内蒙古赤峰市八校2023届高三下学期联考数学（理）试卷（含答案）

内蒙古赤峰市八校2023届高三下学期联考数学（理）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知全集，集合，，则下列关于集合A与B关系的韦恩图正确的是(   )

A. B.

C. D.

2、已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称,则(   )

A.-2 B.2 C.2i D.

3、已知直线与直线互相垂直，垂足为，则等于(   )

A.6 B.2 C.-2 D.-6

4、纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度可由公式：得出；现有一杯温度为的温水，放在空气温度为零下的冷藏室中，则当水温下降到时，经过的时间约为(   )

（参考数据：，）

A.3.048分钟 B.4.048分钟 C.5.048分钟 D.6.048分钟

5、已知角的终边上一点P的坐标为,角的终边与角的终边关于x轴对称,则(   )

A. B. C.3 D.-3

6、如图,在圆内接四边形ABCD中,,,,,现将该四边形沿AB旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为(   )

A. B. C. D.

7、命题“,”为真命题的一个充分不必要条件是(   )

A. B. C. D.

8、法国数学家加斯帕尔·蒙日发现: 与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心 为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为,现有椭圆 的蒙日圆上一个动点M, 过点M作椭圆C的两条切线,与该蒙日圆分别交于P,Q两点,若 面积的最大值为41,则椭圆C的长轴长为

A.5 B.10 C.6 D.12

9、在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论错误的是(   )

A.若,则

B.若为锐角三角形,则

C.若,则一定为直角三角形

D.若,则可以是钝角三角形

10、已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大,且项的系数为-160,则的值为(   )

A.40 B.-40 C.-12 D.12

11、已知函数在区间上有且仅有4条对称轴,给出下列四个结论:①在区间 上有且仅有3个不同的零点;②的最小正周期可能是;③的取值范围是;④在区间上单调递增.其中正确的命题有(   )

A.②③ B.①③ C.②④ D.①②③④

12、若,其中,则(   )

A. B. C. D.

二、填空题

13、已知函数,则的单调递减区间为_________.

14、已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或向负方向移动一个单位.若移动n次，则当时，质子位于原点的概率为___________.

15、已知双曲线的左、右焦点分别为,过的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,若,则C的离心率为__________.

16、如图,在三棱锥中,,，则三棱锥的外接球表面积为_________.

三、解答题

17、等差数列中,,.

(1)设,求数列的前7项和,其中表示不超过x的最大整数,如,.

(2)设,是数列的前n项和,求证:.

18、自2022年起内蒙古自治区将进入新一轮的高中课程改革, 同时进入新高考的时代,某中学新高一开始试行走班制教学。试行阶段, 每位教师均有各自的教室, 为调研学生对A、B两位高一数学教师的满意度,从在A、B两位教师的教室中上过课的学生中随机抽取了100人, 每人分别对两位高一数学教师进行评分, 满分均为60分.整理评分数据, 将分数以10为组距分为6组:,,,,,,得到A教师的分数的频率分布直方图和B教师的分数的频数分布表:

(1)在抽样的100人中, 求对A教师评分低于30的人数;

(2)从对B教师评分在范围内的人中随机选出2人,求2人中恰有1人评分在范围内的概率;

(3)如果从A、B两位教师的教室中选择一个教室作为今后三年上课的教室,你会选择哪一个教室?说明理由.

19、在正方体,,F为中点,E为中点.

(1)若G点是正方形内的动点(含边界),G点运动时,始终保持 平面AEC,求G点运动轨迹的长度.

(2)求直线与平面AEC所成角的正弦值.

20、已知椭圆的离心率为,且经过点,椭圆C的右顶点到 抛物线的准线的距离为4.

(1)求椭圆C和抛物线E的方程.

(2)设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A,B两点,与椭圆C相交于M,N两点,O为坐标原点,若,则在x轴上是否存在点H,使得x轴平分?若存在,求出点H的坐标, 若不存在,请说明理由.

21、已知函数.

(1)当函数与函数图像的公切线l经过坐标原点时,求实数a的取值集合;

（2）证明:当 时,函数有两个零点.

22、在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (为参数),直线.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)写出曲线C的普通方程及直线l的极标方程;

(2)直线与曲线C和直线l分别交于A,B(A,B均异于点O)两点,求的取值范围.

23、已知函数,

（1）当时,解不等式;

（2）若关于x的不等式的解集包含,求m的取值范围.

