【暑假提升】北师大版数学三年级（三升四）暑假预习：第2单元《线与角》讲义（知识点+例题+练习）（含解析）

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北师大版四年级数学上册暑假预习与检测衔接讲义第2单元 线与角一、线1、直线、射线、线段：直线没有端点，可以向两个方向无限延伸;射线有一个端点，只能向一个方向无限延伸；线段没有端点，不能向两个方向无限延伸。2、过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线，两点之间线段最短。3、平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。4、一条直线的平行线有无数条，过线外一点作平行线，只能画一条。5、两条平行线之间的距离处处相等，两条平行线之间的垂线段就是他们的距离。6、相交：如果两条直线只有一个公共点，这两条直线叫相交直线。7、垂直：两条直线相交成直角时，叫做两条直线相互垂直。两条直线互称为对方的垂线。8、一条直线的垂线有无数条，过线外一点作已知直线的垂线只能画一条。9、从直线外一点到这条直线所画的垂直线最短，它的长度叫作这点到直线的距离。10、当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条线是另一条线的垂线，这时两条直线的交点叫作垂足。二、角11、由一个顶点引出的两条射线所组成的图形叫做角，角也可以看成是一条射线围绕它的端点旋转而成的。12、当角的两边旋转成一条直线时，这时所形成的角叫做平角；当角的两边经过旋转重合时，这时所形成的角叫做周角。13、角有一个尖尖的顶点两条直直的边，角的大小与张口有关，张口越大角就越大，张口越小角就越小，角的大小与边的长短无关。14、小于90度的角是锐角，等于90度的角是直角，大于90度小于180度的角是钝角，等于180度的角是平角，等于360度的角是周角。15、认识度。将圆平均分成360份，把其中的1份所对的角叫做1度，记作1°，通常用1°作为度量角的单位。16、认识量角器。量角器是把半圆平均分成180份，一份表示1度。量角器上有中心点、0刻度线、内刻度线、外刻度线。17、量角器的使用方法。“两合一看”,“两合”是指中心点与角的顶点重合；0刻度线与角的一边重合。“一看”就是要看角的另一边所对的量角器的刻度。18、看角的度数时要注意是看外刻度还是内刻度。角的开口向左看外刻度线，角的开口向右看内刻度线。【例1】两条直线有三种位置关系“相交”、“平行”、“垂直”，请把这三种位置关系填在图中。【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系有二种平行或相交，垂直也算相交，由此解答即可。【解答】解：由题意得：。【点评】考查平行和相交的判断。需注意垂直也属于相交。【例2】画出75°、135°的角各一个。【分析】画一条射线，用量角器的圆点和射线的端点重合，0刻度线和射线重合，在量角器75°和135°的刻度上点上点，过射线的端点和刚作的点，画射线即可。【解答】解：画图如下：【点评】本题考查了学生用量角器作图的能力。【例3】以下面的射线的端点为顶点，射线为一条边，画一个80度的角。 【分析】①量角器的中心点对准已知射线的端点，0刻度线对准射线（两重合）；  ②对准量角器80°的刻度线点一个点（找点）；  ③把点和射线端点连接，然后标出角的度数。【解答】解：【点评】考查了画指定度数的角，步骤为：①两重合（点点重合、线线重合）；②找点；③连线。【例4】画一条3厘米5毫米的线段。【分析】根据线段的含义：线段有两个端点，有限长，5毫米＝0。5厘米，画一条3厘米2毫米长的一条线段，即3。5厘米的线段；画出即可。【解答】解：3厘米5毫米＝3。5厘米，。【点评】此题考查了线段的含义，应注意理解和掌握。【例5】已知如图中，∠1＝30°，求∠2，∠3，∠4的度数。【分析】由图意得：∠1和∠2组成一个平角，用180度减去∠1和就是∠2的度数；∠3和∠1是相对的两个角（对顶角），度数相等；∠4和∠1和90°的角组成一个平角，因此用180°﹣90°﹣∠1就得到∠4的度数。【解答】解：∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣30°＝150°；∠3＝∠1＝30°；∠4＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°。答：∠2的度数是150°，∠3的度数是30°，∠4的度数是60°。【点评】解决本题的关键是根据平角的特点及对顶角的性质解答。一．选择题（共8小题）1．一条直线上的一点把这条直线分成（　　）条射线。A．2 B．3 C．4 D．52．根据如图，下列说法正确的是（　　）A．图中有一条直线，四条线段，四条射线 B．图中有一条直线，六条线段，一条射线 C．图中有六条线段，四条射线 D．图中有八条射线，六条线段3．在同一平面内的两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（　　）A．垂直 B．互相垂直 C．平行 D．互相平行4．如图中，∠1等于（　　）度。A．10 B．15 C．205．