2023年甘肃省定西市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份2023年甘肃省定西市中考数学试卷（含答案解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年甘肃省定西市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）9的算术平方根是（　　）
A．±3 B．±9 C．3 D．﹣3
2．（3分）若＝，则ab＝（　　）
A．6 B． C．1 D．
3．（3分）计算：a（a+2）﹣2a＝（　　）
A．2 B．a2 C．a2+2a D．a2﹣2a
4．（3分）若直线y＝kx（k是常数，k≠0）经过第一、第三象限，则k的值可为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．﹣ D．2
5．（3分）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长于点E，则∠DEC＝（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
6．（3分）方程＝的解为（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝4
7．（3分）如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6
8．（3分）据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（　　）
年龄范围（岁）
人数（人）
90﹣91
25
92﹣93
■
94﹣95
■
96﹣97
11
98﹣99
10
100﹣101
m

A．该小组共统计了100名数学家的年龄
B．统计表中m的值为5
C．长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数最多
D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96﹣97岁的人数估计有110人
9．（3分）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（　　）

A．60° B．70° C．80° D．85°
10．（3分）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（　　）

A．（4，2） B．（4，4） C．（4，2） D．（4，5）
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）因式分解：ax2﹣2ax+a＝　 　．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，则c＝　 　（写出一个满足条件的值）．
13．（3分）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果．如由我国制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“+9050米”，那么海平面以下10907米记作“　 　．
14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝　 　°．

15．（3分）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6cm，则EF＝　 　cm．

16．（3分）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是 　 　米．（结果保留π）

三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（4分）计算：÷×2﹣6．
18．（4分）解不等式组：．
19．（4分）化简：﹣÷．
20．（6分）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在⊙O上逆时针方向顺次截取＝＝；
②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于⊙O上方点E；
③以点A为圆心，OE长为半径作弧交⊙O于G，H两点．即点A，G，D，H将⊙O的圆周四等分．

21．（6分）为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B．长征会师胜利之旅（会宁县）；C．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．
（1）求小亮从中随机抽到卡片A的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率．
22．（8分）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
课题
检测新生物到皮肤的距离
工具
医疗仪器等
示意图


说明
如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．
测量数据
∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（7分）某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用x表示，分成6个等级：A．x＜10；B．10≤x＜15；C．15≤x＜20；D．20≤x＜25；E．25≤x＜30；F．30≤x≤35）．下面给出了部分信息：
a．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如图：

b．八年级学生上学期期末地理成绩在C．15≤x＜20这一组的成绩是：15，15，15，15，15，16，16，16，18，18；
c．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：
学期
平均数
众数
中位数
八年级上学期
17.7
15
m
八年级下学期
18.2
19
18.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝　 　；
（2）若x≥25为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有 　 　人；
（3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．
24．（7分）如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a）．
（1）求点B的坐标；
（2）用m的代数式表示n；
（3）当△OAB的面积为9时，求一次函数y＝mx+n的表达式．

25．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为5，sinB＝时，求CE的长．

26．（8分）【模型建立】
（1）如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．
①求证：AE＝CD；
②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图2，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若AD＝4，BD＝3CD，求cos∠AFB的值．

27．（10分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B（4，﹣4），点C（0，﹣4）在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx的表达式；
（2）当BP＝2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由；
（3）如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．


2023年甘肃省定西市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（3分）9的算术平方根是（　　）
A．±3 B．±9 C．3 D．﹣3
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：9的算术平方根是3，
故选：C．
【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是熟练运用算术平方根的定义，本题属于基础题型．
2．（3分）若＝，则ab＝（　　）
A．6 B． C．1 D．
【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴ab＝6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．
3．（3分）计算：a（a+2）﹣2a＝（　　）
A．2 B．a2 C．a2+2a D．a2﹣2a
【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项得出答案．
【解答】解：原式＝a2+2a﹣2a
＝a2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了单项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）若直线y＝kx（k是常数，k≠0）经过第一、第三象限，则k的值可为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．﹣ D．2
【分析】正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．
【解答】解：∵直线y＝kx（k是常数，k≠0）经过第一、第三象限，
∴k＞0．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键．
5．（3分）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长于点E，则∠DEC＝（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD＝30°，再根据作图可知BD＝ED，进一步可得∠DEC的度数．
【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠DEC＝∠CBD＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
6．（3分）方程＝的解为（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x+2＝x，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是分式方程的解，
故原方程的解是x＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是关键．
7．（3分）如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6
【分析】由折叠可知∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，由同旁内角互补，两直线平行得AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD，由平行线的性质可得FH⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，再根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形可知四边形EFGH为菱形，最后利用菱形的面积公式计算即可求解．
【解答】解：如图，设EG与FH交于点O，

∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
根据折叠的性质可得，∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，
∴AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD，
∴FH⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，
∴四边形EFGH为菱形，
∴S菱形EFGH＝＝＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、菱形的面积公式，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解题关键．
8．（3分）据统计，数学家群体是一个长寿群体，某研究小组随机抽取了收录约2200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本，对数据进行整理与分析，统计图表（部分数据）如下，下列结论错误的是（　　）
年龄范围（岁）
人数（人）
90﹣91
25
92﹣93
■
94﹣95
■
96﹣97
11
98﹣99
10
100﹣101
m

A．该小组共统计了100名数学家的年龄
B．统计表中m的值为5
C．长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数最多
D．《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96﹣97岁的人数估计有110人
【分析】根据统计表和扇形统计图给出的数据分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、该小组共统计的人数为：10÷10%＝100（人），故不符合题意；
B、统计表中m的值为100×5%＝5（人），故不符合题意；
C、长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数为100×35%＝35，长寿数学家年龄在94﹣95岁的人数为100×14%＝14（人），所以长寿数学家年龄在92﹣93岁的人数最多，故不符合题意；
D、《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96﹣97岁的人数估计有2200×＝242（人），故符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了统计表和用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
9．（3分）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（　　）

A．60° B．70° C．80° D．85°
【分析】根据BM⊥CD，得∠CBM＝90°，所以∠ABE+∠FBM＝40°，再根据∠ABE＝∠FBM，得∠ABE＝∠FBM＝20°，即可得∠EBC＝20°+50°＝70°．
【解答】解：如图，

∵BM⊥CD，
∴∠CBM＝90°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∵∠ABE＝∠FBM，
∴∠ABE＝∠FBM＝20°，
∴∠EBC＝20°+50°＝70°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂线和角的计算，解题的关键是熟练掌握垂线的性质等知识．
10．（3分）如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（　　）

A．（4，2） B．（4，4） C．（4，2） D．（4，5）
【分析】根据图2确定M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，然后求值即可．
【解答】解：由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大，
当点P在边BC上时，y的值逐渐减小，
∴M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，
∵AB＝4，EC＝ED＝AB＝×4＝2，
∴BE＝＝＝2，
∴M（4，2），
故选：C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定M点的坐标与正方形的边之间的关系．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（3分）因式分解：ax2﹣2ax+a＝　a（x﹣1）2　．
【分析】直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式．
【解答】解：ax2﹣2ax+a
＝a（x2﹣2x+1）
＝a（x﹣1）2．
故答案为：a（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，则c＝　0（答案不唯一）　（写出一个满足条件的值）．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝4﹣16c＞0，解之即可得出c的取值范围，任取其内的一个数即可．
【解答】解：∵方程x2+2x+4c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣16c＞0，
解得：c＜．
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
13．（3分）近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果．如由我国制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“+9050米”，那么海平面以下10907米记作“　﹣10907米　．
【分析】根据正数与负数的实际意义即可得出答案．
【解答】解：∵海平面以上9050米记作“+9050米”，
∴海平面以下10907米记作“﹣10907米”，
故答案为：﹣10907米．
【点评】本题考查正数与负数的实际意义，正数和负数是一对具有相反意义的量，此为基础知识点，必须熟练掌握．
14．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠CDB＝55°，则∠ABC＝　35　°．

【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠D＝55°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝35°，
故答案为：35．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形的外心的定义与性质．也考查了圆周角定理．
15．（3分）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6cm，则EF＝　2．　cm．

【分析】连接BD交AC于O，则AO＝CO，BO＝OD 根据菱形的性质得到AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD，求得BD＝AB＝6cm，根据勾股定理得到AC＝2AO＝2×＝6（cm），求得AE＝CF，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：连接BD交AC于O，
则AO＝CO，BO＝OD
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝30°，
∴BD＝AB＝6cm，
∴AO＝＝3（cm），
∴AC＝2AO＝6（cm），
∵BE⊥AB，DF⊥CD，
∴∠CDF＝∠ABE＝90°，
∴△CDF≌△ABE（ASA），
∴AE＝CF，
∵AE＝CF＝（cm），
∴EF＝AE+CF﹣AC＝2（cm），
故答案为：2．

【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16．（3分）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A处（舀水）转动到B处（倒水）所经过的路程是 　5π　米．（结果保留π）

