【暑假小初衔接】苏科版数学六年级（六升七）暑假预习-第03讲《有理数加法与减法》同步讲学案

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第03讲 有理数加法与减法
【学习目标】
1．理解有理数加减法的意义；
2．初步掌握有理数加法与减法法则；
3．能准确地进行有理数的加法与减法运算，并能运用其解决简单的实际问题．　　
【基础知识】
一．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
二．有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b）
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
三．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．

【考点剖析】
一．有理数的加法（共6小题）
1．两个数相加和小于任一加数，那么这两个数一定都是负数．　√　（判断对错）
【分析】利用有理数的加法法则判断即可．
【解答】解：两个数相加，和小于任一个加数，那么这两个数一定都是负数．正确，
故答案为：√．
【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2022•建湖县一模）温度由﹣13℃上升8℃是（　　）
A．5℃ B．﹣5℃ C．11℃ D．﹣11℃
【分析】根据题意列出算式，计算即可出值．
【解答】解：由题意得上升后的温度为：﹣13+8＝﹣5℃，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2021秋•邗江区期末）我市一月某天早上气温为﹣3℃，中午上升了8℃，这天中午的温度是 　5　℃．
【分析】根据中午是在早上的气温的基础上上升8℃，列式计算．
【解答】解：根据题意得：﹣3+8＝5（℃）；
故答案为：5．
【点评】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则，根据题意列出算式是解题关键．
4．（2021秋•郧阳区期末）已知|x|＝2，|y|＝5，且x＞y，则x+y＝　﹣3或﹣7　．
【分析】先求得x、y的值，然后根据x＞y分类计算即可．
【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝5，
∴x＝±2，y＝±5．
∵x＞y，
∴x＝2，y＝﹣5或x＝﹣2，y＝﹣5．
∴x+y＝2+（﹣5）＝﹣3或x+y＝﹣2+（﹣5）＝﹣7．
故答案为：﹣3或﹣7．
【点评】本题主要考查的是有理数的加法、绝对值的性质，分类讨论是解题的关键．
5．（2017秋•亭湖区校级月考）19+（﹣6）+（﹣5）+（﹣3）
【分析】题目是正数和负数相加，利用加法的结合律，先把负数相加后，再和正数相加．
【解答】解：19+（﹣6）+（﹣5）+（﹣3）
＝19+[（﹣6）+（﹣5）+（﹣3）]
＝19+（﹣14）
＝5．
【点评】本题考查了有理数的加法．解决本题可从左往右依次相加，也可利用加法的结合律把负数先相加．
6．（2020秋•阜宁县校级月考）阅读理解下题的计算方法，并解决问题：
计算：．
解：原式



上面的方法叫做拆项法，按此方法计算：．
【分析】按照拆项法和有理数的加法法则计算即可．
【解答】解：原式＝[（﹣2018）+（﹣2017）+4036]+[（）+（）（）]
＝1+（）
．
【点评】本题考查了有理数的加法法则，把带分数拆分成整数部分和分数部分是解题的关键．
二．有理数的减法（共5小题）
7．（2022•宝应县一模）计算|﹣2|﹣3，结果正确的是（　　）
A．﹣5 B．1 C．5 D．﹣1
【分析】去掉绝对号，进行计算即可．
【解答】解：|﹣2|﹣3
＝2﹣3
＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查有理数的减法，关键是熟记减法法则．
8．（2021秋•如东县期末）若□﹣3＝﹣8，则“□”内的数是（　　）
A．﹣5 B．﹣11 C．5 D．11
