重庆市广益中学2022-2023学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

2023年高二数学下期期末仿真测试试卷

一、选择题（每小题5分，共40分）

1. 假设有两个分类变量，，它们的可能取值分别为，，其列联表如下，则选项中各组数据最有可能说明“与有关系”的是（    ）

A. ，，， B. ，，，

C. ，，， D. ，，，

【答案】C

【解析】

【分析】根据独立性检验的计算公式，结合选项，比较各选项中的值，即可求解.

【详解】根据独立性检验的计算公式，其中，

影响观测值的主要因素为的大小，根据选项比较各选项中的值，

选项A中，；选项B中，；选项C中，；选项D中，，其中C项中的值最大，所以选项C中的数据最有可能说明“与有关系”.

故选：C．

2. 在展开式中，下列说法错误的是（    ）

A. 常数项为 B. 第项的系数最大

C. 第项的二项式系数最大 D. 所有项的系数和为

【答案】B

【解析】

【分析】由二项式定理可得展开式通项；令即可求得常数项，知A正确；若系数最大，则需，由此可确定系数最大项，知B错误；由展开式共有项可知C正确；令即可得到D正确.

【详解】展开式的通项为：；

对于A，令，解得：，常数项为，A正确；

对于B，由通项公式知：若要系数最大，所有可能的取值为，

则，，，，

展开式第项的系数最大，B错误；

对于C，展开式共有项，则第项的二项式系数最大，C正确；

对于D，令，则所有项的系数和为，D正确.

故选：B.

3. 2023年2月10日，神舟十五号三位航天员完成出舱活动全部既定任务，中国空间站全面建成后的首次出舱活动取得圆满成功.该航天科研所的甲､乙､丙､丁､戊5位科学家应邀去三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家.已知甲､乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（    ）

A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 30种

【答案】B

【解析】

【分析】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解.

【详解】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素，

因此要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素，

若A学校只安排一个元素，则有种分配方法；

若A学校只安排二个元素，则有种分配方法；

所以不同的安排方式有24种，

故选:B.

4. 已知函数的图像在点处的切线方程是，若，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据切线方程计算，，再计算导数，将2代入得到答案.

【详解】函数的图像在点处的切线方程是

故答案选C

【点睛】本题考查了切线方程，求函数的导数，意在考查学生的计算能力.

5. 已知一系列样本点…的回归直线方程为若样本点与的残差相同，则有

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别求得两个残差，根据残差相同列方程，由此得出正确选项.

【详解】样本点的残差为，样本点的残差为，依题意，故，所以选C.

【点睛】本小题主要考查残差的计算，考查方程的思想，属于基础题.

6. 已知随机变量，且，则的最小值为（    ）

A. 9 B. 8 C.  D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】由正态曲线的对称轴得出，再由基本不等式得出最小值.

【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，

又因为，所以，所以.

当时，，

当且仅当，即时等号成立，故最小值为.

故选：B

7. 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D. 不存在这样的实数k

【答案】B

【解析】

【分析】利用导数与函数单调性的关系以及一元二次方程的根进行求解.

【详解】由题意得，在区间上至少有一个实数根，

又的根为，且在或两侧异号，

而区间的区间长度为2，故只有2或-2在区间内，

∴或，

∴或，故A，C，D错误.

故选：B.

8. 已知函数f（x）＝（mx﹣1）ex﹣x2，若不等式f（x）＜0的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】令，化简得，构造函数，画出两个函数图像，结合两个函数图像以及不等式解的情况列不等式组，解不等式组求得的的取值范围.

【详解】有两个正整数解即有两个不同的正整数解，

令，，故函数在区间和上递减，在上递增，画出图像如下图所示，

要使恰有两个不同正整数解等价于

解得

故，选C.

【点睛】本小题主要考查不等式解集问题，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

二、多项选择题（每小题分，共20分）

9. 下列随机变量中，服从超几何分布的有(    )

A. 抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X

B. 有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X

C. 盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X

D. 某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X

【答案】CD

【解析】

【分析】判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：

(1)总体是否可分为两类明确的对象；

(2)是不是不放回抽样；

(3)随机变量是不是样本中其中一类个体的个数.