7时，钟面上的时针和分针所成的角是（　　）A．直角 B．钝角 C．锐角6．在同一个平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么它们互相（　　）A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直7．如图，下面两条平行线之间的线段最短的一条是（　　）A．AB B．CD C．EF D．GH8．图中五角星中∠1的度数大约是（　　）A．65° B．90° C．108° D．180°二．填空题（共10小题）9．比平角小135°的角的度数是　   　°，这个角比直角小　   　°；周角的一半是　   　°。10．从3：00走到4：00，分针转过　    　°，时针转过　    　°，从3：00走到3：20，分针转动了　    　°，钟面上秒针旋转一周，那么分针旋转的角度是　    　°。11．黑板的长边和短边互相　   　，数学书封皮相对的两条边互相　   　。12．小明在纸上画了一条直线a，然后又画了一条直线b，使得b⊥a，最后画了一条直线c（三条直线均不重合），使得c⊥a。那么直线b和直线c的位置关系是　   　。13．钟面上3时，时针与分针的夹角是　 　角，钟面上6时整，时针与分针夹角是　 　度．14．从一个点起，用尺子向不同的方向画　 　条直直的线，就画成了　 　。15．如果把一个圆平均分成180份，那么一份所对应的角是　 　°，这个角是　 　角。16．计算下面各角的度数。∠1＝　     　。∠1＝　     　，∠2＝　     　，∠3＝　     　。17．如图中，一共有　 　个角，其中最大的角是最小的角的　 　倍。18．平角的一半是　 　角，周角的一半是　 　角。三．判断题（共5小题）19．两条直线都垂直于同一条直线，这两条直线互相平行。　 　（判断对错）20．两条平行线长都是8分米。　 　（判断对错）21．将圆分成360份，人们把其中1份所对的角作为度量角的单位。　 　（判断对错）22．用一副三角板可以画出75°的角．　 　．（判断对错）23．连接两点的所有线中，线段最短。 　 　（判断对错）四．计算题（共1小题）24．如图，∠2的度数是∠1的5倍，求∠2的度数．五．应用题（共3小题）25．小熊要回家，走哪条路最近？为什么？26．如图篱笆中哪些木条互相平行？哪些木条互相垂直？请你照例子再写几个．27．两条直线相交，得到一个角为25度，请画图并计算出另外三个角的度数．六．操作题（共3小题）28．画一条47毫米长的线段。29．在方格中分别画一组平行线和一组互相垂直的直线。30．认真量一量，标出它们的度数．七．解答题（共2小题）31．写出下面各角的度数．32．如图。（1）如果线段AD和线段CE相等，那么直线a和直线b之间是什么关系？（2）线段BF和直线b之间是什么关系？
参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【分析】根据射线和直线的特点：射线有1个端点，直线没有端点；并结合题意，就可以得出结论。【解答】解：一条直线上的一点把这条直线分成2条射线。故选：A。【点评】解答此题应根据射线和直线的特点进行解答即可。2．【分析】根据直线、射线及线段的定义及特点，结合图形，数一数有6条线段，4条射线，由此解答即可。【解答】解：数一数，由图可得，有6条线段，4条射线。故选：C。【点评】此题考查了直线、射线和线段的含义和特点。3．【分析】根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可。【解答】解：在同一平面内的两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行。故选：D。【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质。4．【分析】一副三角尺，其中一个三角尺里面较大的锐角（也就是∠1和∠2的和）是60°，另一副里面较大的锐角（也就是∠2）是45°，用60°减去45°即可。【解答】解：60°﹣45°＝15°故选：B。【点评】这道题解题的关键是要会正确的计算角的度数。5．【分析】7时，钟面上的时针指向7，分针指向12，它们之间的格子数是25个，每个格子对应的圆心角是360÷60度．求出它们之间的度数，再根据角的分类进行选择．【解答】解：360÷60×25，＝6×25，＝150（度），大于90度小于180度的角是钝角，所以150度的角是钝角．故选：B．【点评】本题的关键是求出时针和分针之间角的度数，再根据角的分类解答．6．【分析】根据垂直的性质：同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行；进行解答即可。【解答】解：根据垂直的性质得：两条直线垂直于同一个平面，这两条直线相互平行；故选：B。【点评】解题的关键是熟练掌握垂直的性质定理，本题是一个基础题。7．【分析】平行线之间垂直线段的长度最短，由此解答即可。【解答】解：如图，下面两条平行线之间的线段最短的一条是CD，故选：B。【点评】记住结论：平行线之间垂直线段的长度最短。8．