2022-2023学年上海市虹口区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市虹口区高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共5小题，共17.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知平面平面，、、、若线段与线段的长度相等，那么这两条线段所在的直线的位置关系是(    )

A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行、相交或异面

2.  已知圆，直线：若圆心在直线上，则圆的半径等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，函数在区间上严格增，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C. ． D.

4.  点、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共14小题，共46.0分）

6.  若直线：与直线：互相垂直，则实数的值为______ ．

7.  现有个医疗小组和个需要援助的国家，若每个医疗小组只去一个国家，且个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法共有______ 种

8.  已知是正方体棱的中点，则直线与平面所成的角的大小等于______ ．

9.  若，则等于______ ．

10.  若，则正整数的值等于______ ．

11.  棱长都是的三棱锥的高等于______ ．

12.  已知平面直角坐标系中的三点、、，若直线过点且与直线平行，则的方程为______ ．

13.  如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有______ 个

14.  从四棱锥的个顶点中任选个不同的点，则这四点能够构成不同三棱锥的个数是______ 结果用数字作答．

15.  已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是______．

16.  已知是等边三角形，、分别是边和的中点若椭圆以、为焦点，且经过、，则椭圆的离心率等于______ ．

17.  若椭圆的离心率，则实数等于______ ．

18.  已知水平放置的边长为的等边三角形，其所在平面的上方有一动点满足两个条件：三棱锥的体积为；三棱锥的外接球球心到底面的距离为，则动点的轨迹长度为______．

19.  已知矩形的边长，，若以直线为旋转轴，将此矩形旋转一周，则所得到的旋转体的表面积等于______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
若：．
当时，求的值；
求的值．

21.  本小题分
亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉如图假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体如图一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求已知圆锥高为米，底面半径为米，圆柱高为米，底面半径为米．
求几何体的体积；
如图，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的大小，并判断该亭子是否满足建筑要求．

 

22.  本小题分
已知椭圆的左、右焦点为，，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于，两个不同的点．
求点到直线的距离；
若直线的斜率为，且，求实数的值．

23.  本小题分
如图所示的几何体中，四边形为正方形，．
求证：平面；
组题若，，平面平面求平面与平面所成锐二面角的大小．
组题若，平面平面若为中点，求证：．

 

24.  本小题分
如图，已知等腰直角三角形的两直角边，的边长为，过边的等分点作边的垂线，过边的等分点和顶点作直线，记与的交点为若以点为坐标原点，所在的直线为轴点在轴的正半轴上，建立平面直角坐标系．
组题证明：对任意的正整数，点都在抛物线：上；
组题当时，求点的坐标；
组题已知是抛物线：在第一象限的点，过点与抛物线相切的直线与轴的交点为过点的直线与直线垂直，且与抛物线交于另一点记的面积为，试用解析法将表示为的函数，并求的最小值．
组题已知是抛物线：在第一象限的点，过点与抛物线相切的直线与轴的交点为过点的直线与直线垂直，与抛物线交于另一点，且与轴交于点若为等腰直角三角形，求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意，平面平面，直线与可以平行、相交，也可以异面．
故选：．
根据题意，由空间直线与直线的位置关系分析可得答案．
本题空间直线与直线的位置关系，涉及平面与平面平行的性质，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，可得圆心，
圆心在直线：上．，
解得，圆的方程为，即，
圆的半径等于．
故选：．
求得圆的圆心坐标，代入直线：的方程可求得，代入圆的方程可求圆的半径．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得，
函数在区间上严格增，
在上恒成立，即在上恒成立，
令，，
，
，即实数的取值范围是．
故选：．
由题意得，题意转化为在上恒成立，即在上恒成立，根据二次函数的性质，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图所示：、，
设内切圆与轴的切点是点，
、与内切圆的切点分别为、，
由双曲线的定义可得，
由圆的切线长定理知，，故，
即，
设内切圆的圆心横坐标为，内切圆半径，则点的横坐标为，
故，，
双曲线的渐近线的方程为，
，
，
，
．
的内切圆半径的取值范围，
故选A．

