重庆市a卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份重庆市a卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共38页。试卷主要包含了，B两点，交y轴于点C等内容，欢迎下载使用。
重庆市A卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．因式分解的应用（共1小题）
1．（2021•重庆）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“合分解”．
例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，
∴609是“合和数”．
又如∵234＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，
∴234不是“合和数”．
（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）．令G（M）＝，当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的M．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2022•重庆）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．

三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；
（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．

4．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
5．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
Ⅷ

四．作图—复杂作图（共1小题）
6．（2022•重庆）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．
在△BAE和△EFB中，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB＝90°．
又∠A＝90°，
∴　 　①
∵AD∥BC，
∴　 　②
又 　 　③
∴△BAE≌△EFB（AAS）．
同理可得 　 　④
∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD．

五．几何变换综合题（共2小题）
7．（2022•重庆）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．
（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）若AB＝AC，且BD＝AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出的值．


8．（2021•重庆）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值．

六．相似形综合题（共1小题）
9．（2023•重庆）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD．
（1）如图1，若AC＝9，BD＝，求线段AD的长；
（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE；
（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值．

七．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
10．（2023•重庆）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A﹣D﹣C﹣B；②A﹣E﹣B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）
（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？

八．频数（率）分布直方图（共1小题）
11．（2023•重庆）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80），下面给出了部分信息：
A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．
B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．
两款智能玩具飞机运行最长时间统计表
类别
A
B
平均数
70
70
中位数
71
b
众数
a
67
方差
30.4
26.6
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？

九．整数问题的综合运用（共1小题）
12．（2022•重庆）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．
例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”；
又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”．
（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G（M）＝，P（M）＝．当G（M），P（M）均是整数时，求出所有满足条件的M．

重庆市A卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．因式分解的应用（共1小题）
1．（2021•重庆）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“合分解”．
例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，
∴609是“合和数”．
又如∵234＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，
∴234不是“合和数”．
（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）．令G（M）＝，当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的M．
【答案】（1）168不是“合和数”，621是“合和数”．（2）1224，1221，5624，5616．
【解答】解：（1）∵168＝12×14，
∵12和14十位数字相同，但个位数字2+4≠10，
∴168不是“合和数”．
∵621＝23×27，23和27十位数字相同，且个位数字3+7＝10，
∴621是“合和数”．
（2）设A的十位数字为m，个位数字为n，
∵M的个位数字不为0，且M是一个四位“和合数”，
∴3≤m≤9，1≤n≤9，
则A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，
∴P（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，Q（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|2n﹣10|．
∴G（M）＝＝＝＝4k（k是整数）．
∵3≤m≤9，
∴8≤m+5≤14，
∵k是整数，
∴m+5＝8或m+5＝12，
①当m+5＝8时，
或，
∴当m＝3时，n＝6或4，当m＝3时，n＝7或3，
∴M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝36×34＝1224或M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝37×33＝1221，
②当m+5＝12时，
或，
∴当m＝7时，n＝6或4，当m＝7时，n＝8或2，
∴M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝76×74＝5624或M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝78×72＝5616．
综上，满足条件的M有：1224，1221，5624，5616．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2022•重庆）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．

【答案】（1）y＝2x+2，作图见解答过程；
（2）﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）12．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（1，m），B（n，﹣2），
∴，n＝，
解得m＝4，n＝﹣2，
∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过A点和B点，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝2x+2，
描点作图如下：

（2）由（1）中的图象可得，
不等式kx+b＞的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）由题意作图如下：

