2023年山东省聊城市冠县中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年山东省聊城市冠县中考二模数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省聊城市冠县中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．对于一个实数，如果它的倒数不存在，那么等于（    ）
A． B． C． D．
2．下面几何图形的俯视图是（  ）
  
A．   B．   C．   D．  
3．下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列事件中，属于确定事件的是（　　）
①抛出的篮球会下落；②从装有黑球、白球的袋中摸出红球；③14人中至少有2人是同月出生；④买一张彩票，中1000万大奖．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
5．如图，直线，，，那么的度数是（　　）

A． B． C． D．
6．如图，一块等腰直角三角板，它的斜边，内部的各边与的各边分别平行，且它的斜边，则的面积与阴影部分的面积比为（    ）

A． B． C． D．
7．如图，内接于，，，则等于（    ）

A． B． C． D．
8．已知等腰的边是方程的根，则的周长为（　　）
A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15
9．如图，在正方形中，按如下步骤作图：①连接，相交于A点O；②分别以点B，C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③连接交于点F；④连接交于点G．若，则的长度为（　　）
  
A．1 B．2 C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴负半轴和轴正半轴上，点在上，，连接，过点作交的延长线于．若，则的值是（ ）

A． B．3 C． D．2
11．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与x轴的一个交点，直线与抛物线交于A、B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④方程有两个相等的实数根；⑤当时，有，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．①④
12．课本中有这样一句话：“利用勾股定理，可以作出，，，…的线段（如图）．”记，，…，的内切圆的半径分别为，，…，，若，则的值是（    ）

A．24 B．25 C．26 D．27

二、填空题
13．二次根式中x的取值范围是_____．
14．从0，，，，五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是有理数的概率为______．
15．一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为______________
16．如图，在Rt中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的长为______．

17．如图，点A，B是半径为2的上的两点，且，则下列说法正确的是______．
①圆心O到的距离为1．
②在圆上取异于A，B的一点C，则面积的最大值为．
③以为边向上作正方形，与的公共部分的面积为．
④取的中点C，当绕点O旋转一周时，点C运动的路线长为．


三、解答题
18．解方程：．
19．为庆祝党的二十大胜利召开，某学校开展了一系列学习党史的活动，并开展了党史相关的知识测试．为了解七、八年级学生的测试成绩，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
【收集数据】：
从七、八两个年级各随机抽取了20名学生的测试成绩（百分制）如下：
七年级：73，82，75，89，93，96，76，84，85，85，90，90，98，77，65，90，87，90，95，98；
八年级；67，88，92，93，99，83，80，75，72，91，92，92，95，94，85，85，92，69，88，96；
[整理、描述数据]：
对上述数据进行分段整理如下：
成绩x
人数
年级




七年级
1
4
6
9
八年级
2
2
6
10
【分析数据】：
两个年级测试成绩的平均数、中位数、众数如下：

平均数
中位数
众数
七年级

a
90
八年级


b
根据以上信息，回答下列问题：
(1)a＝　 　，b＝　 　．
(2)小明是该校八年级的学生，他本次测试成绩为87分，小明说：“因为我的成绩高于我们年级的平均数．所以我的成绩高于我们年级一半学生的成绩．“请你判断小明的话是否正确，并说明理由．
(3)若测试成绩不少于90分记为优秀，请你估计七年级学生本次测试成绩的优秀率，并给七年级的老师提出一条建议．
20．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E．

(1)求证；四边形BCDE是菱形；
(2)若AB=5，E为AC的中点，当BC的长为______时，四边形BCDE是正方形．
21．如图，是某时刻太阳光线，光线与地面的夹角为小星身高米．

(1)若小星正站在水平地面上处时，那么他的影长为多少米？
(2)若小星来到一个倾斜角为的坡面底端处，当他在坡面上至少前进多少米时，他的影子恰好都落在坡面上？
22．我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？
23．为预防流感，学校对教室采取药熏法消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例函数关系，药物燃烧完后，y与x成反比例函数关系（如图所示）．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6毫克．研究表明：①当空气中每立方米含药量低于毫克时学生方可进教室；②当空气中每立方米含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．

依据信息，解决下列问题：
(1)从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？
(2)你认为此次消毒是否有效？并说明理由．
24．如图，是的直径，点是上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为，交于点E，且平分∠DAB．

(1)求证：直线是的切线；
(2)连接BC，若BC＝3，AC＝4，求AE的长．
25．已知二次函数图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且．

(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；
(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．D
【分析】根据倒数的定义解答即可．
【详解】解：∵实数的倒数不存在，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查倒数的定义：两个数的乘积是，则它们互为倒数，没有倒数．理解倒数的意义是解题的关键．
2．B
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：该几何体的俯视图如图所示：  ．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，熟知从上面看得到的图形是俯视图是解题的关键．
3．B
【分析】根据有理数的乘方判断A选项；根据幂的乘方和积的乘方判断B选项；根据积的乘方判断C选项；根据负整数指数幂判断D选项．
【详解】解：A选项，，故该选项不符合题意；
B选项，原式，故该选项符合题意；
C选项，原式，故该选项不符合题意；
D选项，原式，故该选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，幂的乘方和积的乘方，负整数指数幂，掌握是解题的关键．
4．C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：①抛出的篮球会下落，是必然事件，属于确定事件；
②从装有黑球、白球的袋中摸出红球，是不可能事件，属于确定事件；
③14人中至少有2人是同月出生，是必然事件，属于确定事件；
④买一张彩票，中1000万大奖，是随机事件；
属于确定事件的是①②③，
故选：C．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．C
【分析】由两直线平行同位角相等得到，再由与垂直，利用垂直的定义得到为直角，得到与互余，由的度数求出的度数．
【详解】解：∵直线，
∴，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
故选：C．