据此逐项分析判断即可.

【详解】AB是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故AB不符题意；

CD符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布.

故选：CD.

10. 对于二项式，以下判断正确的有（    ）

A. 存在，展开式中有常数项

B. 对任意，展开式中没有常数项

C. 对任意，展开式中没有x的一次项

D. 存在，展开式中有x一次项

【答案】AD

【解析】

【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案．

【详解】设二项式展开式的通项公式为，

则，

不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；

令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确．

故选：AD

11. 一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用，表示事件“第一次取出白球，”“第一次取出红球”；分别用B，C表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”.则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据条件概率公式和全概率公式依次判断选项即可.

【详解】由题得，，

根据条件概率公式，得.

，故A，B正确.

对选项C，，

所以，

故C错误.

对选项D，，

，故D错误.

故选：AB

12. 设函数，若是函数的两个极值点，则下列结论正确的是（          ）

A. 若，则 B. 若，则

C 若，则 D. 若，则

【答案】CD

【解析】

【分析】利用求得的关系式，利用差比较法计算，根据计算结果判断出正确的结论.

【详解】依题意，则，令，

由题意知，解得.

依题意，，是的两个零点，

所以（*），且，

①②，得③，

将（*）代入③，化简得（**），

所以

④，

将（*）、（**）代入④，得.

由于，所以当、、时，，

则，所以，故A、B错误，C正确.

当时，，则，所以，故D正确.

故选：CD

三、填空题（每小题5分，共20分）

13. 已知随机变量，且，，则______.

【答案】0.15##

【解析】

【分析】利用正态分布的对称性可求，由此可求.

【详解】由题意知，所以，

所以.

故答案为：0.15.

14. 已知，则__________.

【答案】132

【解析】

【分析】利用换元思想，简化等式，再按照二项式定理展开，可得的系数即是的值.

【详解】令，则，

则可转化为：

，

即，

所以，

所以，

故答案为：132.

15. 有3台车床加工同一型专的零件，第1台加工的次品率为6%，第2､3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1､2､3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，在取到的零件是次品的前提下，是第1台车床加工的概率为___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用全概率公式及条件概率的计算公式即可求解.

【详解】记为事件“零件为第（）台车床加工，为事件“任取一个零件为次品”，则

所以

所以.

故答案为：.

16. 是上可导的奇函数，是的导函数.已知时不等式的解集为，则在上的零点的个数为___________.

【答案】

【解析】

【详解】令，则，又∵时，，∴，在上单调递增，又∵，∴，不等式等价于，即，，解得，故，又∵，故在区间内的零点为，即2个零点，故答案为2.

四、解答题（第17题10分，其余各小题每题12分，共70分）

17 已知函数．

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间及极值．

【答案】（1）+1；（2）单调增区间是，单调减区间是和，极大值为，极小值为．

【解析】

【分析】（1）根据导数的几何意义可求出切线斜率，求出后利用点斜式即可得解；

（2）求出函数导数后，解一元二次不等式分别求出、时的取值范围即可得解.

【详解】（1）因为，所以，

∴切线方程为，即+1；

（2），所以当或时，，

当时，，所以函数的单调增区间是，单调减区间是和，极大值为，极小值为．

18. 某市为了了解全市1万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制如图所示的频率直方图.

（1）估算该校50名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）求这50名学生成绩在的人数；

（3）现从该校50名考生成绩在的学生中随机抽取两人，这两人成绩排名（从高到低）在全市前230名的人数记为，求的概率分布和均值.

参考数据：，则，，.

【答案】（1）68.2   

（2）10    （3）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数求法求解即可；

（2）利用频数等于频率乘以总数计算即可；

（3）先利用正态分布的概率计算方法求得全市前230名的分数要求，从而求得这50人中满足要求的有多少人，由此得到的可能取值，再利用古典概型概率公式计算得的分布列及均值.

【小问1详解】

.

【小问2详解】

成绩在的人数为.