由图知△ABC中BC边上的高为6，BC＝4，
∴S△ABC＝＝12．
三．二次函数综合题（共3小题）
3．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；
（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣1；
（2）点P的坐标为（2，﹣4），△PDE周长最大值为+8．
（3）点M的坐标为（2，﹣4）或（﹣2，12）或（6，12）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1），
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣1；
（2）如图1，设直线AB的函数表达式为y＝kx+n，
∵A（0，﹣1），B（4，1），
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣1，
令y＝0，得x﹣1＝0，
解得：x＝2，
∴C（2，0），
设P（t，t2﹣t﹣1），其中0＜t＜4，
∵点E在直线y＝x﹣1上，PE∥x轴，
∴t2﹣t﹣1＝x﹣1，
∴x＝2t2﹣7t，
∴E（2t2﹣7t，t2﹣t﹣1），
∴PE＝t﹣（2t2﹣7t）＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8，
∵PD⊥AB，
∴∠AOC＝∠PDE＝90°，
又∵PE∥x轴，
∴∠OCA＝∠PED，
∴△PDE∽△AOC，
∵AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴△AOC的周长为3+，
令△PDE的周长为l，则＝，
∴l＝•[﹣2（t﹣2）2+8]＝﹣（t﹣2）2++8，
∴当t＝2时，△PDE周长取得最大值，最大值为+8．
此时，点P的坐标为（2，﹣4）．
（3）如图2，满足条件的点M坐标为（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．
由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x，对称轴为直线x＝2，
①若AB是平行四边形的对角线，
当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，
即MN经过AB的中点C（2，0），
∵点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2，
∴点M的坐标为（2，﹣4），
②若AB是平行四边形的边，
Ⅰ．当MN∥AB且MN＝AB时，四边形ABNM是平行四边形，
∵A（0，﹣1），B（4，1），点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2﹣4＝﹣2，
∴点M的坐标为（﹣2，12）；
Ⅱ．当NM∥AB且NM＝AB时，四边形ABMN是平行四边形，
∵A（0，﹣1），B（4，1），点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2+4＝6，
∴点M的坐标为（6，12）；
综上所述，点M的坐标为（2，﹣4）或（﹣2，12）或（6，12）．


4．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；
（2）△PDE周长的最大值为，点P（2，3）；
（3）点N的坐标为：（，﹣）或（，）或（﹣，）．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）令y＝﹣x2+x+2＝0，
解得：x＝4或﹣1，即点B（4，0），
∵PE∥y轴，则∠PED＝∠OCB，
则tan∠PED＝tan∠OCB＝2，则sin∠PED＝，cos∠PED＝，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+2，
则PE＝﹣x2+x+2+x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2≤2，
即PE的最大值为2，此时，点P（2，3），
则△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED）＝（1++）PE＝，
即△PDE周长的最大值为，点P（2，3）；
（3）抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位，
则平移后抛物线的对称轴为x＝，
设点M（，m），点N（s，t），
由点A、P的坐标得，AP2＝18，
当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN得：
，解得：，
即点N的坐标为：（﹣，）；
当AM或AN是对角线时，由中点坐标公式和AN＝AP或AM＝AP得：
或，
解得：（不合题意的值已舍去），
即点N的坐标为：（，）；
综上，点N的坐标为：（，﹣）或（，）或（﹣，）．
5．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
Ⅷ

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；
（2）PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，﹣）；
（3）N的坐标为：（，）或（﹣，）或（﹣，）．
【解答】解：（1）把A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）设直线AB解析式为y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入得：
，
解得，
∴直线AB解析式为y＝x﹣4，
设P（m，m2﹣m﹣4），则PD＝﹣m2+m+4，
在y＝x﹣4中，令y＝m2﹣m﹣4得x＝m2﹣m，
∴C（m2﹣m，m2﹣m﹣4），
∴PC＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，
∴PC+PD＝﹣m2+2m﹣m2+m+4＝﹣m2+3m+4＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PC+PD取最大值，
此时m2﹣m﹣4＝×（）2﹣﹣4＝﹣，
∴P（，﹣）；
答：PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，﹣）；
（3）∵将抛物线y＝x2﹣x﹣4向左平移5个单位得抛物线y＝（x+5）2﹣（x+5）﹣4＝x2+4x+，
∴新抛物线对称轴是直线x＝﹣＝﹣4，
在y＝x2+4x+中，令x＝0得y＝，
∴F（0，），
将P（，﹣）向左平移5个单位得E（﹣，﹣），
设M（﹣4，n），N（r，r2+4r+），
①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，
∴，
解得r＝，
∴r2+4r+＝×（）2+4×+＝，
∴N（，）；
②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，
∴，
解得r＝﹣，
∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，
∴N（﹣，）；
③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，
∴，
解得r＝﹣，
∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，
∴N（﹣，）；
综上所述，N的坐标为：（，）或（﹣，）或（﹣，）．
四．作图—复杂作图（共1小题）
6．（2022•重庆）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．
在△BAE和△EFB中，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB＝90°．
又∠A＝90°，
∴　∠A＝∠EFB，　①
∵AD∥BC，
∴　∠AEB＝∠FBE，　②
又 　BE＝EB，　③
∴△BAE≌△EFB（AAS）．
同理可得 　△EDC≌△CFE（AAS），　④
∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD．