【分析】根据弧长公式直接代入数值求解．
【解答】解：＝（米）．
故答案为：5π．
【点评】本题主要考查了学生对弧长公式的掌握情况，难度不大，认真计算即可．
三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（4分）计算：÷×2﹣6．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案．
【解答】解：原式＝3××2﹣6
＝12﹣6
＝6．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（4分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由x＞﹣6﹣2x得：x＞﹣2，
由x≤得：x≤1，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（4分）化简：﹣÷．
【分析】根据分式的混合运算法则，先算乘除再算加减，进而得出答案．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
20．（6分）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在⊙O上逆时针方向顺次截取＝＝；
②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于⊙O上方点E；
③以点A为圆心，OE长为半径作弧交⊙O于G，H两点．即点A，G，D，H将⊙O的圆周四等分．

【分析】根据题中的步骤作图．
【解答】解：如图：点G、D、H即为所求．

【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握圆心角、弧及弦的关系是解题的关键、．
21．（6分）为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A．南梁精神红色记忆之旅（华池县）；B．长征会师胜利之旅（会宁县）；C．西路军红色征程之旅（高台县），且每人只能选择一条线路．小亮和小刚两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小亮先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小刚再从中随机抽取一张卡片．
（1）求小亮从中随机抽到卡片A的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片C的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小亮从中随机抽到卡片A的概率为；
（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中小亮和小刚两人都抽到卡片C的结果有1种，
∴两人都抽到卡片C的概率是．
【点评】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
课题
检测新生物到皮肤的距离
工具
医疗仪器等
示意图


说明
如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．
测量数据
∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）
（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【分析】过点A作AF⊥MN，垂足为F，设BF＝xcm，则CF＝（x+9）cm，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AF⊥MN，垂足为F，

设BF＝xcm，
∵BC＝9cm，
∴CF＝BC+BF＝（x+9）cm，
在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°，
∴AF＝BF•tan35°≈0.7x（cm），
在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°，
∴AF＝CF•tan22°≈0.4（x+9）cm，
∴0.7x＝0.4（x+9），
解得：x＝12，
∴AF＝0.7x＝8.4（cm），
∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（7分）某校八年级共有200名学生，为了解八年级学生地理学科的学习情况，从中随机抽取40名学生的八年级上、下两个学期期末地理成绩进行整理和分析（两次测试试卷满分均为35分，难度系数相同；成绩用x表示，分成6个等级：A．x＜10；B．10≤x＜15；C．15≤x＜20；D．20≤x＜25；E．25≤x＜30；F．30≤x≤35）．下面给出了部分信息：
a．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的统计图如图：

b．八年级学生上学期期末地理成绩在C．15≤x＜20这一组的成绩是：15，15，15，15，15，16，16，16，18，18；
c．八年级学生上、下两个学期期末地理成绩的平均数、众数、中位数如下：
学期
平均数
众数
中位数
八年级上学期
17.7
15
m
八年级下学期
18.2
19
18.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝　16　；
（2）若x≥25为优秀，则这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有 　35　人；
（3）你认为该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有没有提高？请说明理由．
【分析】（1）根据中位数的定义可得m的值；
（2）用200乘样本中下学期期末地理成绩达到优秀的学生所占比例即可；
（3）比较平均数、众数和中位数可得答案．
【解答】解：（1）把八年级上学期40名学生的地理成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为16，16，故中位数m＝＝16．
故答案为：16；
（2）200×＝35（人），
即这200名学生八年级下学期期末地理成绩达到优秀的约有35人．
故答案为：35；
（3）该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有提高，理由如下：
因为该校八年级学生的期末地理成绩下学期的平均数、众数和中位数均比上学期大，所以该校八年级学生的期末地理成绩下学期比上学期有提高．
【点评】本题考查条形统计图，样本估计总体的思想，中位数，众数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（7分）如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a）．
（1）求点B的坐标；
（2）用m的代数式表示n；
（3）当△OAB的面积为9时，求一次函数y＝mx+n的表达式．

【分析】（1）由反比例函数的解析式即可求得的B的坐标；
（2）把B（3，2）代入y＝mx+n即可求得用m的代数式表示n的式子；
（3）利用三角形面积求得n的值，进一步求得m的值．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点B（3，a），
∴a＝＝2，
∴点B的坐标为（3，2）；
（2）∵一次函数y＝mx+n的图象过点B，
∴2＝3m+n，
∴n＝2﹣3m；
（3）∵△OAB的面积为9，
∴，
∴n＝6，
∴A（0，﹣6），
∴﹣6＝2﹣3m，
∴m＝，
∴一次函数的表达式是y＝x﹣6．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知函数图象上点的坐标特征满足解析式是解题的关键．
25．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为E，AB与CD相交于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）当⊙O的半径为5，sinB＝时，求CE的长．

