2023年新七年级数学人教版暑假弯道超车自学预习——第02讲 相反数与绝对值

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·模块一 相反数
·模块二 绝对值
·模块三 有理数比较大小
·模块四 课后作业
模块一
相反数
相反数
（1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；
（2）a−b的相反数是b−a；a−b+c的相反数是-a+b−c；
（3）相反数的和为0 b+a=0  a,b互为相反数；相反数的商为-1。
【考点1 相反数的概念及性质】
【例1.1】同学们，我们是2023届学生，这个数字2023的相反数是（ ）
A．2023B．12023C．−2023D．−12023
【答案】C
【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数）判断即可；
【详解】解：2023的相反数为−2023，
故选：C
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟悉相反数的定义是解题关键．
【例1.2】下列两个数不是互为相反数的是（ ）
A．−0.25与14B．213与−73C．−5与5D．−12与0.2
【答案】D
【分析】根据相反数的定义对各项判断即可．
【详解】解：A选项，∵−0.25=−14，∴−14 与14互为相反数，故A不符合题意；
B选项，∵213=73 ， ∴ 73与−73互为相反数，故B不符合题意；
C选项，∵−5与5互为相反数，故C不符合题意；
D选项，∵−12=−0.5，∴−0.5与0.2不是相反数，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．
【例1.3】已知数轴上A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是6，点A在点B的左边，则点B表示的数是______________．
【答案】3
【分析】根据相反数的定义求出点A、B到原点的距离，然后即可求出答案．
【详解】解：∵点A、B表示的数互为相反数，且两点间的距离是6，
∴A、B到原点的距离都是6÷2=3，
∵点A在点B的左边，
∴点A表示的数为-3，B表示的数为3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了相反数的定义和数轴的知识，熟知概念并求出点A、B到原点的距离是解题的关键．
【变式1.1】15的相反数是（ ）
A．−5B．−15C．5D．±5
【答案】B
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号．
【详解】解：15的相反数是−15，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
【变式1.2】若一个数的相反数等于它本身，那么这个数一定是（ ）
A．0B．1C．−1D．12
【答案】A
【分析】根据相反数的定义解答．
【详解】解：∵0的相反数是0，
∴如果一个数的相反数等于它本身，那么这个数是0．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
【变式1.3】如果a−4和−2互为相反数，那么a=___________．
【答案】6
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【详解】∵a−4和−2互为相反数
∴a−4=2
解得a=6
故答案为6．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
【变式1.4】若一个数与它的相反数在数轴上对应的点之间的距离为4，则这个数是（ ）
A．-2B．0C．±2D．±4
【答案】C
【分析】根据相反数的性质，结合数轴确定出所求即可．
【详解】解：若一个数与它的相反数在数轴上对应点之间的距离为4，
则这个数是±2，
故选：C．
【点睛】此题考查了数轴，以及相反数，熟练掌握相反数的性质是解本题的关键．
【考点2 利用相反数的意义化简】
【例2.1】−+2的相反数是（ ）
A．2B．12C．−12D．−2
【答案】A
【分析】先化简，再根据相反数的定义，即可求解．
【详解】解：−+2=−2，
∴−+2的相反数是2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握只有符号不相同的两个数互为相反数是解题的关键．
【例2.2】下列两数互为相反数的一组是（ ）
A．+20和−−20B．+−0.1和−−110
C．−0.3和−+0.3D．2.5和−+−52
【答案】B
【分析】将各个数进行化简，再根据相反数的定义即可进行解答．
【详解】解：A、∵+20=20，−−20=20，∴+20和−−20不是相反数，不符合题意；
B、∵+−0.1=−0.1，−−110=0.1，∴+−0.1和−−110互为相反数，符合题意；
C、∵−+0.3=−0.3，∴−0.3和−+0.3不是相反数，不符合题意；
D、∵−+−52=2.5，∴2.5和−+−52不是相反数，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义和化简多重符号，解题的关键是熟练掌握：只有符号不同的两个数互为相反数．
【例2.3】如图，图中数轴（缺原点）的单位长度为1，点A、B表示的数是互为相反数，则点C所表示的数为（ ）
A．2B．－4C．－1D．0
【答案】C
【分析】先判断原点的位置，进而即可求解．
【详解】解：∵点A、B表示的数是互为相反数
∴点C右边一个点的位置表示原点，
∴点C所表示的数为-1，
故选C．
【点睛】本题主要考查数轴上的点表示有理数数以及相反数的定义，找到原点的位置是关键．
【变式2.1】化简下列各数：
(1)−+2.7；
(2)−−14；
(3)−−+2；
(4)−++212．
【答案】(1)−2.7
(2)14
(3)2
(4)−212
【分析】（1）由+2.7的相反数的含义可得答案；
（2）由−14的相反数的含义可得答案；
（3）由+2的相反数的相反数的含义可得答案；
（4）由+212的本身的相反数的含义可得答案．
【详解】（1）解：−+2.7=−2.7.