【答案】①∠A＝∠EFB，②∠AEB＝∠FBE，③BE＝EB，④△EDC≌△CFE（AAS）．
【解答】解：根据题意作图如下：

由题知，在△BAE和△EFB中，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB＝90°．
又∠A＝90°，
∴∠A＝∠EFB，①
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠FBE，②
又 BE＝EB，③
∴△BAE≌△EFB（AAS）．
同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④
∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD，
故答案为：①∠A＝∠EFB，②∠AEB＝∠FBE，③BE＝EB，④△EDC≌△CFE（AAS）．
五．几何变换综合题（共2小题）
7．（2022•重庆）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．
（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）若AB＝AC，且BD＝AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出的值．


【答案】（1）60°；
（2）结论：BF+CF＝2CN．
（3）．
【解答】解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，

在△BCE和△CBK中，
，
∴△BCE≌△CBK（SAS），
∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，
∵CE＝BD，
∴BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，
∵∠BEC+∠AEF＝180°，
∴∠ADF+∠AEF＝180°，
∴∠A+∠EFD＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；

（2）结论：BF+CF＝2CN．
理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，
∵AE＝BD，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BCF＝∠ABE，
∴∠FBC+∠BCF＝60°，
∴∠BFC＝120°，
如图2﹣1中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，

∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，
∴△CNM≌△QNF（SAS），
∴FQ＝CM＝BC，
延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，
∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，
∵PB＝PF，
∴△PFQ≌△PBC（SAS），
∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．
证法二：延长MC到P，使得CP＝CM，连接PB，PF，延长FC到Q，使得CQ＝BF．

∵FN＝MN，CP＝CM，
∴PF＝2CN，
∵CB＝CM＝CP，∠BCP＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△BCP是等边三角形，
∴∠BPC+∠BFC＝180°，
∴∠PBF+∠PCF＝180°，
∵∠PCQ+∠PCF＝180°，
∴∠PBF＝∠PCQ，
∴PB＝PC，BF＝CQ，
∴△PBF≌△PCQ（SAS），
∴PF＝PQ，∠BPF＝∠QPC，
∴∠QPF＝∠BPC＝60°，
∴△PQF是等边三角形，
∴FQ＝CF+CQ＝CF+BF＝2CN；

（3）由（2）可知∠BFC＝120°，
∴点F的运动轨迹为红色圆弧（如图3﹣1中），
∴P，F，O三点共线时，PF的值最小，
此时tan∠APK＝＝，
∴∠HPK＞45°，
∵QK⊥PF，
∴∠PKH＝∠QKH＝45°，
如图3﹣2中，过点H作HL⊥PK于点L，设PQ交KH题意点J，设HL＝LK＝2，PL＝，PH＝，KH＝2，
∵S△PHK＝•PK•HL＝•KH•PJ，
∴PQ＝2PJ＝2×＝2+
∴＝＝．

8．（2021•重庆）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；
（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值．

【答案】（1）；
（2）AG＝CD，证明过程见解答部分；
（3）．
【解答】解：（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q，
∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，
∴FA＝FQ，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴FQ＝CF，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
由旋转知，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴∠CBF+∠BEC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF+∠BEC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠BEC，
∵∠AFB＝∠CFE，
∴∠BEC＝∠CFE，
∴CF＝CE＝2，
∴AF＝FQ＝CF＝；