【分析】通过观察，∠1是一个钝角，首先排除65°（锐角）、90°（直角）、180°（平角），剩下的只有108°，然后用量角器度量∠1的度数是108°（把量角器的中心与角的顶点重合，0度刻度线与角的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数）。【解答】解：如图五角星中∠1的度数大约是108°。故选：C。【点评】∠1是钝角，首先排除锐角、直角、平角，然后用量角器度量。用量角器度量角的大小，关键是量角器的正确、熟练使用。二．填空题（共10小题）9．【分析】根据直角、平角、周角的含义进行解答：直角：等于90°的角；平角：等于180°的角；周角：等于360°的角；据此依次解答即可。【解答】解：平角＝180度，直角＝90度，周角＝360度，180﹣135＝45（度）90﹣45＝45（度）360÷2＝180（度）答：比平角小135°的角的度数是45°，这个角比直角小45°；周角的一半是180°。故答案为：45，45，180。【点评】解答此题应结合题意，并结合直角、平角、周角的含义进行解答。10．【分析】钟面上12个数字把钟面平均分成12份，每份所对应的圆周角是360°÷12＝30°，即每两个相邻数字间的圆周角是30°，时针从3：00到4：00，分针旋转了一圈，是360°；时针旋转了1个30°，即30°；从3：00到3：20，分针在钟面上旋转了4个30°，是120度；钟面上秒针旋转一周，那么分针走一个小格，分针旋转的角度是360÷60＝6°；由此解答即可。【解答】解：从3：00走到4：00，分针转过360°，时针转过30°，从3：00走到3：20，分针转动了120°，钟面上秒针旋转一周，那么分针旋转的角度是6°。故答案为：360，30，180，6。【点评】此题考查旋转及钟面的认识，关键是看在钟面上指针每走一个数字，旋转了多少度。11．【分析】根据长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角。因此，黑板的长边和短边互相垂直，数学书封皮相对的两条边互相平行。【解答】解：黑板的长边和短边互相垂直，数学书封皮相对的两条边互相平行；故答案为：垂直，平行。【点评】此题主要考查垂直与平行的特征。12．【分析】根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可。【解答】解：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；因为直线b⊥直线a，直线c⊥直线a，所以直线b和直线c的位置关系是平行。故答案为：平行。【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质。13．【分析】在钟面上，一共有12个大空格，时针与分针所夹的每一个空格是30°，3时整，时针指向3，分针指向12，相差3个大格，夹角为30°×3＝90°；6时整，分针与时针相差6个大格，所以钟面上时针与分针形成的夹角是：30°×6＝180°，由此解答．【解答】解：3时整，时针与分针的夹角是90度；是直角6时整，时针与分针成180°．故答案为：直，180．【点评】解答此题要明确：在钟面上，每个大格子对应的圆心角是360°÷12＝30°．14．【分析】根据角的形状可知：从一个点出发，向两个方向画两条射线（笔直的线）就可以画出一个角，由此求解。【解答】解：从一个点起，用尺子向不同的方向画两条直直的线，就画成了一个角。故答案为：两，角。【点评】解决本题关键是明确角的特点。15．【分析】一个圆所对应的圆心角是360°，把它平均分成180份，每份是360°÷180＝2°；根据锐角的意义，大于0°而小于直角（90°）的角是锐角，2°的角是锐角。【解答】解：如果把一个圆平均分成180份，那么一份所对应的角是2°，这个角是锐角。故答案为：2，锐。【点评】此题考查的知识有周角的意义、角的分类等。16．【分析】（1）∠1与一个35°的角正好组成一个平角，即∠1+35°＝180°，据此即可计算出∠1的度数。（2）∠1与一个55°的角正好组成一个平角，即∠1+55°＝180°，据此即可计算出∠1的度数；同理，即可分别计算出∠2、∠3的度数。【解答】解：（1）因为∠1+35°＝180°所以∠1＝180°﹣35°＝145°（2）因为∠1+55°＝180°所以∠1＝180°﹣55°＝125°因为∠2+125°＝180°所以∠2＝180°﹣125°＝55°因为∠3+55°＝180°所以∠3＝180°﹣55°＝125°故答案为：145°；125°，55°，125°。【点评】解答此题的关键是平角的意义，一个角与已知角正好组成一个平角，求这个角，用180°减已知角。17．【分析】观察图形可知，单个的角是3个，2个角组成的有2个，3个角组成的是1个，其中最大的平角180度，最小的是30度，据此用180除以30即可解答问题。【解答】解：根据题干分析可得：3+2+1＝6（个）180°÷30°＝6倍答：图中一共有6个角，最大的角是最小的角的6倍。故答案为：6；6。【点评】此题主要考查图形的计数，要注意分别计数，做到不重不漏。18．【分析】根据直角、平角和周角的含义解答：等于90°的角是直角；等于180°的角是平角；等于360°的角是周角。【解答】解：360°÷2＝180°，180°的角是平角；180°÷2＝90°，90°的角是直角；所以平角的一半是直角，周角的一半是平角。