2022-2023学年江苏省南京市重点中学高二（下）联考数学试卷（6月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省南京市重点中学高二（下）联考数学试卷（6月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市重点中学高二（下）联考数学试卷（6月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  设，是两个随机事件，且，，则“事件，相互独立”是“事件，互斥”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件2.  复数的虚部为(    )A.  B.  C.  D. 3.  从至的个整数中随机取个不同的数，则这个数互质的概率为(    )A.  B.  C.  D. 4.  某学校为了了解本校教师课外阅读教育专著情况，对老年、中年、青年教师进行了分层抽样调查，已知老年、中年、青年教师分别有人，人，人，若从中年教师中抽取了人，则从青年教师中抽取的人数比从老年教师中抽取的人数多(    )A. 人 B. 人 C. 人 D. 人5.  一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，其中，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的方差和第百分位数是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，6.  若直线是曲线的一条切线，则实数等于(    )A.  B.  C.  D. 7.  将名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排名学生，那么互不相同的分配方案共有(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种8.  定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式其中为自然对数的底数的解集为(    )A.  B.
C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知件产品中有件是一等品，其余都是二等品．从这些产品中不放回地抽取三次，令为第次取到的是一等品，则(    )A.  B. 与相互独立 C.  D. 10.  某学校为普及安全知识，对本校名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动满分为分现从中随机抽取名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是(    )
A. 图中的值为
B. 估计该校高一大约有的学生竞赛得分介于至之间
C. 该校高一学生竞赛得分不小于的人数估计为人
D. 该校高一学生竞赛得分的第百分位数估计大于11.  下列说法中正确的是(    )A. 已知为随机变量，则
B. 已知随机变量服从二项分布，则方差
C. 已知随机变量服从正态分布，若，则
D. 已知随机变量满足，，若，则随着的增大而减小，随着的增大而增大12.  已知函数，则(    )A. 函数在上单调递增 B. 有三个零点
C. 有两个极值点 D. 直线是曲线的切线三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  的展开式中的系数为______ 用数字作答．14.  在年月某区的高三模拟检测中，学生的数学成绩服从正态分布，已知参加本次考试的学生约有人，如果某学生在这次考试中数学成绩为分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是______ ．
附：若，则，．15.  某学生在上学路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯停留的时间都是，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的方差为______ ．16.  设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共节课
如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？
如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
原定的节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理节课，若将这节课插入原课表中且原来的节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？18.  本小题分
已知展开式的二项式系数和为，且．
求的值；
求的值；
求被整除的余数．19.  本小题分
有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下每种理财产品的不同投资结果之间相互独立：
产品： 投资结果获利不赔不赚亏损概率产品： 投资结果获利不赔不赚亏损概率注：，
Ⅰ若甲、乙两人分别选择了产品，投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；
Ⅱ若丙要将万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想．20.  本小题分
为了保护环境，某工厂在政府部门的支持下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本万元与处理量吨之间的函数关系可近似地表示为：，且每处理一吨二氧化碳可得价值为万元的某种化工产品．
Ⅰ当时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不亏损？
Ⅱ当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少．21.  本小题分
年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了日上午：：这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段：：记作，：：记作，：：记作，：：记作，例如：：，记作时刻．
估计这辆车在：：时间内通过该收费站点的时刻的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代替；
为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这辆车中抽取辆，再从这辆车中随机抽取辆，