【分析】根据有理数的减法和加法是互逆的运算解答即可．
【解答】解：∵□﹣3＝﹣8，
∴□＝﹣8+3＝﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的加减法，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
9．（2021秋•大丰区期末）大丰区某日的最高气温为14℃，最低气温为零下2℃，则该日的日温差为 　16　℃．
【分析】根据有理数的减法列式计算即可．
【解答】解：14﹣（﹣2）
＝14+2
＝16（℃），
故答案为：16．
【点评】本题考查了有理数的减法，掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
10．（2021秋•准格尔旗期末）若|a|＝6，b＝4，且a+b＜0，那么a﹣b＝　﹣10　．
【分析】根据条件求出a，b的值，再求a﹣b的值即可．
【解答】解：∵|a|＝6，
∴a＝±6，
∵a+b＜0，
∴a＝﹣6，
∴a﹣b＝﹣6﹣4＝﹣6+（﹣4）＝﹣10，
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了绝对值，有理数的加减法法则，掌握异号两数相加的法则是解题的关键，绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
11．（2021秋•安溪县期中）已知|a|＝3，|b|＝5，且a＜b，求a﹣b的值．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，注意在条件的限制下a，b的值剩下2组．a＝3时，b＝5或a＝﹣3时，b＝5，所以a﹣b＝﹣2或a﹣b＝﹣8．
【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝5，
∴a＝±3，b＝±5．
∵a＜b，
∴当a＝3时，b＝5，则a﹣b＝﹣2．
当a＝﹣3时，b＝5，则a﹣b＝﹣8．
故a﹣b的值是﹣8或﹣2．
【点评】考查了有理数的减法，绝对值，本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案一般有2个．两个绝对值条件得出的数据有4组，再添上a，b大小关系的条件，一般剩下两组答案符合要求，解此类题目要仔细，看清条件，以免漏掉答案或写错．
三．有理数的加减混合运算（共9小题）
12．（2021秋•姜堰区期中）已知a是最大的负整数，b是最小的正整数，c是绝对值最小的数，则a+b﹣c＝　0　．
【分析】根据a是最大的负整数，b是最小的正整数，c是绝对值最小的数，可以得到a、b、c的值，然后即可求得所求式子的值．
【解答】解：∵a是最大的负整数，b是最小的正整数，c是绝对值最小的数，
∴a＝﹣1，b＝1，c＝0，
∴a+b﹣c
＝﹣1+1﹣0
＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查有理数的混合运算及绝对值，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
13．（2021秋•宜兴市月考）把（﹣12）﹣（﹣13）+（﹣14）﹣（+15）+（+16）写成省略加号的形式是 　﹣12+13﹣14﹣15+16　．
【分析】把加减混合运算的式子统一成加法，然后省略“+”号即可．
【解答】解：（﹣12）﹣（﹣13）+（﹣14）﹣（+15）+（+16）
＝（﹣12）+（+13）+（﹣14）+（﹣15）+（+16）
＝﹣12+13﹣14﹣15+16．
故答案为：﹣12+13﹣14﹣15+16．
【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，把加减混合运算的式子统一成加法是解题的关键．
14．（2021秋•连云港月考）计算：
（1）﹣3+（﹣4）﹣（﹣2）；
（2）（﹣5）+（﹣7）﹣（+13）﹣（﹣19）；
（3）7﹣（﹣3）+（﹣5）﹣|﹣8|；
（4）（﹣2）﹣（+4.7）﹣（﹣0.4）+（﹣3.3）；
（5）5（﹣5）+4（）；