故答案为：直，平。【点评】此题应根据直角、平角和周角的含义进行解答。三．判断题（共5小题）19．【分析】根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可。【解答】解：在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，这两条直线的位置关系是互相平行，前提是在“同一平面内”，所以本题说法错误。故答案为：×。【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质。20．【分析】因为平行线都是直线，无限长，由此解答即可。【解答】解：因为平行线都是直线，无限长；所以两条平行线都是8分米，说法错误。故答案为：×。【点评】考查平行的特征和性质。21．【分析】根据对角的认识可知：度量角的单位通常用1°，人们将圆平均分成360份，其中1份所对的角的大小叫做1度，记作1°，把1°的角作为角的单位；由此解答即可。【解答】解：将圆平均分成360份，人们把其中一份所对的角的大小叫作1度，记作1°，作为度量角的单位；所以题干的说法是错误的。故答案为：×。【点评】此题考查了角的度量的知识，注意平时基础知识的积累。22．【分析】一副三角板，一个三角板的角有30°、60°、90°，等腰直角三角板的角有45°、90°，用它们进行拼组，看是否能得出75度即可．【解答】解：75°可以用45°与30°角画出，原题说法正确．故答案为：√．【点评】解决本题的关键是正确记忆三角板上各个角的度数．23．【分析】根据线段的性质：两点之间，线段最短；两点之间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离；据此分析即可。【解答】解：连接两点的所有线中，线段是最短的，说法正确。故答案为：√。【点评】此题主要考查了线段的性质和两点之间的距离，是需要记忆的内容。四．计算题（共1小题）24．【分析】可设∠1的度数是x度，则∠2的度数是5x度，根据∠1+∠2＝180°列出方程即可求解．【解答】解：设∠1的度数是x度，则∠2的度数是5x度，依题意有x+5x＝180，   6x＝180    x＝305x＝5×30＝150答：∠2的度数150°．【点评】考查了角的度量，关键是熟悉平角的度数是180°的知识点．五．应用题（共3小题）25．【分析】根据两点之间线段最短的性质，走先到北山再到小熊家的路最近．【解答】解：走先到北山再到小熊家的路最近，因为两点之间线段最短．【点评】此题主要考查两点之间线段最短的性质的灵活应用．26．【分析】依据同一平面内，两条直线之间的位置关系：平行和相交，当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；据此解答．【解答】解：据分析解答如下：⑤、⑦中的两条直线互相平行；⑥、⑤中的两条直线互相垂直．【点评】本题考查空间内的平行与垂直问题，根据具体实例做比较容易．27．【分析】如图，直线AB与直线CD相交于点O，如果∠BOD＝25°，则∠AOD＝180°﹣25°＝155°，同理即可分别求出∠AOC、∠COB的度数．【解答】解：如图∠AOD＝180°﹣25°＝155°∠AOC＝180°﹣155°＝25°∠COB＝180°﹣25°＝155°【点评】两条直线相交组成4个角，其中相对的两个角的度数相同，这两个角叫对顶角．对顶角相等．六．操作题（共3小题）28．【分析】根据直线、线段的含义：直线无端点，无限长；线段有2个端点，有限长，可以度量；据此画出47毫米长的线段即可。【解答】解：47毫米＝4厘米7毫米，作图如下：。【点评】此题考查了线段的含义，应注意理解和掌握。29．【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直；由此利用每个方格相等，画出AB∥CD，EF⊥GH即可。【解答】解：。【点评】本题考查了平行和垂直的性质，利用每个方格相等，画出AB∥CD，EF⊥GH。30．【分析】用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与边的一边重合，角的另一边所经过的量角器上所显示的刻度就是被量角的度数。【解答】解：【点评】用量角器度量角的大小，关键是量角器的正确、熟练使用．七．解答题（共2小题）31．【分析】用量角器进行测量，方法是：先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零度刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数．【解答】解：如图所示：【点评】此题主要是考查根据角的度量方法正确量出角的度数．32．【分析】根据与两条平行线互相垂直的线段的长度都相等；进而解答即可。【解答】解：由图可得：（1）线段AD垂直直线b，线段CE垂直直线b，又因为线段AD和线段CE相等，所以：直线a平行直线b。即直线a和直线b是平行关系。（2）线段BF和直线b是相交关系。答：（1）直线a和直线b是平行关系。（2）线段BF和直线b是相交关系。【点评】本题解题关键是同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交。