设抽到的辆车中，在：：之间通过的车辆数为，求的分布列；
根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻服从正态分布，其中可用日数据中的辆车在：：之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替同一组中的数据用该组区间的中点值代替假如日上午：：这一时间段内共有辆车通过该收费站点，估计在：：之间通过的车辆数结果保留到整数．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
22.  本小题分
已知函数，其中．
若，求函数在上的最值；
当时，证明：在上存在唯一零点．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由“事件，相互独立”得，；
由“事件，互斥”得；
由不能得到；由不能得到，
所以“事件，相互独立”是“事件，互斥”的既不充分也不必要条件，
故选：．
由独立事件及互斥事件的概念和性质即可得到二者间的逻辑关系
本题考独立事件及互斥事件的概念和性质，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：，
故的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．
本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．【解答】解：从至的个整数中任取两个数共有种方式，
其中互质的有：，，，，，，，，，，，，，，共种，
故所求概率为．  4.【答案】 【解析】解：设从老年教师和青年教师中抽取的人数分别是，因为老年、中年、青年教师分别有人，人，人，
且从中年教师中抽取了人，
所以，
解得，，
则．
故选：．
设从老年教师和青年教师中抽取的人数分别是，，然后根据分层抽样的原理列方程，然后解方程求解即可．
本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，其中，
中位数是，众数是，
该组数据的中位数是众数的倍，
，解得，
平均数为，
该组数据的方差为：
，
，
第百分位数是．
故选：．
中位数是，众数是，由该组数据的中位数是众数的倍，列方程解得，由此能求出该组数据的方差和第百分位数．
本题考查该组数据的方差和第百分位数的求法，考查平均数、众数、中位数、方差、百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 6.【答案】 【解析】解：设切点为，由，可得，
则，解得．
故选：．
设切点为，根据导数的几何意义，结合题意建立关于，，的方程组，解出即可．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】【分析】本题考查排列组合的综合应用与分类加法计数原理，属于中档题．
第一步，先把学生分成两组，第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，根据分类加法计数原理与分步乘法计数原理得到结果．【解答】解：分两步去做：
第一步，先把学生分成两组，有两种分组方法，
一种是一组人，另一组人，有种分法，
一种是一组人，另一组人，有种分法，
共有种分组法，
第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，共有种分配方法，
最后，把两步方法数相乘，共有种方法，
故选B．  8.【答案】 【解析】解：设，，
则，
，
，
，
在定义域上单调递增，
，
，
又，
，
，
不等式的解集为
故选：．
构造函数，，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解
本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：件产品中有件是一等品，其余都是二等品，
从这些产品中不放回地抽取三次，令为第次取到的是一等品，
对于，，故A正确；
对于，，，故C错误；
对于，，，与不相互独立，故B错误；
对于，，故D正确．
故选：．
根据古典概型的概率公式及条件概率公式能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查古典概型的概率公式及条件概率公式、相互独立事件定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 10.【答案】 【解析】解：由频率分布直方图的性质得：
，
解得，故A错误；
得分介于至之间的频率为，故B正确；
得分不小于的人数估计为，故C正确；
得分介于至之间的频率为，
该校高一学生竞赛得分的第百分位数估计大于，故D正确．
故选：．
根据频率分布直方图性质可得，判断；计算出得分介于至之间的频率，判断；利用乘以得分不小于的频率，判断；计算得到介于至之间的频率，判断．
本题考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 11.【答案】 【解析】解：对于，因为，所以，故A错误；
对于，因为随机变量服从二项分布，所以，故B正确；
对于，因为随机变量服从正态分布，且，
所以，故C正确；
对于，因为随机变量满足，，
所以，，
由一次函数和二次函数的性质可知，当时，随着的增大而减小，随着的增大而减小，故D错误．
故选：．
根据期望与方差的性质可判断，根据二项分布的方差公式可判断，根据正态分布曲线的对称性可判断，根据两点分布的期望和方差公式求出和，进而根据一次函数和二次函数的单调性即可判断．
本题主要考查了期望与方差的性质，考查了二项分布的方差公式，以及正态分布曲线的对称性，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：函数，定义域为，，
令，解得或；
令，解得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
极大值为，极小值为，，，函数图像如图所示，

则函数的图像与轴只有一个交点，即只有一个零点，
所以选项错误，选项正确；
曲线切线的切点坐标为，当切线斜率为时，，解得，
当时，切点坐标为，切线方程为，即，选项正确．
故选：．
利用导数研究函数单调性和极值，通过极值判断函数零点个数，通过导数的几何意义求已知斜率的切线方程．
本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：由已知可得，
所以由二项式定理可得多项式的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为．
故答案为：．