（2）AG＝CD，
理由：延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM，
∵G是BE的中点，
∴AG＝ME，
∵∠BAC+∠DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠DAE＝∠CAM，
∴∠DAC＝∠EAM，
∵AB＝AM，AB＝AC，
∴AC＝AM，
∵AD＝AE，
∴△ADC≌△AEM（SAS），
∴CD＝EM，
∴AG＝CD；

（3）如图3，连接DE，AD与BE的交点记作点N，
∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，
∵∠AEC＝150°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∵∠AEC＝150°，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∴点A，B，C，E四点共圆，
∴∠BEC＝∠BAC＝120°，
∴∠BED＝∠BEC﹣∠DEC＝30°，
∴∠DNE＝180°﹣∠BED﹣∠ADE＝90°，
∵AE＝DE，
∴AN＝DN，
∴BE是AD的垂直平分线，
∴AG＝DG，BA＝BD＝AC，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，
∴∠ACE＝∠ABE＝15°，
∴∠DCE＝45°，
∵∠DEC＝90°，
∴∠EDC＝45°＝∠DCE，
∴DE＝CE，
∴AD＝DE，
设AG＝a，则DG＝a，
由（2）知，AG＝CD，
∴CD＝2AG＝2a，
∴CE＝DE＝CD＝a，
∴AD＝a，
∴DN＝AD＝a，
过点D作DH⊥AC于H，
在Rt△DHC中，∠ACB＝30°，CD＝2a，
∴DH＝a，
根据勾股定理得，CH＝a，
在Rt△AHD中，根据勾股定理得，AH＝＝a，
∴AC＝AH+CH＝a+a，
∴BD＝a+a，
∴＝＝．



六．相似形综合题（共1小题）
9．（2023•重庆）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD．
（1）如图1，若AC＝9，BD＝，求线段AD的长；
（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE；
（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值．

【答案】（1）AD＝5；
（2）证明见解答过程；
（3）．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵∠B＝60°，AC＝9，
∴BC＝＝3，AB＝2BC＝6
∵BD＝，
∴AD＝AB﹣BD＝5；
（2）证明：取AB的中点O，连接OC，如图：

在Rt△ABC 中，点O为斜边AB的中点，
∴OC＝OB，
∵∠ABC＝60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴CO＝CB，∠OCB＝∠BOC＝60°，
∴∠DOC＝120°，
∵△CDE为等边三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴∠DCE＝∠OCB＝60°，即∠OCD+∠OCE＝∠OCE+∠BCE，
∴∠OCD＝∠BCE，
在△OCD和△BCE 中，
，
∴△OCD≌△BCE（SAS），
∴∠EBC＝∠DOC＝120°，
∴∠OCB+∠EBC＝180°，
∴OC∥BE，
在GF上截取HF＝BF，连接DH，
∵点F是DE的中点，
∴FE＝FD．
在△BEF和△HDF中，
，
∴△BEF≌△HDF（SAS），
∴BE＝HD，∠BEF＝∠HDF，
∴DH∥BE，
∴DH∥OC，
∴∠HDG＝∠OCD，
又∠G＝∠BCE，
∴∠G＝∠HDG，
∴HG＝HD，
∴HG＝BE，
∴GF＝HG+FH＝BE+BF；
（3）解：取AB的中点S，连接PS，如图：

在CD取得最小值时，CD⊥AB，
设AB＝4a，则BC＝2a，AC＝2a，
∵2S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴CD＝＝a，BD＝BC＝a，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB＝60°﹣30°＝30°＝∠DCB，
∵BC＝BC，
∴△BCD≌△BCE（SAS），
∴BD＝BE＝a，
∵将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM，
∴BE＝BN＝a，
∴N的运动轨迹是以B为圆心，a为半径的圆，
∵点P为AN的中点，S为AB的中点，
∴PS＝BN＝a，
∴P的运动轨迹是以S为圆心，a为半径的圆，
当CP最大时，C，P，S三点共线，过P作PT⊥AC于T，过N作NR⊥AC于R，如图：

