期末典例专项练习十三：打电话和找次品问题-2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列（解析版）人教版

2022-2023学年五年级数学下册典型例题系列之

期末典例专项练习十三：打电话和找次品问题

（解析版）

一、填空题。

1．有30瓶水，其中有29瓶质量相同。另一瓶是糖水，比其它的水略重一些。至少要称(        )次才能保证找出这瓶糖水。

【答案】4

【分析】把30瓶水分成3份，能够均分的要平均分，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1，再利用天平性质找出次品。

【详解】第一次，把30瓶分成3份：10瓶、10瓶、10瓶，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，糖水在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；

第二次，取含有糖水的那份分成3份：3瓶、3瓶、4瓶，取3瓶的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则糖水在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；

第三次，取含有糖水的那份（3或4瓶），取两瓶分别放在天平两侧，若天平平衡，则糖水是未取的那瓶或在未取的那份中，若天平不平衡，较重的那瓶是糖水；

第四次，将含糖水的那份（2瓶），分别放在天平两侧，较重的那瓶是糖水。

以上至少称4次能保证找出这瓶糖水。

【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。

2．有26瓶水，其中25瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水重一些。要想找出盐水，可以先把26瓶水尽量平均分成(      )份称的次数最少，至少称(      )次就能找到这瓶盐水。

【答案】     3     3

【分析】找次品时，每次称尽量平均分成3份，称的次数最少；把26瓶分成9，9，8三份，第一次称确定次品在哪一份中；再把次品所在平均分成三份，第二次称确定次品在哪一份；把次品所在的那一份平均分成3份，第三次称，确定次品所在。

【详解】有26瓶水，其中25瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水重一些。要想找出盐水，可以先把26瓶水尽量平均分成3份称的次数最少，至少称3次就能找到这瓶盐水。

【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的方法。

3．李爷爷收藏的9枚外观完全相同的银币中有一枚是假的，它比真银币轻一点，如果用天平称，至少称(      )次能保证找到这枚假银币。

【答案】2

【分析】把9枚银币平均分成3份，每份3枚，即（3，3，3），第一次称，天平两边各放3枚，如果天平不平衡，次品就在较轻的3枚中；如果天平平衡，次品在剩下的3枚中；再把有次品的3枚银币分成（1，1，1），第二次称，天平两边各放1枚，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一枚；如果天平平衡，次品就是剩下的1枚；所以至少称2次能保证找到这枚假银币。

【详解】

至少称2次能保证找到这枚假银币。

【点睛】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。

4．在27枚金币中，有一枚质量稍轻的假金币，如果用天平称，至少(        )次才能保证找出这枚假金币。

【答案】3/三

【分析】第一次，把27枚金币分成3份：9枚、9枚、9枚，取两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；

第二次，取含有次品的那份分成3份：3枚、3枚、3枚，取两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；

第三次，取含有次品的一份（3枚），取2枚分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品是未取的那枚，若天平不平衡，则较轻的为次品，据此即可找到次品。

【详解】在27枚金币中，有一枚质量稍轻的假金币，如果用天平称，至少3次才能保证找出这枚假金币。

【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。

5．有10袋洗衣粉，其中一袋轻一些，用天平称，至少称(        )次能保证找出这袋洗衣粉。

【答案】3

【分析】找次品的最优策略：

（1）把待称物品分成3份；

（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。

【详解】将10袋洗衣粉分成（3、3、4），只考虑最不利的情况，先称（3、3），平衡，次品在4袋中；将4袋分成（1、1、2），称（1、1），平衡，次品在2袋中；将2袋分成（1、1），再称一次即可确定次品，共3次。

【点睛】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。

6．有15盒饼干，其中14盒质量相同，另有1盒少了几块，如果能用天平秤，至少秤(        )次可以保证找出这盒饼干。

【答案】3/三

【分析】把15分成（5，5，5），其中任意两组放在天平上称，可找出有次品的一组，再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，据此解答。

【详解】15分成（5，5，5）三组，其中任意两组放在天平上称，可找出有次品的一组，再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，需要2次；

如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，则需要3次；

所以至少3次保证可能找出这盒饼干。

【点睛】本题主要考查了学生根据天平的原理解答问题的能力。

7．在14个零件中找1个次品（次品重一些）假如用天平称，至少称(      )次能保证找出次品。

【答案】3/三

【分析】14个零件分成5、5、4三份，第一次称确定次品所在的那一份；再把次品所在的那一份分成三份，第二次称，确定次品所在的那一份；第三次称即可确定次品。

【详解】在14个零件中找1个次品（次品重一些）假如用天平称，至少称3次能保证找出次品。

【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的计算方法。

8．有19袋巧克力，其中有18袋质量相同，另外有一袋稍轻，如果用天平称，至少称(        )次才能保证把这袋稍轻的找出。

【答案】3/三

【分析】第一次：先把19袋巧克力分成（6，6，7）三组，把两个6袋一组的放在天平上称，如果天平平衡，质量不足的在未称的一组中，如果天平不平衡，质量不足的在较轻的一组中。