（6）3（﹣2）+（）（）．
【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则解决此题．
（2）根据有理数的加减混合运算法则解决此题．
（3）根据有理数的加减混合运算法则，先计算绝对值，再将减法转化为加法，再计算加法．
（4）根据有理数的加减混合运算法则解决此题，先将减法转化为加法，再计算加法．
（5）运用加法的交换律和结合律解决此题．
（6）根据有理数的加减混合运算，先将减法转换为加法，再运用加法交换律和结合律解决此题．
【解答】解：（1）﹣3+（﹣4）﹣（﹣2）
＝﹣3+（﹣4）+2
＝﹣5．
（2）（﹣5）+（﹣7）﹣（+13）﹣（﹣19）
＝﹣5+（﹣7）+（﹣13）+19
＝﹣6．
（3）7﹣（﹣3）+（﹣5）﹣|﹣8|
＝7+3+（﹣5）﹣8
＝7+3+（﹣5）+（﹣8）
＝﹣3．
（4）（﹣2）﹣（+4.7）﹣（﹣0.4）+（﹣3.3）
＝﹣2.4+（﹣4.7）+0.4+（﹣3.3）
＝﹣10．
（5）5（﹣5）+4（）

＝10+（﹣6）
＝4．
（6）3（﹣2）+（）（）



＝3+2
＝5．
【点评】本题主要考查绝对值、有理数的加减混合运算，熟练掌握绝对值、有理数的加减混合运算法则是解决本题的关键．
15．（2021秋•东莞市期中）已知|a|＝4，|b|＝2，|c|＝5，有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，计算a﹣b+c的值．
【分析】首先根据图示，可得：c＜b＜0，a＞0；然后根据：|a|＝4，|b|＝2，|c|＝5，求出有理数a，b，c的值各是多少，再应用代入法，求出a﹣b+c的值是多少即可．
【解答】解：根据图示，可得：c＜b＜0，a＞0，
∵|a|＝4，|b|＝2，|c|＝5，
∴a＝±4，b＝±2，c＝±5，
∵c＜b＜0，a＞0，
∴a＝4，b＝﹣2，c＝﹣5，
∴a﹣b+c
＝4﹣（﹣2）+（﹣5）
＝4+2+（﹣5）
＝6+（﹣5）
＝1．
【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
16．（2021秋•靖江市月考）写成省略加号和的形式后为﹣5﹣7﹣2+9的式子是（　　）
A．（﹣5）﹣（+7）﹣（﹣2）+（+9） B．﹣（+5）﹣（﹣7）﹣（+2）﹣（+9）
C．（﹣5）+（﹣7）+（+2）﹣（﹣9） D．﹣5﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9）
【分析】根据有理数的加减法的法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：∵（﹣5）﹣（+7）﹣（﹣2）+（+9）＝﹣5﹣7+2+9，
∴选项A不符合题意；
∵﹣（+5）﹣（﹣7）﹣（+2）﹣（+9）＝﹣5+7﹣2﹣9，
∴选项B不符合题意；
∵（﹣5）+（﹣7）+（+2）﹣（﹣9）＝﹣5﹣7+2+9，
∴选项C不符合题意；
∵﹣5﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9）＝﹣5﹣7﹣2+9，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减法法则及有理数的加减法则是解题的关键．
17．（2021秋•徐州期中）（1）用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空：
①|﹣5|+|4|　＞　|﹣5+4|；
②|﹣6|+|3|　＞　|﹣6+3|；
③|﹣3|+|﹣4|　＝　|﹣3﹣4|；
④|0|+|﹣9|　＝　|0﹣9|；
（2）归纳：|a|+|b|　≥　|a+b|；
（3）根据上题（2）得出的结论，若|m|+|n|＝7，|m+n|＝1，求m的值．
【分析】（1）根据绝对值的定义去绝对值即可求解，
（2）根据（1）中规律即可总结出答案，
（3）根据（2）中结论即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵|﹣5|+|4|＝9，|﹣5+4|＝1，