根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把，转化为，从而求得点的横坐标，确定，即可求出的内切圆半径的取值范围．
本题考查双曲线的定义、切线长定理，体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思想，正确运用双曲线的定义是关键，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：双曲线的两条渐近线的方程为，
由直线的斜率为，可得倾斜角为，
的斜率为，可得倾斜角为，
所以两条渐近线的夹角的大小为．
故选：．
求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小．
本题考查双曲线的渐近线方程和夹角的大小，考查运算能力，是一道基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：若直线：与直线：互相垂直，
则，即．
故答案为：．
由已知结合直线垂直的条件建立关于的方程，可求．
本题主要考查了直线垂直条件的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意，每个医疗小组只去一个国家，且个医疗小组去的国家各不相同，
则不同的分配方法共有种．
故答案为：．
根据排列数的定义化简计算即可．
本题考查排列的实际应用，考查排列数的计算，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，．
在正方体中，，分别是，的中点，则且，
故四边形为平行四边形，所以，
平面，即为直线与平面所成的角，
设正方体棱长为，则，，
所以，故直线与平面所成角的大小为，
即直线与平面所成的角的大小等于．
通过将直线平移到，可直接得到线面角为，在直角三角形中可直接求出其正切值，进而得角的大小．
本题考查线面角的求法，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
可根据基本初等函数和积的导数求出导函数，然后即可求出的值．
本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
正整数的值等于．
故答案为：．
根据组合数的性质和定义，化简计算可得正整数的值．
本题考查组合数的应用，考查学生计算能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，设正三棱锥的顶点在底面上的射影为，
则在直角三角形中，，，
三棱锥的高，
故答案为：．
先根据题意画出示意图，再利用高、侧棱及侧棱在底面的射影构成一个直角三角形，结合直角三角形的边的关系即可求得三棱锥的高．
本题主要考查了棱锥的结构特征，以及空间中线段之间的数量关系，考查空间想象能力、运算能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为、，
所以直线的斜率，
因为直线与直线平行，则直线的斜率也为，
故过点且与直线平行的直线方程为，即．
故答案为：．
先求出直线的斜率，然后结合直线平行条件求出直线的斜率，进而可求直线方程．
本题主要考查了直线的斜率公式及直线平行条件的应用，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为平面，
所以，
又，，
所以平面，
所以平面，
所以几何体中的直角三角形有，，和，共个．
故答案为：．
由题意利用线面垂直的判定和性质即可求解．
本题主要考查了线面垂直的判定和性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，从四棱锥的个顶点中任选个不同的点，有种取法，
其中共面，不能构成不同三棱锥的情况有种，
则取出的四点能够构成不同三棱锥的个数是；
故答案为：．
根据题意，用排除法分析：先分析从四棱锥的个顶点中任选个不同的点的取法，排除其中共面的情况，分析可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及棱锥的结构特征，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径为，
根据抛物线的定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，
进而推断出当，，三点共线时到点的距离与点到直线距离之和的最小为：
丨丨，

故答案为：．
求得圆心与半径，由抛物线的定义可知：可知当，，三点共线时到点的距离与点到直线距离之和的最小，利用勾股定理即可求得丨丨．
本题考查抛物线的定义，考查数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，
因为是等边三角形，
所以，，
所以，，，
由勾股定理得，
整理得，
故，
因为，
所以．
故答案为：．
由已知结合椭圆定义及椭圆方程可得关于，的关系，进而可求．
本题主要考查了椭圆性质的应用，属于中档题．
 

17.【答案】 

【解析】解：若椭圆的离心率，
则，
解得．
故答案为：．
由已知结合椭圆的性质即可求解．
本题主要考查了椭圆性质的应用，属于基础题．
 

18.【答案】 

【解析】解：设三棱雉的高为，
因为三棱雉的体积为，
所以，
解得，
设的外接圆的半径为，
则
因为三棱雉的外接球球心到底面的距离为，
所以外接球的半径为，即，
因为点到面的距离为，
所以动点的轨迹是一个截面圆的圆周，且球心到该截面的距离为，
所以截面圆的半径为，
所以动点的轨迹长度为，
故答案为：．
根据三棱锥的外接球球心到底面的距离为和的外接圆的半径，求得以外接球的半径，再根据三棱锥的体积为，得到点到面的距离为，从而得到动点的轨迹与面平行的平面与外接球的一个截面圆的圆周求解．
本题考查轨迹方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】 