第二次：如果第一次天平平衡，将剩下7袋分成（2，2，3），把其中的两袋放在天平上称，如果天平平衡，质量不足的在未称的3袋中，这3袋只需要再称一次，即天平两端各放1袋就能找出这袋巧克力。如果天平不平衡，质量不足的在较轻的一组中，也只需要再加称一次，即可找出这袋巧克力。

如果第一次天平不平衡，将取质量较轻的6袋分成（2，2，2），把其中的2袋放在天平上称，如果天平平衡，质量不足的在未称的2袋中，如果天平不平衡，质量不足的在较轻的2袋中，而不管哪种情况，2袋都只需要再加称一次就能找到这袋巧克力。据此解答。

【详解】综上所述，有19袋巧克力，其中有18袋质量相同，另外有一袋稍轻，如果用天平称，至少称3次才能保证把这袋稍轻的找出。

【点睛】依据天平平衡原理解决问题是解答本题的关键。

9．为庆祝建党一百周年，我市举行了唱红歌比赛。某乡镇合唱队共有60人，因临时需要彩排，张老师要尽快通知到每一个人，如果用打电话的方式通知，每分钟通知1人，张老师最少需要(      )分钟就能通知到每个人。

【答案】6

【分析】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知60人最少需要的时间。

【详解】第1分钟通知1人；1＝21－1；

第2分钟通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人），3＝22－1；

第3分钟通知4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人），7＝23－1；

……

第n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人；

2n－1＝60

2n＝60＋1

2n＝61

因为25＝32，26＝64，32＜61＜64，所以n＝6。

张老师最少需要6分钟就能通知到每个人。

【点睛】明确每次已通知的人数加上老师是下一次要通知的人数。

10．某社团共有15人，暑假期间有一个紧急通知，要求老师用打电话的方式尽快通知到每一个人（每分钟通知1人）。如果按照下图的方案，通知到所有人需要(        )分钟。

【答案】7

【分析】根据图示，老师先用3分钟通知三个组长，每个组长同时用4分钟通知四个同学，据此解答。

【详解】3＋4＝7（分钟）

【点睛】解决此题的关键是利用所给图示的方法通知学生，属于“打电话”的题型。

11．即将开学，老师给学生打紧急电话通知核酸检测，假设1分钟可以完成1次通话，并要求学生尽快相互转达（老师同时也在打，且无重复通知）在6分钟内，最多能通知(        )人。

【答案】63

【分析】将老师也计算在内，第1分钟2人得到通知，第二分钟4人得到通知，第三分钟，8人得到通知，后一分钟得到通知的人数是前一分钟人数的2倍，据此计算出6分钟得到通知的人数，再减去老师即可。

【详解】2×2×2×2×2×2－1

＝64－1

＝63（人）

【点睛】关键是理解后一分钟得到通知的人数是前一分钟人数的2倍，先将老师计算在内，最后再去掉。

12．学校组织郊游的时间提前了，辅导员王老师需要尽快通知五年级一班的42名同学，通知方式是打电话，而且每一个电话需要1分钟时间，通知到每位学生至少需要(        )分钟。

【答案】6

【分析】老师首先用1分钟通知第一名同学，第二分钟由老师和1名同学两人分别通知1名同学，现在通知了共l＋2＝3名同学，据此可以推出，第三分钟可以通知3＋4＝7名同学，第四分钟可以通知7＋8＝15名同学，第五分钟可以通知15＋16＝31名同学，第六分钟可以通知31＋32＝63名同学，所以要通知到42名同学，需要6分钟，据此解答即可。

【详解】第一分钟通知1名；

第二分钟最多可以通知1＋2＝3（名）；

第三分钟最多可以通知3＋4＝7（名）；

第四分钟最多可以通知7＋8＝15（名）；

第五分钟最多可以通知15＋16＝31（名）；

第六分钟最多可以通知31＋32＝63（名）；

所以要通知到42名同学，最少需要6分钟。

【点睛】解答本题的关键是明确已通知的学生的人数加上老师是下一次要通知的学生人数。

13．刘老师要紧急通知舞蹈队的同学集合参加演出，如果用打电话的方式通知，每分钟通知1名同学，32名同学至少要用(            )分钟。

【答案】6/六

【分析】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间，找出规律，按规律求出通知32人最少需要的时间，据此解答。

