统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练36基本不等式理

这是一份统考版2024版高考数学一轮复习微专题小练习专练36基本不等式理，共5页。

[基础强化]
一、选择题
1．函数y＝2x＋ eq \f(2,2x)的最小值为( )
A．1 B．2
C．2 eq \r(2) D．4
2．若a>0，b>0且2a＋b＝4，则 eq \f(1,ab)的最小值为( )
A．2 B． eq \f(1,2)
C．4 D． eq \f(1,4)
3．下列结论正确的是( )
A．当x>0且x≠1时，lg x＋ eq \f(1,lg x)≥2
B．当x∈(0， eq \f(π,2)]时，sin x＋ eq \f(4,sin x)的最小值为4
C．当x>0时， eq \r(x)＋ eq \f(1,\r(x))≥2
D．当04．若lg4(3a＋4b)＝lg2 eq \r(ab)，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 eq \r(3) B．7＋2 eq \r(3)
C．6＋4 eq \r(3) D．7＋4 eq \r(3)
5．若x>0，y>0，x＋2y＝1，则 eq \f(xy,2x＋y)的最大值为( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,5)
C． eq \f(1,9) D． eq \f(1,12)
6．[2023·福建宁德模拟]已知点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点).若 eq \(AE,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AC,\s\up6(→))，则 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)的最小值为( )
A．4 B．6
C．8 D．9
7．[2023·安徽淮北一模]函数f(x)＝lga(2x－1)＋1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－2＝0上，其中m(n－1)＞0，则 eq \f(1,m)＋ eq \f(4,n－1)的最小值为( )
A．2 eq \r(3) B．3 eq \r(2)
C．8 D．9
8．[2023·河南安阳模拟]已知a，b为正实数，且a＋b＝6＋ eq \f(1,a)＋ eq \f(9,b)，则a＋b的最小值为( )
A．6 B．8
C．9 D．12
9．[2023·安徽马鞍山三模]若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg (a＋3b)，则a＋b的最小值为( )
A．4 eq \r(3) B．4＋2 eq \r(3)
C．6 D. 3＋3 eq \r(3)
二、填空题
10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋ eq \f(1,8b)的最小值为________.
11．[2023·江西九江一模]若a，b为正实数，直线2x＋(2a－4)y＋1＝0与直线2bx＋y－2＝0互相垂直，则ab的最大值为________．
12．[2023·浙江绍兴模拟]若直线ax－by－3＝0(a＞0，b＞0)过点(1，－1)，则 eq \r(a＋1)＋ eq \r(b＋2)的最大值为________．
[能力提升]
13．若a，b都是正数，则(1＋ eq \f(b,a))(1＋ eq \f(4a,b))的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
14．若对于任意的x>0，不等式 eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．a≥ eq \f(1,5) B．a> eq \f(1,5)
C．a< eq \f(1,5) D．a≤ eq \f(1,5)
15．[2023·宁夏石嘴山市三模]设复数z＝a＋bi(a，b＞0，a，b∈R)，若复数z(1＋i)对应的点在直线x＋3y－2＝0上， 则 eq \f(2,a)＋ eq \f(1,b)的最小值为________．
16．[2023·安徽淮南一模]我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y(单位：万元)与处理量x(单位：吨)(x∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为
y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x3－80x2＋5 040x，x∈[120，144）,\f(1,2)x2－200x＋80 000，x∈[144，500]))，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少( )
A．120 B．200
C．240 D．400
专练36 基本不等式
1．C 因为2x>0，所以y＝2x＋ eq \f(2,2x)≥2 eq \r(2x·\f(2,2x))＝2 eq \r(2)，当且仅当2x＝ eq \f(2,2x)，即x＝ eq \f(1,2)时取“＝”．故选C.