【分析】（1）根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明；
（2）根据三角函数的意义及勾股定理求解．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，
∴∠E＝90°，
∵CO平分∠BCD，
∴∠OCB＝∠OCD，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO＝∠D，
∴∠D＝∠OCD，
∴OC∥DE，
∴∠OCE＝∠E＝90°，
∵OC是圆的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵sinB＝＝，
∴AC＝6，
∵∠OCE＝∠ACO+∠OCB＝∠ACO+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝∠OCB＝∠B，
∴sin∠ACE＝sinB＝＝，
解得：AE＝3.6，
∴CE＝＝4.8．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，掌握三角函数的意义及勾股定理是解题的关键．
26．（8分）【模型建立】
（1）如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．
①求证：AE＝CD；
②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图2，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若AD＝4，BD＝3CD，求cos∠AFB的值．

【分析】（1）①根据△ABC和△BDE都是等边三角形推出判定△ABE和△CBD全等，然后根据全等三角形的对应边相等即可得证；
②根据等边三角形的性质和对称的性质即可推出线段AD，BD，DF的数量关系；
（2）过点B作BE⊥AD于E，根据等腰直角三角形的性质推出判定△ABE∽△CBD，然后根据等腰直角三角形的性质和对称性即可推出线段AD，BD，DF的数量关系；
（3）过点A作AG⊥BD于G，推出△ADG是等腰直角三角形，求出AG、FG、AF的长后即可求出cos∠AFB的值．
【解答】（1）证明：①∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD；
②解：AD＝BD+DF．
理由如下：
∵△BDE是等边三角形，
∴BD＝DE，
∵点C与点F关于AD对称，
∴CD＝DF，
∵AD＝AE+DE，
∴AD＝BD+DF；
（2）BD+DF＝AD．
理由如下：
如图1，过点B作BE⊥AD于E，

∵点C与点F关于AD对称，
∴∠ADC＝∠ADB，
又∵CD⊥BD，
∴∠ADC＝∠ADB＝45°，
又∵BE⊥AD，
∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴，∠ABC＝∠EBD＝45°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴，CD＝DF，
∴DF＝AE，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝，
∴BD+DF＝，
即：BD+DF＝AD．
（3）解：如图2，过点A作AG⊥BD于G，

又∵∠ADB＝45°，
∴△AGD是等腰直角三角形，
又∵AD＝4，
∴AG＝DG＝4，BD+DF＝AD＝8，
∵BD＝3CD，CD＝DF，
∴DF＝2，
又∵DG＝4，
∴FG＝DG﹣DF＝2，
在Rt△AFG中，由勾股定理得：，
∴cos∠AFB＝．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，深入理解题意是解决问题的关键．
27．（10分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx与x轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B（4，﹣4），点C（0，﹣4）在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx的表达式；
（2）当BP＝2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由；
（3）如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．

【分析】（1）利用待定系数法将B点坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx中，即可求解．
（2）作辅助线，根据题意，求出PD的长，PD＝OC，PD∥OC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．
（3）作出图，证明△CBP≌△MOQ（SAS），CP+BQ的最小值为MB，根据勾股定理求出MB即可解答．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx过点B（4，﹣4），
∴﹣16﹣4b＝﹣4，
∴b＝3，
∴y＝﹣x2+3x．
答：抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x．
（2）四边形OCPD是平行四边形，理由如下：
如图1，作PD⊥OA交x轴于点H，连接PC、OD，

∵点P在y＝﹣x上，
∴OH＝PH，∠POH＝45°，
连接BC，
∵OC＝BC＝4，
∴．
∴，
∴，
∴，
当xD＝2时，DH＝yD＝﹣4+3×2＝2，
∴PD＝DH+PH＝2+2＝4，
∵C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∴PD＝OC，
∵OC⊥x轴，PD⊥x轴，
∴PD∥OC，
∴四边形OCPD是平行四边形．
（3）如图2，由题意得，BP＝OQ，连接BC，

在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ＝45°，OM＝BC，
∵OC＝BC＝4，BC⊥OC，
∴∠CBP＝45°，
∴∠CBP＝∠MOQ，
∵BP＝OQ，∠CBP＝∠MOQ，BC＝OM，
∴△CBP≌△MOQ（SAS），
∴CP＝MQ，
∴CP+BQ＝MQ+BQ≥MB（当M，Q，B三点共线时最短），
∴CP+BQ的最小值为MB，
∵∠MOB＝∠MOQ+∠BOQ＝45°+45°＝90°，
∴，
即CP+BQ的最小值为4．
答：CP+BQ的最小值为4．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/6/22 17:11:16；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557