参考答案

1、答案：D

解析：

2、答案：A

解析：

3、答案：A

解析：

4、答案：C

解析：

5、答案：D

解析：

6、答案：B

解析：

7、答案：C

解析：

8、答案：B

解析：

9、答案：D

解析：

10、答案：C

解析：

11、答案：A

解析：

12、答案：D

解析：

13、答案：

解析：

14、答案：

解析：

15、答案：2

解析：

16、答案：

解析：

17、答案：(1)7

(2)

解析：(1)设数列首项为,公差为d,

由题意得 ,

解得,

所以的通项公式为;

由题意知,

当时,,;

当时,，;

当时,，;

所以数列的前7项和为 .

(2)

,

,

18、答案：(1)20人

(2)

(3)会选择B教师的教室作为今后三年上课的教室

解析：(1)由A教师的分数的频率分布直方图,

得对A教师的评分低于30分的频率为:

对A教师的评分低于30的人数为 人.

(2)对B教师评分在范围内的有2人,设为m,n,对B教师评分在范围内的有3人, 设为a,b,c,从这5人中随机选出2人的选法为: mn,ma,mb,mc,na,nb,nc,ab,ac,bc,共10种,其中恰有1人评分在范围内的选法包括: ma,mb,mc,na,nb,nc,共6种,故2人中恰有1人评分在范围内的概率为.

(3)从两个教师得分低于 30 分的人数所占的比例来看,由(1)得,抽样的100人中,

A教师评分低于30的人数为20,

A教师评分低于 30 分的人数所占的比例为,

B教师评分低于30分的人数为,

B教师评分低于30分的人数所占的比例为,

会选择B教师的教室作为今后三年上课的教室.

19、答案：(1)

(2)

解析：(1)取的中点为H,连接FH,

连接,连接.

F,H分别为的中点,

又，

四边形是平行四边形,得,而,

所以四边形也是平行四边形,

,而平面AEC,

平面AEC,

连接,，，HD

同理可证平面AEC,又,

平面平面AEC,

又G点运动时,始终保持平面AEC,

得平面,

G点运动轨迹为线段,其长度为.

(2) 如图, 以A为坐标原点,AB直线为x轴,AD直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.

得,,,

设平面AEC的法向量为,

则,

可得,

令,得,

又,

,

因为直线与平面AEC所成角为锐角,

所以直线与平面AEC所成角的正弦值为.

20、答案：(1)

(2)见解析

解析：(1)由已知得

,

椭圆C的方程为.

椭圆C的右顶点为.

,

解得.

抛物线E的方程为.

(2)由题意知直线l的斜率存在且不为0. 设直线l的方程为

,

由$

消去y,得.

,

,,

,

,

,

,此时.

直线l的方程为.

假设在x轴上存在点,使得x轴平分,

则直线HM的斜率与直线HN的斜率之和为0,

设,

由消去y,得.

,即恒成立，

，

,

.

.

.解得.

在x轴上存在点,使得x轴平分.

21、答案：(1)

(2)见解析

解析：(1)设公切线l与函数的切点为,

则公切线l的斜率,

公切线l的方程为:,

将原点坐标代入,得,

解得,公切线l的方程为:,

将它与联立,整理得.

令,对之求导得:,

令,解得.

当时,,单调递减, 值域为,

当 时,,单调递增,值域为,

由于直线l与函数相切,即只有一个公共点,

故实数a的取值集合为.

(2)证明:要证有两个零点,

只要证有两个零点即可.

,即是函数的一个零点.

对求导得:,

令,解得.

当 时,,单调递增;

当时,,单调递减.

当时,取最小值,,

,

必定存在使得二次函数,

即.

因此在区间上必定存在的一个零点.

综上所述,有两个零点,一个是,另一个在区间上.

22、答案：(1)

(2)

解析：(1)由参数方程为(为参数),

得

曲线C的普通方程为.

由普通方程为,而,

直线l的极坐标方程为,

即.

(2)曲线C的极坐标方程为,

直线l的极坐标方程为,

即,

,

则的取值范围为.

23、答案：(1)

(2)

解析：(1)当时,

当时,,

由解得,综合得 ;

当时,,

由 解得 ,综合得 ;

当时, ,

由解得 , 综合得 .

所以的解集是 .

(2)的解集包含,

当 时,恒成立

原式可变为,

即,

即 在上恒成立,

显然当时,取得最小值10,

即m的取值范围是.