专题17 抽屉原理 —2022-2023学年六年级数学思维拓展精编讲义（原卷+解析）通用版

2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义

专题17 抽屉原理

如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。

基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。（2）如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。

利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。b、把元素放入（或取出）抽屉。C、说明理由，得出结论。

在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式：

              元素总数=商×抽屉数+余数

如果余数不是0，则最小数=商+1；如果余数正好是0，则最小数=商。

【典例分析01】某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？

把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。

平年一年有365天，闰年一年有366天。把天数看做抽屉，共366个抽屉。把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。

【典例分析02】某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？

首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有7种类型，把7种类型看成7个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有2人，那么去的人数应大于抽屉数。所以至少要去7+1=8（个）学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。

买书的类型有：

买一本的：有语文、数学、外语3种。

买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。

买三本的：有语文、数学和外语1种。

3+3+1=7（种）把7种类型看做7个抽屉，要保证一定有两位同学买到相同的书，至少要去8位学生。

【典例分析03】一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？

把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有1副同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的，以此类推。

把四种颜色看成是4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有一副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有

                  5+2+2=9（只）

                      答：最少要摸出9只手套才能保证有3副同色的。

【典例分析04】任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数，这是为什么？

一个自然数除以4的余数只能是0，1，2，3。如果有2个自然数除以4的余数相同，那么这两个自然数的差就是4的倍数。

一个自然数除以4的余数可能是0，1，2，3，所以，把这4种情况看做时个抽屉，把任意5个不相同的自然数看做5个元素，再根据抽屉原理，必有一个抽屉中至少有2个数，而这两个数的余数是相同的，它们的差一定是4的倍数。所以，任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数。

【典例分析05】幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？

把120个小朋友看做是120个抽屉，把玩具件数看做是元素。则364=120×3+4，4＜120。根据抽屉原理的第（2）条规则：如果把m×x×k（x＞k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。可知至少有一个抽屉里有3+1=4个元素，即有人会得到4件或4件以上的玩具。

【典例分析06】将400张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不能超过11张，试证明：找少有七名同学得到的卡片的张数相同。

这题需要灵活运用抽屉原理。将分得1，2，3，……，11张可片看做11个抽屉，把同学人数看做元素，如果每个抽屉都有一个元素，则需1+2+3+……+10+11=66（张）卡片。而400÷66=6……4（张），即每个周体都有6个元素，还余下4张卡片没分掉。而这4张卡片无论怎么分，都会使得某一个抽屉至少有7个元素，所以至少有7名同学得到的卡片的张数相同。

一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）

1．（2分）（2022•峡江县）把红、黄、蓝三种颜色的小球各12个放到一个盒子里，要保证一次摸到两个同色的小球，一次至少要摸出（　　）个小球。

A．13 B．4 C．5 D．25

2．（2分）（2022春•马尾区期中）东顺花园一共住着367个居民，其中至少有（　　）人是同一天过生日。

A．2 B．3 C．4 D．5

3．（2分）（2022•绵阳）有红、黄、蓝袜子各10只，闭着眼睛，任意取出袜子来，使得至少有2双袜子不同色，那么至少需要取（　　）只袜子．

A．9 B．5 C．16 D．13

4．（2分）（2021•陆丰市）给正方体的6个面涂上3种颜色（每个面涂1种颜色），不论怎么涂，至少有（　　）个面的颜色相同。

A．2 B．3 C．4 D．5

5．（2分）（2018•长沙）一只袋子里有红、黄、蓝、绿、白五种颜色的袜子共20双，在黑暗的房子里至少取出（　　）只，就一定能保证有10双袜子.

A．20 B．24 C．25 D．30

二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分）

6．（2分）（2022•成武县）黄老师给家人买衣服，有红、黄、白三种颜色，但结果总是至少有两个人的颜色一样，她家里至少有　   　人．

7．（2分）（2022春•同江市期中）6个小朋友乘5条小船游玩，至少有　   　个小朋友要坐在同一条小船里．

8．（2分）（2021•济南）将21枚棋子放入如图中的4个小方格中，那么一定有一具小方格内至少放 　   　枚棋子。

9．（2分）（2022•郑州）把一个正方体的6个面分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色（每个面只涂一种颜色）。无论怎么涂，至少有 　   　个面涂的颜色相同。