（2）解：−−14=14.
（3）解：−−+2=−−2=2.
（4）解：−++212=−+212=−212.
【点睛】本题考查的是多重符号的化简，掌握“利用相反数的含义化简多重符号”是解本题的关键．
【变式2.2】数轴上点A表示的数是−+29，点A、B表示的数互为相反数，则点B表示的数是______．
【答案】29
【分析】先化简多重符合得到A表示的数，再根据相反数的定义：两个数只有符号不同，数字相同，那么这两个数互为相反数，0的相反数是0进行求解即可．
【详解】解：∵−+29=−29，−29的相反数为29，
∴点B表示的数为29，
故答案为：29．
【点睛】本题主要考查了化简多重符号和相反数的定义，解题的关键在于能够熟知相反数的定义．
【变式2.3】如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：
(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？
(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？
【答案】(1)-1
(2)点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5
【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可；
（2）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可．
（1）
由点A、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图，
故点C表示的数是-1．
（2）
由点D、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图，
故点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5．
【点睛】本题考查了相反数的定义和数轴，解题的关键是根据题意找出原点的位置．
模块二
绝对值
绝对值
（1）正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；
注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
（2）绝对值可表示为：|a|=a(a≥0)−a(a≤0) ；
（3）|a|是重要的非负数，即|a|≥0，非负性.
【考点1 绝对值的定义】
【例1.1】有理数−2023的绝对值为（ ）
A．−2023B．12003C．2023D．−12003
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义可进行求解．
【详解】解：−2023的绝对值为2023；
故选：C．
【点睛】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的意义（在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值）是解题的关键．
【例1.2】下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．−2与−12B．−2与2C．−12与−−12D．−π2与−π2
【答案】D
【分析】根据相反数的定义进行求解即可．
【详解】解：A、−2与−12不互为相反数，不符合题意；
B、−2=2与2不互为相反数，不符合题意；
C、−12与−−12=−12不互为相反数，不符合题意；
D、−π2与−π2=π2互为相反数，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
【例1.3】求下列各数的绝对值：
（1）﹣38；
（2）0.15；
（3）a（a＜0）；
（4）3b（b＞0）；
【答案】（1）38；（2）0.15；（3）﹣a；（4）3b；
【详解】（1）|﹣38|＝38；
（2）|+0.15|＝0.15；
（3）∵a＜0，
∴|a|＝﹣a；
（4）∵b＞0，
∴3b＞0，
∴|3b|＝3b
【变式1.1】−|−3|的相反数是（ ）
A．−3B．3C．13D．−13
【答案】B
【分析】根据“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”以及去绝对值解答．
【详解】解：∵|−3|=3，
∴−|−3|=−3的相反数是3．
故选： B．
【点睛】本题考查了相反数以及绝对值，掌握相反数的定义是关键．
【变式1.2】如图，数轴上表示−12的绝对值的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【答案】C
【分析】先求出−12的绝对值是12，再根据数轴的性质即可得．
【详解】解：−12的绝对值是12，
由图可知，数轴上表示12的点是P，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值、数轴，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．
【考点2 绝对值的性质】