2．B ∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2 eq \r(2ab)(当且仅当2a＝b，即：a＝1，b＝2时等号成立)，∴03．C 当x∈(0，1)时，lg x<0，故A不成立，对于B中sin x＋ eq \f(4,sin x)≥4，当且仅当sin x＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B不正确；D中y＝x－ eq \f(1,x)在(0，2]上单调递增，故当x＝2时，y有最大值，故D不正确；又 eq \r(x)＋ eq \f(1,\r(x))≥2 eq \r(\r(x)·\f(1,\r(x)))＝2(当且仅当 eq \r(x)＝ eq \f(1,\r(x))即x＝1时等号成立).故C正确．
4．D 由lg4(3a＋4b)＝lg2 eq \r(ab)，得3a＋4b＝ab，且a>0，b>0，∴a＝ eq \f(4b,b－3)，由a>0，得b>3.∴a＋b＝b＋ eq \f(4b,b－3)＝b＋ eq \f(4（b－3）＋12,b－3)＝(b－3)＋ eq \f(12,b－3)＋7≥2 eq \r(12)＋7＝4 eq \r(3)＋7，即a＋b的最小值为7＋4 eq \r(3).
5．C x＋2y＝1⇒y＝ eq \f(1－x,2)，则 eq \f(xy,2x＋y)＝ eq \f(x－x2,3x＋1).
∵x>0，y>0，x＋2y＝1，
∴0设3x＋1＝t(1原式＝ eq \f(－t2＋5t－4,9t)＝ eq \f(5,9)－( eq \f(t,9)＋ eq \f(4,9t))≤ eq \f(5,9)－2 eq \r(\f(4,81))＝ eq \f(1,9)，
当且仅当 eq \f(t,9)＝ eq \f(4,9t)，即t＝2，x＝ eq \f(1,3)，y＝ eq \f(1,3)时，取等号，则 eq \f(xy,2x＋y)的最大值为 eq \f(1,9)，故选C.
6．C 由题意得：点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点)，则由共线向量定理可知：
设 eq \(BE,\s\up6(→))＝λ eq \(BD,\s\up6(→))(0＜λ＜1)，
∵ eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋λ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋λ( eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(λ,2) eq \(AC,\s\up6(→))，
∴x＝1－λ，y＝ eq \f(λ,2)(x＞0，y＞0)，
∴ eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)＝ eq \f(2,1－λ)＋ eq \f(2,λ)＝( eq \f(2,1－λ)＋ eq \f(2,λ))[(1－λ)＋λ]＝4＋ eq \f(2λ,1－λ)＋ eq \f(2（1－λ）,λ)≥4＋2 eq \r(\f(2λ,1－λ)·\f(2（1－λ）,λ))＝8，
当且仅当 eq \f(2λ,1－λ)＝ eq \f(2（1－λ）,λ)，即λ＝ eq \f(1,2)时取等号，故 eq \f(2,x)＋ eq \f(1,y)的最小值为8.
7．D 由2x－1＝1得x＝1，即f(1)＝1，故A(1，1)，因为点A在直线mx＋ny－2＝0上，m(n－1)＞0，所以m＋(n－1)＝1，且m＞0，n－1＞0. eq \f(1,m)＋ eq \f(4,n－1)＝(m＋n－1)( eq \f(1,m)＋ eq \f(4,n－1))＝5＋ eq \f(n－1,m)＋ eq \f(4m,n－1)≥5＋2 eq \r(\f(n－1,m)·\f(4m,n－1))＝9，当且仅当n－1＝2m＝ eq \f(2,3)时，等号成立．
8．B 由题意，可得(a＋b)2＝(6＋ eq \f(1,a)＋ eq \f(9,b))(a＋b)＝6(a＋b)＋10＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(9a,b)≥6(a＋b)＋16，
则有(a＋b)2－6(a＋b)－16≥0，解得a＋b≥8，
当且仅当a＝2，b＝6取到最小值8.