化简已知关系式为：，然后根据二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：因为考试的成绩服从正态分布，
根据，，则，
得，
即数学成绩高于分的学生占总人数的，
由，可知这位学生的数学成绩分大约排在该区的名次是．
故答案为：．
根据正态分布的特点得，最后乘以人数即可．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：设变量为这名学生在上学路上遇到红灯的次数，则，由题意，，
所以，所以．
故答案为：．
利用已知条件判断学生遇到红灯的次数满足，，然后利用独立重复实验求解期望与方差即可．
本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．
 16.【答案】 【解析】解：因为，
当时，，
所以，
由对勾函数的性质可得在上单调递增，
所以，当，即时，等号成立，
所以，
又因为，
所以在上单调递增，
所以，，
又因为对任意的，存在，使得，
所以，
所以，
解得．
所以实数的取值范围为：．
故答案为：．
分离常数得，根据对勾函数的性质可求得，根据一次函数的性质可得，由题意可得，代入求解即可．
本题考查了转化思想、对勾函数的性质及一次函数的性质，难点是由题意得出，属于中档题．
 17.【答案】解：如果数学必须比语文先上，则不同的排法有种．
如果体育排在最后一节，有种，
体育不排在最后一节有种，
所以共有种．
若将这节课插入原课表中且原来的节课相对顺序不变，
则有种． 【解析】根据数学必须比语文先上定序问题的排列用除法即倍缩法，即可求解．
分别计算两类体育排在最后一节，和体育不排在最后一节，求和，即可求解．
根据九科中六科的顺序一定，利用除法即倍缩法，即可求解．
本题主要考查排列数的求解，掌握除法即倍缩法是解本题的关键，属于中档题．
 18.【答案】解：因为展开式的二项式系数和为，
则，解得，
因为，
则；
令，可得，
令，可得，
所以；
因为，
因为能被整除，
所以被整除后余数为． 【解析】本题考查了二项式定理的应用，求解整除问题和求解近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，其中合理运用赋值法是求解二项展开式系数和的关键，考查了化简运算能力，属于中档题．
利用二项式系数和，求出的值，再由和二项展开式，求解系数即可．
利用赋值法，和，代入求解即可；
利用以及二项式定理展开，即可得到答案．
 19.【答案】解：Ⅰ记事件为“甲选择产品投资且获利”，记事件为“乙选择产品投资且获利”，
设事件为“一年后甲、乙两人至少一人投资获利”，
则，，，，
，，
又，且，
．
Ⅱ假设选择产品投资，且记为获利金额，单位：万元，则的分布列为： 投资结果   概率   ．
假设丙选择产品投资，且记为获利金额单位：万元，则的分布列为：    概率   ，，
当时，，丙可在产品和产品中选择一个投资，
当时，，丙应选择产品投资，
当时，，丙应选择产品投资． 【解析】Ⅰ记事件为“甲选择产品投资且获利”，记事件为“乙选择产品投资且获利”，设事件为“一年后甲、乙两人至少一人投资获利”，则，，，，从而，进而，由此能求出结果．
Ⅱ假设选择产品投资，且记为获利金额，单位：万元，求出的分布列和，假设丙选择产品投资，且记为获利金额单位：万元，求出的分布列和，，由此分类讨论，能求出丙选择哪种产品投资较为理想．
本题考查概率的取值范围的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查对立事件概率计算公式、相互事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 20.【答案】解：Ⅰ当时，设该工厂获利为，则
所以当时，，因此，该工厂不会获利，所以国家至少需要补贴万元，才能使工厂不亏损    
Ⅱ由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
当时，，
时，，为减函数；时，，为增函数，
时，取得最小值，即；
当时，
当且仅当，即时，取得最小值
，
当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少． 【解析】Ⅰ利用每处理一吨二氧化碳可得价值为万元的某种化工产品，及处理成本万元与处理量吨之间的函数关系，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；
Ⅱ求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数是分段函数，再分段求出函数的最值，比较其大小，即可求得结论．
本题考查函数模型的构建，考查函数最值的求解，正确运用求函数最值的方法是关键．
 21.【答案】解：这辆车在：：时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：
．
由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的辆车中，
在：前通过的车辆数就是位于时间分组这一区间内的车辆数，
即，所以的可能的取值为，，，，．
所以，
，
，
，
．
所以的分布列为： 由得，．
所以，估计在：：之间通过的车辆数也就是在通过的车辆数，
由，得：
，
所以估计在：：之间通过的车辆数为． 【解析】由频率分布直方图能求出这辆车在：：时间段内通过该收费点的时刻的平均值．
由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的辆车中，在：前通过的车辆数就是位于时间分组这一区间内的车辆数，求出其结果为，从而的可能的取值为，，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
求出，，估计在：：之间通过的车辆数也就是在通过的车辆数，由，能估计在：：之间通过的车辆数．
本题考查平均数、离散型随机变量的分布列、频数的求法，考查频率分布直方图、正态分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 22.【答案】解：时，，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，而，，
故在上的最小值是，最大值是．
证明：由题意知：，
则，则，
，恒成立，
在单调递增，
，，
，使得，
即当时，，当时，，
在递减，在递增，
又，，
在上存在个零点，在上没有零点，
时，在上存在唯一零点． 【解析】代入的值，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最值即可；
求出的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性，零点，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．