10．（2分）（2021•椒江区）这个学期的数学广角我们学习了鸽巢问题，鸽巢问题在数学和生活中均有广泛的应用。如“在13名小学生中至少有2名在同一个月份出生。”这个判断中，13名小学生的出生月份就相当于鸽巢问题中的鸽子，　   　就相当于鸽巢问题中的鸽笼。

11．（2分）（2022•管城区）今天是小明的生日，小明邀请好朋友一起庆祝。妈妈为他准备了一个大蛋糕，把蛋糕平均分成了8块放在6个盘子里，不管怎么放，总有一个盘子里至少放了 　   　块蛋糕。请说明

你的理由 　   　。

12．（2分）（2021•隆昌市）一个盒子里装有红、黄、蓝、绿颜色的球各8个，至少取 　   　个球，可以保证取到两个颜色相同的球；如果把盒子里所有的球分装在6个抽屉里，总会有一个抽屉里至少有 　   　个球。

13．（2分）（2021•黄州区）六（1）班有15个女生，17个男生，至少有 　   　个同学在同一个月出生；现在任意叫一位女生和一位男生一起帮助一（1）班教室大扫除，一共有 　   　种组合。

14．（2分）（2022•通城县）把红、蓝、黄三种颜色的筷子各5根混在一起。如果让你闭上眼睛，每次最少拿出 　   　根才能保证一定有2根同色的筷子；如果要保证有2双不同色的筷子，每次最少拿出 　   　根。（2双不同色的筷子是指一双筷子为其中一种颜色，另一双筷子为另一种颜色）

三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）

15．（2分）（2022•泗水县）把32个篮球分给6个小组，总有1个小组至少分到6个篮球。 　   　（判断对错）

16．（2分）（2022•岚皋县）龙一鸣玩掷骰子游戏，要保证掷出的骰子的点数至少有两次相同，他最少应掷7次．　   　（判断对错）

17．（2分）（2020•定州市）一个袋子中装有红、黄、白三种颜色的球各8个，至少要摸出8个球才能保证摸出的球中至少有4个球的颜色相同．　   　（判断对错）

18．（2分）（2016春•郴州期中）将10个苹果放进3个盒子里，总有一个盒子里至少有4个苹果．　   　 （判断对错）

19．（2分）（2019•宁波模拟）一个盒子里装有同样大小的黄、白乒乓球各3个，要想使取出的乒乓球中一定有两个黄乒乓球，则至少应取出5个球．　   　（判断对错）

四．应用题（共10小题，满分62分）

20．（6分）（2022•济南）“六一”儿童节，李老师拿133个小礼物发给班里的所有学生，如果至少有一名学生拿到了4个小礼物，那么，李老师班里最多有多少名学生？

21．（6分）（2022春•元氏县期中）一个鱼缸里有4种花色的金鱼，每种花色各有10条，从中任意捞鱼．

（1）至少捞出多少条鱼，才能保证有3条花色相同的金鱼？

（2）至少捞出多少条鱼，才能保证有3种花色不同的金鱼？

22．（8分）一副扑克牌（大王、小王除外）有四种花色，每种花色有13张．

（1）一次至少要拿出多少张牌，才能保证至少有两张牌是同花色的？

（2）从中任意抽牌，最少要抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？

（3）一次至少要拿出多少张牌，才能保证四种花色都有？

（4）一次至少要拿出多少张牌，才能保证至少有两张牌的数字是一样的？

23．（6分）把43颗玻璃球放入下面的盒子中，一定有一个盒子中至少放入多少颗玻璃球？

24．（6分）实验小学有369名学生是2008年出生的，这些学生中至少有多少人的生日在同一天？

25．（6分）（2022•满洲里市）从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意取牌．

（1）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数相同？

（2）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数不同？

（3）至少取多少张牌，保证有2张花色相同？

（4）至少取多少张牌，保证有2张红桃？

26．（6分）（2019•芜湖模拟）如果有25个小朋友乘6只小船游玩，至少要有几个小朋友坐在同一只小船里，为什么？

27．（6分）（2019•芜湖模拟）7个小朋友乘6只小船游玩，至少要有多少个小朋友坐在同一只小船里，为什么？

28．（6分）（2019•衡阳模拟）一个盒子里装有黑、白两种颜色的跳棋各10枚，从中最少摸出几枚才能保证有2枚颜色相同？从中至少摸出几枚，才能保证有3枚颜色相同？

29．（6分）（2017•长沙）一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1分，不答不得分，问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？