9．B 由lg a＋lg b＝lg (a＋3b)⇒lg (ab)＝lg (a＋3b)⇒ab＝a＋3b⇒a＝ eq \f(3b,b－1)，
因为a＞0，b＞0，所以b－1＞0，即b＞1，
所以a＋b＝ eq \f(3b,b－1)＋b＝ eq \f(3,b－1)＋(b－1)＋4≥2 eq \r(\f(3,b－1)·（b－1）)＋4＝4＋2 eq \r(3)，
当且仅当 eq \f(3,b－1)＝b－1时取等号，即b＝ eq \r(3)＋1时取等号．
10. eq \f(1,4)
解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴ 2a＋ eq \f(1,8b)＝2a＋2－3b≥2 eq \r(2a·2－3b)＝2 eq \r(2a－3b)＝2 eq \r(2－6)＝ eq \f(1,4).当且仅当2a＝2－3b，即a＝－3，b＝1时，2a＋ eq \f(1,8b)取得最小值为 eq \f(1,4).
11. eq \f(1,2)
解析：由两直线垂直得4b＋2a－4＝0，即2＝a＋2b≥2 eq \r(2ab)，ab≤ eq \f(1,2)，
当且仅当a＝1，b＝ eq \f(1,2)时，等号成立，故ab的最大值为 eq \f(1,2).
12．2 eq \r(3)
解析：直线ax－by－3＝0过点(1，－1)，则a＋b＝3，
又a＞0，b＞0，设t＝ eq \r(a＋1)＋ eq \r(b＋2)，则t＞0，
t2＝a＋1＋b＋2＋2 eq \r(（a＋1）（b＋2）)
＝6＋2 eq \r(（a＋1）（b＋2）)，
由(a＋1)(b＋2)≤( eq \f(a＋1＋b＋2,2))2＝9，当且仅当a＋1＝b＋2，即a＝2，b＝1时等号成立．
所以t2＝6＋2 eq \r(（a＋1）（b＋2）)≤12，即t≤2 eq \r(3)，
所以 eq \r(a＋1)＋ eq \r(b＋2)的最大值为2 eq \r(3)，当且仅当a＝2，b＝1时等号成立．
13．C (1＋ eq \f(b,a))(1＋ eq \f(4a,b))＝5＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(4a,b)≥5＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9(当且仅当 eq \f(b,a)＝ eq \f(4a,b)即b＝2a时等号成立).
14．A ∵ eq \f(x,x2＋3x＋1)＝ eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)，∵x>0，∴x＋ eq \f(1,x)≥2(当且仅当x＝ eq \f(1,x)即x＝1时等号成立)，
∴ eq \f(x,x2＋3x＋1)≤ eq \f(1,5)，由题意得a≥ eq \f(1,5).
15．9
解析：z(1＋i)＝(a＋bi)(1＋i)＝(a－b)＋(a＋b)i，
故复数对应的点的坐标为(a－b，a＋b)，又因为点在直线x＋3y－2＝0上
∴(a－b)＋3(a＋b)－2＝0，整理得：2a＋b＝1，
eq \f(2,a)＋ eq \f(1,b)＝( eq \f(2,a)＋ eq \f(1,b))(2a＋b)＝5＋ eq \f(2b,a)＋ eq \f(2a,b)≥5＋2 eq \r(\f(2b,a)·\f(2a,b))＝9，
当且仅当 eq \f(2b,a)＝ eq \f(2a,b)时，即a＝b 时等号成立，即 eq \f(2,a)＋ eq \f(1,b)的最小值为9.
16．D 由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为S＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x2－80x＋5 040，x∈[120，144）,\f(1,2)x－200＋\f(80 000,x)，x∈[144，500]))，
当x∈[120，144)时，S＝ eq \f(1,3)x2－80x＋5 040＝ eq \f(1,3)(x－120)2＋240，
当x＝120时，S取得最小值240，
当x∈[144，500]时，S＝ eq \f(1,2)x＋ eq \f(80 000,x)－200≥2 eq \r(\f(1,2)x·\f(80 000,x))－200＝200，
当且仅当 eq \f(1,2)x＝ eq \f(80 000,x)，即x＝400时取等号，此时S取得最小值200，
综上，当每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元．