【小问3详解】

∵，，

∴，，

∴全市前230名的成绩需在90分以上，

而50人中90分以上的人数为，所以的可能取值为0，1，2，

故，，，

则的概率分布为：

.

19. 一只红铃虫的产卵数和温度有关.现收集了7组观测数据如下表:

为了预报一只红铃虫在时的产卵数，根据表中的数据建立了与的两个回归模型.模型①:先建立与的指数回归方程，然后通过对数变换，把指数关系变为与的线性回归方程:；模型②:先建立与的二次回归方程，然后通过变换，把二次关系变为与的线性回归方程:.

（1）分别利用这两个模型，求一只红铃虫在时产卵数的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和，模型①的相关指数；模型②的残差平方和，模型②的相关指数；，，；，，，，，，）

【答案】（1），（2）模型①得到的预测值更可靠，理由见解析

【解析】

【分析】（1）把分别代入两个模型求解即可；

（2）通过残差及相关指数的大小进行判定比较.

【详解】(1)当时，根据模型①，得， ，根据模型②，得.

（2）模型①得到的预测值更可靠.理由1:因为模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由2:模型①的相关指数大于模型②的相关指数，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由3:因为由模型①，根据变换后的线性回归方程计算得到的样本点分布在一条直线的附近；而由模型②，根据变换后的线性回归方程得到的样本点不分布在一条直线的周围，因此模型②不适宜用来拟合与的关系；所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠.（注:以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得）

【点睛】本题主要考查回归分析，模型拟合程度可以通过两个指标来判别，一是残差，残差平方和越小，拟合程度越高；二是相关指数，相关指数越接近1，则拟合程度越高.

20. 已知函数．

（1）当时，求的极值；

（2）若对恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）的极大值为，极小值为；（2）．

【解析】

【分析】（1）利用导数求解函数的极值即可.

（2）首先利用导数求出函数的最小值，从而得到，再解不等式即可.

【详解】（1）当时，，

，

令，解得或．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以的极大值为，极小值为．

（2）．

令，即，解得或．

因为，所以当x变化，，的变化情况如下表：

当时，有，，，

所以，从而．

又函数在处取得极小值，

所以为函数在R上的最小值．

因为不等式对恒成立，

所以，解得．

所以a的取值范围是．

21. 近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：

（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？

（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送骑行券.用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过转赠给好友.某用户共获得了5张骑行券，其中只有2张是一元券.现该用户从这5张骑行券中随机选取2张转赠给好友，求选取的张中至少有1张是一元券的概率.

参考公式：，其中.

【答案】(1) 在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.(2) .

【解析】

【详解】（1）由列联表的数据，有

.   故在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.

（2）把张一元券分别记作，，其余张券分别记作，，.

则从张骑行券中随机选取张的所有情况为：，，，，，，，，，.共种.

记“选取的张中至少有张是一元券”为事件，则事件包含的基本事件个数为.     

∴.

【点睛】本题考查了独立性检验以及古典概型概率的求法.重点考查了的计算，考查了运算能力.

22. 已知函数，.

（1）设，求函数的极大值点；

（2）若对，不等式恒成立，求m的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）求出函数及其导数，再探讨导数值为正为负的取值区间作答.

（2）验证时，不等式成立，当时，变形给定不等式，构造函数，利用导数分类讨论求解作答.

【小问1详解】

函数，求导得，由，得，

当时，，即，函数单调递增；

当时，，即，函数单调递减，

因此函数在处有极大值，

所以函数的极大值点为.

【小问2详解】

依题意，，，不等式，

当时，成立，则，

当时，，，

令，，求导得，

令，，求导得，

因此在上单调递增，即有，而，

又函数在上的值域是，则函数，即在上的值域是,

当时，，当且仅当时取等号，于是函数在上单调递增，

对，，因此，

当时，存在，使得，当时，，函数在上单调递减，

当时，，不符合题意，

所以m的取值范围为.

【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以借助分段讨论函数的导函数，结合函数零点探讨函数值正负，以确定单调性推理作答.