【详解】第1分钟通知1人，1＝21－1；

第2分钟通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人），3＝22－1；

第3分钟通知4人，接到通知的一共有：1＋2＋4＝7（人），7＝23－1；

……

第n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人

当n＝5时，2×2×2×2×2－1＝31（人）；

当n＝6时，2×2×2×2×2×2－1＝63（人）；

因为31＜32＜63，所以每分钟通知1名同学，32名同学至少要用6分钟。

【点睛】明确每次已通知的人数加上刘老师是下一次要通知的人数是解答题目的关键。

二、解答题

14．疫情突发，医院要求所有护士全部到岗。某科宣护士长知道消息后，需要尽快通知15名护士。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，你帮护士长设计一个用时最少的打电话方案。你设计的方案需要用时多少分钟？用文字或画图把方案表示出来。

【答案】4分钟，表格见详解

【分析】本题可采用如下方案：护士长先通知1名护士，然后再与这名护士生一起给另2名护士打电话，然后这2名护士再与前面已通知的护士（包括护士长）一起给其他护士打电话，依次类推，进行计算即可求解。

【详解】

答：需要用时4分钟。

【点睛】根据乘方的知识，让先得到通知的护士与护士长一起通其他护士是最快最好的办法。

15．我国是世界上最早发现和利用茶树的国家，中国是茶的故乡。某茶厂对茶叶进行抽检，在抽检的15盒茶叶中，其中有14盒质量相同，另有一盒质量较轻一些为不合格产品，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒不合格产品找出来？

【答案】3次

【分析】要尽快找到这盒次品，可把15盒茶叶分成5、5、5三组，通过将等量的茶叶盒放到天平两端逐次称重，期间根据天平的平衡情况，随时调整下一次的称量对象，直至找到次品为止，据此解答。

【详解】第一次：每边放5盒，若天平平衡，则未拿的那组里有次品，若天平不平衡，则次品在天平较高端的5盒中；

第二次：将天平较高的那端5盒茶叶分成2、2、1三组，先把数量是2盒的两份放入天平两端，若天平平衡，则次品是未拿的1盒，若天平不平衡，次品在天平较高端的2盒中；

第三次：将含有次品的2盒茶叶，分成2份，放入天平两端，天平较高端的茶叶是次品；

因此，至少称3次可以保证找出次品。

【点睛】依据天平平衡原理解决问题是解答本题的关键，分组时要尽量平均分，不能平均分的最多和最少只能相差1。

16．学校食堂买回来8袋盐，其中7袋质量相同，另有一袋的质量不足，轻一些。如果用天平来称，至少要称几次才能保证找到这袋质量不足的盐？

【答案】2次

【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。

【详解】将8袋盐分成3份（3，3，2），第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋。

（1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品；

（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在清空的天平两边各放1袋，手里留1袋。如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。

所以至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。

答：至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。

【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。

17．某工厂生产的11个机器零件中有一个是次品，它比正品略轻一些，用天平称一称，最少称几次能保证找出这个次品？

【答案】3次

【分析】根据题意，一个次品比正品略轻一些，由于零件个数大于3，考虑将其分为3份（4，4，3），接下来将前两份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将零件平均分成2份进行称重，即可解答。

【详解】把11个机器零件分成三份（4，4，3）；

第一次称重：把其中4个零件的两份分别放在天平两端；可能出现两种情况：

①若天平平衡，则次品在未取的3个零件中，从这3个零件中任取2个零件，分别放在天平两端，若平衡，则剩下的那个是次品；

②若不平衡，则天平较高一端的零件为次品；

第二次称重：次品在天平较高一端的4个零件中，把这4个零件平均分成两份，分别放在天平两端，次品在天平较高一端的2个零件中；

第三场称重：把这2个零件分别放在天平两端，天平较高一端的零件为次品，要称3次。

答：用天平把次品找出来，最少称3次。

【点睛】本题属于找次品问题，需要明确：质量轻的零件是次品。

18．质检部门对某企业的产品进行质量抽检，在抽检的9盒产品中有1盒不合格（质量稍轻一些），如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？

【答案】2次

【分析】根据题意可知，9盒中有1盒不合格，由于盒数大于3盒，考虑将其分为3份（3，3，3），接下来将其中2份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将剩下的1份平均分成3份进行称重，即可解答。

【详解】把9盒产品平均分成3份，每份3盒，任取2份，分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的在未取的3盒中，若天平不平衡；把天平较高端的3盒产品，任取2盒分别放在天平两端，若天平平衡，则质量较轻的是未取的那盒，若天平不平衡，天平较高端的那盒即为质量较轻的那盒。则：1＋1＝2（次）

答：至少称2次能保证找出次品。

【点睛】本题属于找次品问题，需要明确质量轻的一盒是不合格产品。