【例2.1】下列说法中正确的是（ ）
A．0是最小的数
B．最大的负有理数数是－1
C．任何有理数的绝对值都是正数
D．如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等．
【答案】D
【分析】根据有理数大小比较、绝对值的意义及相反数的定义逐一判断即可求解．
【详解】解：A． −1−1，故−1不是最大的负有理数，故B选项不符合题意；
C． 0=0，0不是正数，故C选项不符合题意；
D． 如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数大小比较、绝对值的意义及相反数的定义，熟练掌握其有理数大小比较、绝对值的意义及相反数的定义是解题的关键．
【例2.2】如果一个有理数的绝对值是3，那么这个数是（ ）
A．3B．−3C．3或−3D．13或−13
【答案】C
【分析】根据绝对值的性质，即可求出这个数．
【详解】解：根据绝对值的定义，得|±3|=6．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的知识，注意绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【例2.3】有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若b+c=0，则a，b，c三个数中绝对值最大的数是（ ）
A．aB．bC．cD．无法确定
【答案】A
【分析】根据b+c=0，确定原点的位置，根据绝对值的意义即可求解．
【详解】解：∵b+c=0，
∴原点在b,c中间位置，而b,c到原点的距离相等，
∴a到原点的距离最大，
∴a的绝对值最大，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，相反数的应用，确定数轴原点的位置是解题的关键．
【变式2.1】下面的说法是否正确？请将错误的改正过来．
（1）有理数的绝对值一定比0大；
（2）有理数的相反数一定比0小；
（3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等．
【答案】（1）错误，有理数的绝对值一定大于0或等于0；（2）错误，有理数的相反数不一定比0小；（3）错误，这两个数相等或互为相反数；（4）正确
【分析】（1）由0是有理数，可判断说法错误，再改正即可得到答案；
（2）由有理数分为正有理数，0，负有理数，再根据相反数的含义可判断说法错误，再改正即可；
（3）由互为相反数的两个数到原点的距离相等可判断说法错误，再改正即可；
（4）由互为相反数的两个数到原点的距离相等可判断说法正确.
【详解】解：（1）有理数中0的绝对值是0，
所以有理数的绝对值一定比0大错误，
正确的说法为：有理数的绝对值一定大于或等于0.
（2）有理数中正有理数的相反数是负有理数，0的相反数是0，负有理数的相反数是正有理数，所以有理数的相反数一定比0小错误；
正确的说法为：有理数的相反数可为正数，0，负数，不一定比0小.
（3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，说法错误，
比如：−4=4, 但是−4≠4,
正确的说法为：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数.
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，说法正确.
【点睛】本题考查的是有理数的分类，相反数的含义，绝对值的含义，掌握有理数的相反数与绝对值的含义是解题的关键.
【变式2.2】在数轴上到原点的距离小于4的整数个数为____个.
【答案】7
【分析】根据数轴表示数的意义解题即可．
【详解】解：在数轴上到原点的距离小于4的整数有：−3，3，−2，2，−1，1，0，共7个
故答案为：7．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
【变式2.3】如果a−1=1−a，下列成立的是（ ）
A．a>1B．a2，∴−52−2，故B不符合题意；
C、∵−32=32，−2=2，∴32−2，故C不符合题意；
D、1>−2，故D不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键．
【例1.2】最接近−0.618的整数是（ ）
A．1B．0C．−1D．−2
【答案】C
【分析】根据有理数的大小比较，即可求解．
【详解】解：∵−1−12>−2，
∴最大的数是2，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查比较有理数大小．熟练掌握负数小于零，零小于正数，负数的绝对值大的反而小，是解题的关键．
【变式1.2】写一个比−52大比−32小的负整数________．
【答案】−2
【分析】根据有理数的比较即可求解．
【详解】解：比−52大比−32小的负整数有−2，
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较是解题的关键．
【变式1.3】已知a=−23，b=−2，c=0.01则a，b，c的大小关系（ ）
A．a