，结果提前1小时完成任务．
(1)该产品一共有多少个？
(2)若该产品销售时按成本价提高40%后进行标价，按标价的8折销售时，每个产品仍可以获利15元，这批产品总成本为多少元？
【答案】(1)该产品一共有80个；
(2)该批产品总成本为10000元．
【分析】（1）设这批产品需要加工x个，根据按现在的加工速度可以提前1小时完成任务列方程，解方程即可；
（2）先计算每个产品的成本，由（1）可知：该产品一共有60个，可得结论．
【详解】（1）解：设这批产品需要加工x个，
依题意得x−10×210−x−10×210+2=1，
解得x=80，
答：该产品一共有80个；
（2）解：设该批产品成本为a元/个，
a1+40%×80%=a+15，
解得a=125，
125×80=10000，
答：该批产品总成本为10000元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
模块四
分段计费问题与方案选择问题



【例1】甲、乙两店以同样价格出售一种商品，并推出不同的优惠方案在甲店累计购物超过100元后，超出100元的部分打9折；在乙店累计购物超过50元后，超出50元的部分打9.5折，则顾客到两店购物花费一样时为（    ）
A．累计购物不超过50元 B．累计购物超过50元不超过100元
C．累计购物超过100元 D．累计购物不超过50元或刚好为150元
【答案】D
【分析】设顾客累计购物x元时，两店花费一样多，分x＞100及x≤50两种情况考虑，当x≤50时，显然两店花费一样多；当x＞100时，根据优惠方案列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设顾客累计购物x元时，两店花费一样多，
当x＞100时，有
100+910（x−100）=50+95100（x−50），
解得：x=150；
当x≤50时，两店花费均为x元．
答：累计购物不超过50元或刚好为150元时，两店花费一样多．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【例2】2022年11月30日，神舟十五号载人飞船与中国空间站成功完成全自主快速交会对接．中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．正式开启了中国空间站常态化运营的新篇章．中国空间站模型在某商店价格规定如下表：
购买数量
1—50套
51—100套
100套以上
每套价格
13元
11元
9元

某校七年级（1）班和（2）班共104人计划购买模型，其中（1）班有40多人，不足50人，经估算，如果两个班以班为单位每人购买一套，则一共应付1240元，问：
(1)两班各有多少学生？
(2)如果两班联合起来，作为一个团体购买模型，可省多少钱？
(3)如果七年级（1）班单独组织去购买模型，作为组织者的你如何采购才最省钱？
【答案】(1)（1）班有学生48名，（2）班有学生56名；
(2)两班联合起来，作为一个团体购买模型，可省304元；
(3)组织（1）班去购买51套模型最省钱．
【分析】（1）由（1）班人数确定（2）班人数在51—100范围内，且每套售价11元，依题意列方程求解即可；
（2）两班共104人，超过100，计算出1240−104×9即为所省的钱；
（3）计算出51套模型的钱数与实际比较即可．
【详解】（1）因为（1）班有40多人，所以根据题意可知，（2）班人数在51—100范围内，且每套售价11元．
设（1）班有x名学生，则（2）班有104−x名学生．
13x+11104−x=1240
解得：x=48
104−x=56
答：班有学生48名，（2）班有学生56名．
（2）1240−104×9=1240−936=304（元）
答：如果两班联合起来，作为一个团体购买，可省304元．
（3）因为（1）班有48名学生，
正常花费13×48=624元；
而买51套模型则花费11×51=561元，
624−561=63元，
所以，组织（1）班去购买51套模型最省钱．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用；解题的关键是正确建立方程求解，结合题意分析比较．
【变式1】为了鼓励居民节约用电，我省实行居民生活用电分季节按阶梯标准收费，其中冬夏季具体标准如下表：
每月用电量（度）
单价（元/度）
不超过200度的部分
0.5
超过200度不超过450度的部分
0.6
超过450度的部分
0.9
(1)若小强家6月份的用电量为180度，求小强家6月份的电费是多少？
(2)若小强家2月份的用电量为365度，求小强家2月份的电费是多少？
(3)若小强家8月份的电费为340元，求小强家8月份的用电量是多少？
【答案】(1)90
(2)199
(3)650
【分析】（1）根据阶梯收费求解即可；
（2）根据阶梯收费求解即可；
（3）首先计算出450度电需要交250元电费，得到250