∴|﹣5|+|4|＞|﹣5+4|；
②∵|﹣6|+|3|＝9，|﹣6+3|＝3，
∴|﹣6|+|3|＞|﹣6+3|；
③∵|﹣3|+|﹣4|＝7，|﹣3﹣4|＝7，
∴|﹣3|+|﹣4|＝|﹣3﹣4|；
④|0|+|﹣9|＝9，|0﹣9|＝9，
∴|0|+|﹣9|＝|0﹣9|，
故答案为：＞，＞，＝，＝；
（2）通过（1）的比较、分析、归纳：|a|+|b|≥|a+b|，
故答案为：≥；
（3）由（2）中结论可得：∵|m|+|n|＝7，|m+n|＝1，
∴|m|+|n|≠|m+n|，
∴m，n异号，
当m为正数，n为负数时，m﹣n＝7，则n＝m﹣7，
|m+n|＝|m+m﹣7|＝1，
解得：m＝4或3，
当n为正数，m为负数时，﹣m+n＝7，则n＝m+7，
|m+n|＝|m+m+7|＝1，
解得：m＝﹣3或﹣4，
综上所述，m的值为：±3或±4．
【点评】本题考查绝对值、有理数的混合运算、有理数的大小比较等知识，解题的关键是学会寻找规律解决问题，属于中考常考题型．
18．（2021秋•高邮市期中）小明坚持跑步锻炼身体，他以30分钟为基准，将连续七天的跑步时间（单位：分钟）记录如下：12，﹣9，11，﹣7，13，15，﹣5（超过30分钟的部分记为“+”，不足30分钟的部分记为“﹣”）．
（1）跑步时间最长的一天比最短的一天多跑几分钟？
（2）若小明跑步的平均速度为每分钟0.1千米，请你计算这七天他共跑了多少千米？
【分析】（1）15﹣（﹣9）计算即可；
（2）根据小明跑步的总时间×跑步的平均速度＝跑的总路程，列式计算．
【解答】解：（1）15﹣（﹣9）＝24（分钟），
答：跑步时间最长的一天比最短的一天多跑：24分钟；
（2）30×7+（12﹣9+11﹣7+13+15﹣5）
＝210+30
＝240（分钟），
240×0.1＝24（千米），
答：七天他共跑了24千米．
【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，掌握把有理数加减法统一成加法，读懂题意，列出算式是解题关键．
19．（2021秋•溧水区期中）（1）尝试：比较下列各式的大小关系：（用“＞，＜，＝，≥或≤”填空）
①|﹣2|+|3|　＞　|﹣2+3|；②|﹣6|+|4|　＞　|﹣6+4|；
③|﹣3|+|﹣4|　＝　|﹣3﹣4|；④|0|+|﹣7|　＝　|0﹣7|．
（2）归纳：观察上面的数量关系，可以得到：
|a|+|b|　≥　|a+b|（用“＞，＜，＝，≥或≤”填空）
（3）应用：利用上面得到的结论解决下面问题：
若|m|+|n|＝10，|m+n|＝4，则m＝　±3或±7　．
（4）拓展：当|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|成立时，a、b、c应满足的条件是 　①②⑦　（填写所有正确选项的序号）．
①1个正数，2个负数；②2个正数，1个负数；③3个正数；④3个负数；⑤1个0，2个正数；⑥1个0，2个负数；⑦1个0，1个正数，1个负数．
【分析】（1）根据计算可得此题结果；
（2）由（1）结果可得，当a、b异号时|a|+|b|＞|a+b|，否则，|a|+|b|＝|a+b|，所以此题结果是“≥”；
（3）由（2）题可得，m、n异号，可计算m、n的值；
（4）由（2）题计算可得，a、b、c三数中必有异号数字，可得此题结果．
【解答】解：（1）∵|﹣2|+|3|＝5，|﹣2+3|＝1，；|﹣6|+|4|＝10，|﹣6+4|＝2；|﹣3||﹣4|＝7，|﹣3﹣4|＝7；|0|+|﹣7|＝7，|0﹣7|＝7，
∴|﹣2|+|3|＞|﹣2+3|，|﹣6|+|4|＞|﹣6+4|＝2；|﹣3|+|﹣4|＝|﹣3﹣4|；|0|+|﹣7|＝|0﹣7|，
故答案为：＞；＞；＝；＝；
（2）由（1）题计算、比较可得，当a、b异号时，|a|+|b|＞|a+b|；当a、b同号或其中一个数为0时，|a|+|b|＝|a+b|，
故答案为：≥；
（3）由（2）题结论可得，m、n异号，可求得m＝±3或±7，
故答案为：±3或±7；
（4）由（2）题计算可得，a、b、c三数中必有异号数字，
故答案为：①②⑦．
【点评】此题考查了有理数加法运算、归纳应用的能力，关键是能根据计算法则准确计算，并能归纳出计算规律．
