备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(十四)　导数的概念及运算、定积分

课时验收评价(十四)　导数的概念及运算、定积分

一、点全面广强基训练

1．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′等于(　 )

A．－  B．－  C．－  D．－

解析：选C　因为f′(x)＝－cos x＋(－sin x)，所以f(π)＋f′＝－＋×(－1)＝－.

2．函数f(x)＝＋2x在x＝1处切线的倾斜角为(　 )

A.  B．  C.  D．

解析：选A　由题得f′(x)＝－＋2，

∴f′(1)＝－1＋2＝1，∴切线的斜率为1，

∴切线的倾斜角为.

3.函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　 )

A．f′(1)>f′(2)>0>f′(3)

B．f′(1)<f′(2)<f′(3)<0

C．0<f′(1)<f′(2)<f′(3)

D．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0

解析：选D　如图，作出函数f(x)在x＝1,2,3处的切线l1，l2，l3，可见三条切线的斜率依次递减，但是都大于零，由导数的几何意义可知，f′(1)>f′(2)>f′(3)>0，故选D.

4．定积分dx＝(　 )

A．e2＋1  B．e2－e＋1

C．e2＋2ln 2  D．e2－e＋2ln 2

解析：选D　由题意得dx＝(ex＋2ln x)|＝e2－e＋2ln 2，故选D.

5．若曲线f(x)＝xsin x在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于(　 )

A．－2  B．－1 

C．1  D．2

解析：选D　由题意可得f′(x)＝sin x＋xcos x，f′＝1，∴曲线f(x)＝xsin x在x＝处的切线的斜率为1，

又∵直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，

∴×1＝－1，解得a＝2.故选D.

6．已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是(　 )

A.  B．1 

C．2  D．e

解析：选B　由题意知y′＝aex＋1，令aex＋1＝2，则a>0，x＝－ln a，代入曲线方程得y＝1－ln a，所以切线方程为y－(1－ln a)＝2(x＋ln a)，即y＝2x＋ln a＋1＝2x＋1⇒a＝1.

7．(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝e2x－1，直线l过点(0，－e)且与曲线y＝f(x)相切，则切点的横坐标为(　 )

A．1  B．－1  C．2  D．e－1

8．已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－·ex图象的切线，则实数a＝________.

9．(2023·河南高三阶段练习)已知函数f(x)＝acos x(a>1)在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则实数a的值为________．

解析：∵f(x)＝acos x，∴f′(x)＝－asin x，

∴f′＝－a，又∵f＝0，

∴f(x)在点处的切线方程为y＝(－a)，

令x＝0，得y＝a；令y＝0，得x＝，

∴×a×＝，解得a＝.

答案：

10．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．

解析：由y＝x2－ln x，得y′＝2x－(x＞0)，

设点P0(x0，y0)是曲线y＝x2－ln x上到直线y＝x－2的距离最小的点，

则y′|x＝x0＝2x0－＝1，解得x0＝1或x0＝－(舍去)．

∴点P0的坐标为(1,1)．

∴所求的最小距离为＝.

答案：

11．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x2.

(1)求x<0时，f(x)的表达式；

(2)令g(x)＝ln x，问是否存在x0，使得f(x)，g(x)在x＝x0处的切线互相平行？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)当x<0时，－x>0，

f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x2.

∴当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝－2x2.

(2)若f(x)，g(x)在x0处的切线互相平行，

则f′(x0)＝g′(x0)，

当x>0时，f′(x0)＝4x0＝g′(x0)＝，

解得x0＝±.故存在x0＝满足条件．

12．已知函数f(x)＝ax＋(x≠0)在x＝2处的切线方程为3x－4y＋4＝0.

(1)求a，b的值；

(2)求证：曲线上任一点P处的切线l与直线l1：y＝x，直线l2：x＝0围成的三角形的面积为定值．

解：(1)由f(x)＝ax＋，得f′(x)＝a－(x≠0)．

由题意得

即解得a＝1，b＝1.

(2)证明：由(1)知f(x)＝x＋，

设曲线的切点为P，f′(x0)＝1－，

曲线在点P处的切线方程为

y－＝(x－x0)，

即y＝x＋.当x＝0时，y＝.

即切线l与l2：x＝0的交点坐标为A.

由得

即l与l1：y＝x的交点坐标为B(2x0,2x0)．

又l1与l2的交点为O(0,0)，则所求的三角形的面积为S＝·|2x0|·＝2.

即切线l与l1，l2围成的三角形的面积为定值．

二、重点难点培优训练

1．设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln x上，则|PQ|的最小值为(　 )

A.  B．

C．1＋ln 2  D．

解析：选D　因为函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，其图象关于y＝x对称，所以可先求点P到直线y＝x的最近距离d，设曲线y＝ex上斜率为1的切线为y＝x＋b，因为y′＝ex，由ex＝1，可得x＝0，所以切点的坐标为(0,1)，即b＝1，所以d＝＝，所以|PQ|的最小值为.

2．已知函数f(x)＝ax－ln x，且 ＝3，则函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程是________．

解析：由

＝3 ＝3，

得 f′(1)＝1，

而f′(x)＝a－，所以a＝2，f(x)＝2x－ln x，f(1)＝2，

所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.

答案：y＝x＋1

3．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________．

解析：由f(x)＝x3＋ax＋，得f′(x)＝3x2＋a，f′(0)＝a，f(0)＝，

∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax.

设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，

g′(x)＝－，

∴

将②代入①得ln x0＝，

∴x0＝e，∴a＝－＝－e.

答案：－e

4．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；

(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．

(1)由题意，得

解得b＝0，a＝－3或a＝1.

(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，

所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，

所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，

即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－.

所以a的取值范围为∪.