【解析】解：根据题意，以直线为旋转轴，将此矩形旋转一周，得到的几何体为圆柱，
其高，底面半径，
则所得到的旋转体的表面积．
故答案为：．
根据题意，分析可得旋转后得到的几何体的圆柱，分析该圆柱的高和底面半径，由此计算可得答案．
本题考查旋转体的表面积计算，注意旋转体的定义，属于基础题．
 

20.【答案】当时，原方程等价于，
即的值为；
由题意，令，则原方程等价于，
又由可知，，
则． 

【解析】将代入原方程化简计算，可得的值；
令，可得的值，结合中的值，作差可得答案．
本题考查二项式展开式的系数和，考查赋值法的应用，属于基础题．
 

21.【答案】解：圆柱的体积，
圆锥的体积为，
几何体的体积；
连接，，
根据题意可得，

为圆柱母线和圆锥母线所成的角，
，，
，
圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的大小为． 

【解析】利用柱体，锥体的体积公式计算即可；
连接，，可得为圆柱母线和圆锥母线所成的角，求解即可．
本题考查空间几何体的体积的计算，考查异面直线所成角的求法，属中档题．
 

22.【答案】解：由椭圆的方程可得，，，
所以，，，
所以直线的方程为，即，
所以到直线的距离；
由题意设直线的方程为，
联立，整理可得：，
，即，
且，，
因为，所以，
即，
整理可得，
即，
即，
整理可得：，
解得或，都符合，
所以的值为或． 

【解析】由椭圆的方程可得，的值，进而求出的值，由题意可得，，的坐标，求出直线的方程，再求到直线的距离；
由题意设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由，所以，整理可得的值．
本题考查直线与椭圆的综合应用，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
 

23.【答案】解：证明：因为四边形是正方形，
所以，
又面，面，
所以面．
组题过点作的平行线，
因为是等边三角形，以为原点，，，分别为轴，轴，轴，

所以，，，
，，
设平面的法向量，
所以，即，
解得令，则，，
所以平面的法向量，
因为平面平面，平面平面，
因为是等边三角形，
所以面，
取平面的法向量为，
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角为．
组题：证明：若，则为等边三角形，
又为中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，
由四边形为正方形，得，
所以面，
又面，
所以，
又因为，
，
所以面，
又因为面，
所以． 

【解析】根据题意可得，由线面平行的判定定理可得答案．
组题：过点作的平行线，以为原点，，，分别为轴，轴，轴，设平面的法向量，则，解得，，，可得平面的法向量，取平面的法向量为，设平面与平面所成锐二面角的平面角为，则，即可得出答案．
组题：若，则为等边三角形，则，由平面平面，可得面，又，由线面垂直的判定定理可得面，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

24.【答案】解：组题证明：由题知：，
，即得证；
由，得，则，
所以直线的方程为，即，
则直线，，
联立得，，
设，与轴交于，
则，
，
令，，
则，
易知时，，单减，
当时，，单增，
所以当时，．
组题时，，，
；
由，得，则，
所以直线的方程为，即，
则直线，，，，
是等腰直角三角形，
，，
所以． 

【解析】组题根据题意可得，由此可得证；
利用导数的几何意义表示出直线的方程，进一步表示出直线的方程，联立直线的方程与抛物线方程，根据根与系数的关系以及弦长公式可得，，再利用导数求出其最值即可．
组题根据题意可直接得到的坐标；
利用导数的几何意义表示出直线的方程，进一步表示出直线的方程，再根据是等腰直角三角形，即可得解．
本题考查数列与解析几何的综合，同时还涉及了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．