2023届湖北省武汉二中等校高三下学期高考冲刺模拟试卷(八)数学含解析
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2023年高考冲刺模拟试卷
数学试题(八)参考答案
一、单项选择题,二、多项选择题:
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | C | D | A | B | D | B | A | ABC | ABD | AB | CD |
三、填空题
13. 14. 15. 16.
1.C
2.C
3.D 【解析】由题意得解得所以随机抽取2个格点,则至少有1个格点
在三角形内部的概率为,故选D.
4.【答案】A
【解析】因为,所以,设向量与向量的夹角为,
因为,所以,
又因为,可得,所以,故选A.
5.B 【解析】因为
,
可得,因为在区间上没有零点,
所以,解得,又因为,
所以,根据题意可得,则有,
综上可得的取值范围为,即的最大值为,故选B.
6.D
【解析】因为,所以是偶函数,且当时,
是减函数,因为对恒成立,当且仅当时等号成立,取,
所以,所以,即.令,,
则,令,得,令,得,
得在上单调递增,在上单调递减,故,
故对恒成立,当且仅当时等号成立,取,
所以,因为,所以.综上,,故选D.
7.B
【解析】设点到各边的距离为,则,
即,由椭圆定义知,,则有
,所以椭圆的离心率,故选B.
8.A
【解析】如图,取的中点,连接,,可得,又,所以
为正三角形,取的中点,取的中点,连接,,,可得平面
平面,因为平面,所以平面,所以
在三棱锥表面上,满足的点的轨迹是,所以
点轨迹的长度.分别在,取点,,使得,
,再过点,分别作平面,平面的垂线,两垂线
交于点,则点即为外接球的球心,连接,,则,所以三棱锥
的外接球的表面积,所以,故选A.
9.ABC
10.ABD
【解析】因为函数的定义域为R,且,所以函数
是奇函数,故A正确;因为,
所以函数的图象关于直线对称,故B正确;
因为,
所以,因此不是函数
的周期,故C错误; 因为函数在上
的零点就是函数与在
上图象交点的横坐标,所以作函数与
在上图象,由图象知函数与在上有、、、
、、、共7个交点,其中,,,,,
因此,所以函数在上所有零点之和为,
故D正确.故选ABD.
11.AB
【解析】连接,则过点,且平面,设垂足为,则平面
,所以的最小值为,故A正确;因为,且
平面,所以点的轨迹是圆,故B正确;因为,,
可得,点的轨迹围成图形的面积为,故C错误;
异面直线与所成的角即为与所成的角,而与平面
所成的角为,且,故D
错误,故选AB.
12.CD
【解析】因为是定义在R上的单调函数,对于任意,满足,
所以为常数,令,则且,
即,即,令,因为,
故,因为为偶函数,方程有且
仅有4个不相等的实数根,当且仅当方程在上有且仅有两个不相等
的实数根,即在上有且仅有两个不相等的实数根,方程根
的个数可看成与图象交点个数,令,则
,当时,函数单调递减,当,函数单
调递增,且,故,即,当时,
不满足要求;当时,此时,故有两个交点,满足题意.故选CD.
13. 【解析】
,所以的展开式中常数项为.
14.0.8
【解析】以水位未涨前的水面的中点为原点,建立平面直角坐标系,如图所示,
设圆拱所在圆的方程为,因为圆经过点,,
所以解得所以圆的方程是
,
令,得,故当水位暴涨m后,船身至少应降低(m),
船才能安全通过桥洞.
15. 【解析】为奇函数,,则
,即,可得
,两边求导得,又的图像关于对称,
的图象关于轴对称,即,两边求导得,则
,,可得和都是以为周期的
周期函数,,由,取,
可得,即,得,
.曲线在处的切线方程为
,即.
16.
【解析】由题意可知直线的斜率存在,设直线:,,
联立方程,整理得,,
,所以或,
解得或(舍),故直线的方程为,恒过定点,又因
为,所以点在以为直径的圆上,设的中点为,则的最
大值为.
17.解:(1),由正余弦定理可得
,(2分)
整理可得,解得.(4分)
(2),,,,
,,.(5分)
,即,,可得,
,(6分)
,(8分)
又,在中,
由正弦定理可知,,
.(10分)
18.解:(1)由题意得,当,,(1分)
当时,,两式相减得,(3分)
所以,又不满足上式,所以.(5分)
(2)因为,所以当时,,(6分)
当时,,(9分)
所以令
,又,所以.(12分)
19.解:(1)零假设为:疗法与疗效独立,即两种疗法效果没有差异,根据列联表中数据,
经过计算得到,
根据小概率值的独立性检验,没有充分证据推断不成立,
因此可以认为成立,即认为两种疗法效果没有差异. (4分)
(2)设组中采用甲方案康复的人数为,则,
所以,设组的积分为,则,
所以,(7分)
设组中采用乙方案康复的人数为,则的可能取值为:0,1,2,3,
,,
,,
故的分布列为:
0 | 1 | 2 | 3 | |
所以,(10分)
设组的积分为,则,所以.(11分)
因为,所以甲种联合治疗方案更好. (12分)
20.解:(1)取中点,连结,交于点,连结,因为,,
所以四边形是平行四边形,所以,,
因为,所以,(2分)
因为,所以,因为,所以,
因为,所以平面,
因为平面,所以,(4分)
因为,所以平面,
因为平面,所以平面平面.(5分)
(2)取中点,以为坐标原点,,,为,,轴,建立如图所
示的空间坐标系,设,则,,所以,,
,,,,所以,
.设平面的一个法向量,则有即
令,则,,
所以平面的一个法向量.(8分)
因为平面的一个法向量,(9分)
所以,设二面角的大小为,
则,所以二面角的正弦值为.(12分)
21.解:(1)当轴时,,所以①,
②,(2分)
又③,联立①②③,解得,,,
所以双曲线的方程.(4分)
(2)证明:显然直线不与轴垂直,设的方程为,则,
,联立方程消去得,
设,,因为,所以,
,.因为,所以方程为,
令,得,同理,(6分)
所以
.(9分)
因为,所以,
解得,(11分)即直线方程为,所以直线经过点,
所以,,三点共线.(12分)
22.解:(1)设,因为在上递增,,,
所以存在唯一,使得(2分)
当时,由,,
所以,,曲线在点处的切线为
,
因为切线经过原点,所以,解得.(5分)
(2)由(1)知,当时,;
当时,,其中,即,
当时,,所以在上是减函数.
当时,,设,,
则在上是减函数.(7分)
① 当时,因为,,
在上是减函数,所以在上不存在最小值,不合题意;
② 当时,,,所以在上是增函数,
所以当时,取得极小值,也是最小值,所以适合;(9分)
③ 当时,因为,,所以存在,使得.
当时,,,递增;
当时,,,递减,所以当时,
取得极小值,要使在上存在最小值,则,
因为,所以,,
所以.综上,实数的取值范围是.(12分)
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