20．（2021秋•灌云县期中）计算：
（1）（﹣23）+（+58）+（﹣17）；
（2）﹣23+18﹣1﹣15+23；
（3）8.5﹣（﹣1.5）；
（4）1（）．
【分析】（1）利用加法交换律和加法结合律进行简便计算；
（2）利用加法交换律和加法结合律进行简便计算；
（3）将减法转化为加法，然后再计算；
（4）将减法统一成加法，然后再计算．
【解答】解：（1）原式＝[（﹣23）+（﹣17）]+（+58）
＝﹣40+58
＝18；
（2）原式＝（﹣23+23）+18﹣1﹣15
＝0+18﹣1﹣15
＝2；
（3）原式＝8.5+1.5
＝10；
（4）原式

＝2．
【点评】本题考查有理数的加减运算，掌握有理数加减运算法则，运用加法交换律a+b＝b+a，加法结合律（a+b）+c＝a+（b+c）使得计算简便是解题关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2021·江苏七年级专题练习）计算的结果是（ ）
A．－6 B．6 C．－10 D．10
【答案】B
【分析】根据有理数加法法则计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查有理数加法法则，同号两数相加，取相同符号，再把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值大的数的符号，再把绝对值相减，熟练掌握运算法则是解题关键．
2．（2021·江苏七年级专题练习）记运入仓库的大米吨数为正，则表示（ ）
A．先运入大米3.5吨，后运入大米2.5吨
B．先运出大米3.5吨，后运入大米2.5吨
C．先运入大米3.5吨，后运出大米2.5吨
D．先运出大米3.5吨，后运出大米2.5吨
【答案】C
【分析】先理解“正”和“负”的相对性，得到运入和运出分别记作正和负，从而得到算式的意义．
【详解】解：∵运入仓库的大米吨数为正，
则运出仓库的大米吨数为负
∴表示：先运入大米3.5吨，后运出大米2.5吨，
故选：C．
【点睛】此题考查正数和负数问题，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
3．（2021·江苏七年级专题练习）比﹣2大2的数是（　　）
A．4 B．0 C．﹣2 D．﹣4
【答案】B
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：-2+2=0；
故选B．
【点睛】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键．
4．（2021·镇江市外国语学校七年级期末）A、B、C三堆巧克力豆，不知其粒数，现对三堆巧克力豆进行3次调整，第一次，C堆不动，在A、B两堆中的一堆取出8粒放在另一堆；第二次，B堆不动，在A、C两堆中的一堆取出7粒放在另一堆；第三次，A堆不动，在B、C两堆中的一堆取出6粒放在另一堆．经过三次调整后，A、B、C三堆各有巧克力豆5粒、11粒、6粒，则原来B堆有（ ）粒巧克力豆．
A．4 B．5 C．12 D．13
【答案】D
【分析】先根据经过三次调整后，A堆有黄豆5粒，B堆有黄豆11粒，C堆有黄豆6粒，推出第二次调整后，A堆有黄豆5粒，B堆有黄豆11-6=5粒，C堆有黄豆6+6=12粒，再根据第二次调整后的结果求出第一次调整后，A堆有黄豆5+7=12粒，B堆有黄豆5粒，C堆有黄豆12-7=5粒，即可得出原来A堆黄豆的粒数．
【详解】解：∵第三次调整后，A堆有黄豆5粒，B堆有黄豆11粒，C堆有黄豆6粒，
∴第二次调整后，A堆有黄豆5粒，B堆有黄豆11-6=5粒，C堆有黄豆6+6=12粒，
∴第一次调整后，A堆有黄豆5+7=12粒，B堆有黄豆5粒，C堆有黄豆12-7=5粒，
∴原来B堆有黄豆5+8=13粒；
故选：D．
【点睛】此题考查了逆向思维解应用题，解题的关键是从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解即可．


二、填空题
5．（2020·江苏创新外国语学校七年级月考）已知，，且ab