统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练15高考大题专练一导数的应用文

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1．[2023·全国乙卷(文)]已知函数f(x)＝( eq \f(1,x)＋a)ln (1＋x).
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
(2)若函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，求a的取值范围．
2．[2023·全国甲卷(文)]已知函数f(x)＝ax－ eq \f(sin x,cs2x)，x∈(0， eq \f(π,2)).
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)＋sinx0，所以只需满足ax2＋x－(1＋x)ln (1＋x)≥0(x＞0).
设g(x)＝ax2＋x－(1＋x)ln (1＋x)，
则g′(x)＝2ax＋1－ln (1＋x)－1＝2ax－ln (1＋x).
若a≤0，则g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，于是在(0，＋∞)上g(x)0，设h(x)＝g′(x)，
则h′(x)＝2a－ eq \f(1,1＋x)，h′(0)＝2a－1.
①若0＜a＜ eq \f(1,2)，则h′(0)＝2a－1＜0，令h′(x)＝0，得x＝ eq \f(1,2a)－1，因为h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，故当0＜x＜ eq \f(1,2a)－1时，h′(x)＜0，当x＞ eq \f(1,2a)－1时，h′(x)＞0，
所以h(x)即g′(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2a)－1))上单调递减，在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)－1，＋∞))上单调递增，于是当0＜x＜ eq \f(1,2a)－1时，g′(x)g(0)＝0，满足题意．
综上所述，a的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
2．解析：(1)(cs2x)′＝(csx cs x)′＝－sin x cs x＋cs x·(－sin x)＝－2sin x cs x，
f′(x)＝a－ eq \f(cs x·cs2x－sinx·（－2sin x cs x）,cs4x)＝a－ eq \f(cs2x＋2sin2x,cs3x)＝a－ eq \f(2－cs2x,cs3x).
当a＝1时，f′(x)＝1－ eq \f(2－cs2x,cs3x)＝ eq \f(cs3x＋cs2x－2,cs3x).
因为x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以csx∈(0，1)，cs3x＋cs2x＜2，故f′(x)0时，F′(0)＝a>0，
当x→ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2))) eq \s\up12(＋)时，F′(x)→－∞，所以存在一个x0∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，满足F′(x0)＝0，且当x∈(0，x0)时，F′(x)>0，F(x)单调递增，则当x∈(0，x0)时，F(x)>F(0)＝0，不符合题意．
当a≤0时，因为f(x)＋sinx＝ax－ eq \f(sin x（1－cs2x）,cs2x)＝ax－ eq \f(sin3x,cs2x)≤－ eq \f(sin3x,cs2x)，x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以要证f(x)＋sinx0)，
则h′(x)＝1－ln x－ eq \f(x＋1,x)＝－ln x－ eq \f(1,x).
由(1)知，h′(x)≤－1，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又h(1)＝0，所以当x∈(0，1]时，h(x)≥0；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)