∵S是AB中点，
∴BS＝AS＝CS＝AB＝2a，
∵∠ABC＝60°，
∴△BSC是等边三角形，
∴∠PCB＝60°，BC＝CS＝2a，
∴∠PCA＝30°，
∵CP＝CS+PS＝2a+a＝a，
∴PT＝CP＝a，CT＝PT＝a，
∴AT＝AC﹣CT＝a，
连接PQ交NR于W，如图：

∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，
∴PQ⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴PQ∥AC，即PW∥AR，
∵P为AN中点，
∴PW是△ANR的中位线，
∴NW＝RW＝NR，
同理可得PT是△ANR的中位线，
∴PT＝NR，
∴PT＝NW＝RW＝a，PW＝AR＝AT＝a，
∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，
∴∠QCB＝∠PCB＝60°，CP＝CQ，
∴∠QCP＝120°，
∴PQ＝CP＝a，
∴WQ＝PQ﹣PW＝a﹣a＝a，
∴NQ＝＝＝a，
∴＝＝．
七．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
10．（2023•重庆）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A﹣D﹣C﹣B；②A﹣E﹣B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）
（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？

【答案】（1）AD的长度约为14千米；
（2）小明应该选择线路①，理由见解析．
【解答】解：（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，
由题意得：四边形ABCF是矩形，
∴AF＝BC＝10千米，
在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，
∴AD＝＝＝10≈10×1.41≈14（千米）．
∴AD的长度约为14千米；
（2）小明应该选择线路①，
理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，
∴∠ADF＝45°＝∠DAF，
∴DF＝AF＝10千米，
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣60°＝30°，AB＝DF+CD＝24千米，
∴AE＝AB•tan30°＝24×＝8（千米），
EB＝2AE＝16千米，
按路线①A﹣D﹣C﹣B走的路程为AD+DC+CB＝14+14+10＝38（千米）
按路线②A﹣E﹣B走的路程为AE+EB＝8+16≈24×1.73＝41.52（千米）
∵38千米＜41.52千米，
∴小明应该选择线路①．

八．频数（率）分布直方图（共1小题）
11．（2023•重庆）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80），下面给出了部分信息：
A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．
B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．
两款智能玩具飞机运行最长时间统计表
类别
A
B
平均数
70
70
中位数
71
b
众数
a
67
方差
30.4
26.6
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝　72　，b＝　70.5　，m＝　10　；
（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？

【答案】（1）72，70.5，10；
（2）A款智能玩具飞机运行性能更好，理由见解答（答案不唯一）；
（3）192架．
【解答】解：（1）A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间中，72出现的次数最多，故众数a＝72，
把B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是70和71，故中位数b＝＝70.5，
m%＝1﹣50%﹣40%＝10%，即m＝10．
故答案为：72，70.5，10；
（2）A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：
虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好；（答案不唯一）；
（3）200×+120×（1﹣40%）＝120+72＝192（架），
答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．
九．整数问题的综合运用（共1小题）
12．（2022•重庆）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．
例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”；
又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”．
（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G（M）＝，P（M）＝．当G（M），P（M）均是整数时，求出所有满足条件的M．
【答案】（1）2022 不是“勾股和数”，5055 是“勾股和数”；
（2）8109或8190或4536或4563．
【解答】解：（1）∵22+22＝8，8≠20，
∴2022 不是“勾股和数”，
∵52+52＝50，
∴5055 是“勾股和数”；
（2）∵M为“勾股和数”，
∴10a+b＝c2+d2，
∴0＜c2+d2＜100，
∵G（M）为整数，为整数，
∴c+d＝9，
∴P（M）＝＝为整数，
∴c2+d2＝81﹣2cd为3的倍数，
∴cd为3的倍数．
∴①c＝0，d＝9或c＝9，d＝0，此时M＝8109或8190；
②c＝3，d＝6或c＝6，d＝3，此时M＝4536或4563．