【点睛】此题考查了平行线的性质，垂直定义、直角三角形的两个锐角互余，熟知平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
6．C
【分析】根据已知把向两边延长，交于点，交于点，先证明，然后求出它们的面积比即可解答．
【详解】解：把向两边延长，交于点，交于点，

，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
的面积与阴影部分的面积比为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据题目已知条件并结合图形添加适当的辅助线．
7．B
【分析】如图所示，连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，则由圆周角定理得到，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选B．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角和三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
8．D
【分析】利用因式分解法求方程的两个根分别是2和5，结合三角形的三边关系和等腰三角形的性质进行分类讨论即可．
【详解】解：∵
∴
解得：，，
∵等腰的边为：2和5，
∴当腰长为2，底边为5时，不符合三角形的三边关系定理，
当腰长为5，底边为2时，的周长为：，
当边长都为2时，的周长为：，
当边长都为5时，的周长为：，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和三角形的三边关系是解题的关键．
9．C
【分析】证明，，求出，然后根据三角形的中位线和平行线分线段成比例可得结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
由作图可知垂直平分线段，∴，又，
∴，，
∴，∴．
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、正方形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．B
【分析】根据，证明出，得到，过点P作轴于点Q，根据，得到，根据平行线分线段成比例定理得到，根据，得到，得到，根据正切的定义即可求解．
【详解】解：如图，过点P作轴于点Q，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得到是解题的关键．
11．B
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
【详解】解：①∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，故①正确；
②∵抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，
∴，，∴，∴，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点，
∴另一个交点坐标为，故③错误；
④从图象可以知道，抛物线顶点为，
∴抛物线与直线有且只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，故④正确；
⑤由图象可知，当时，，故⑤正确；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合．
12．A
【分析】利用勾股定理分别求出各边长，进而得出内切圆半径长的规律，再列方程求解进而得出答案．
【详解】解：设内切圆的圆心分别为设与的三边相切于点，如图，

则四边形为正方形，

又，
，
，
同样，在中，四边形为正方形，

又，
，

同理，，
，


则，
，
，




经检验，是增根，是原方程的根，
∴的值是24，
故选：A
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及求三角形内切圆半径，解题的关键是得到三角形内切圆半径长的规律：．
13．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
14．/
【分析】先找出有理数的个数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：在0，，，，这五个数中，有理数有0，，这3个，
∴抽出的数是有理数的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了概率公式，正确得出有理数的个数是解题关键．
15．
【分析】先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：设扇形的半径为r，则
解得：
∴扇形的面积
故答案为：．
【点睛】本题考查弧长公式以及扇形的面积公式，熟记公式内容是解题的关键．
16．3
【分析】利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到点D到和的距离相等，则利用三角形面积公式得到，而，所以，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
【详解】解：由作法得平分，∴点D到和的距离相等，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和勾股定理、三角形的面积．
17．①③④
【分析】由垂径定理，勾股定理求出OH＝1，延长HO交圆于C，即可求出的最大面积，当AB绕点O旋转一周时，点C运动的路线是以O为圆心半径是1的圆，即可求出C运动的路线长，以AB为边向上作正方形，与的公共部分的面积＝扇形OPQ的面积＋的面积×3，于是可以得到答案．
【详解】解：如图①，作于H，

∴，
∵，
∴，
故①正确，符合题意；
如图①,延长交圆于C，此时的面积最大，
∵，，
∴的面积，
故②错误，不符合题意；
如图②，四边形是正方形，连接，作于K，

∴的面积，
∵，
∴的面积＝的面积＝的面积＝，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴扇形的面积，
∴以为边向上作正方形，与的公共部分的面积＝扇形的面积+的面积，
故③正确，符合题意；
取的中点C，连接，
  
∵，
∴，
∴，
∴当绕点O旋转一周时，点C运动的路线是以O为圆心半径是1的圆，
∴C运动的路线长是，
故④正确，符合题意；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，三角形面积的计算，垂径定理，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
18．
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则把原方程变形，利用配方法解出方程．
【详解】解：原方程变形为：，
∴，即，
，
，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
19．(1)88；92
(2)小明的话错误，理由见解析
(3)，建议见解析

【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据中位数的意义解答即可；
（3）利用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：把七年级20名学生的测试成绩从小到大排列为65，73，75，76，77，82，84，85，85，87，89，90，90，90，90，93，95，96，98，98；
所以排在中间的两个数是87，89，故中位数；
八年级20名学生的测试成绩中92出现的次数最多，故众数；
故答案为：88；92；
（2）小明的话错误，理由如下：
因为小明本次测试成绩为87分，低于中位数，
所以小明的成绩低于我们年级一半学生的成绩；
（3）七年级学生本次测试成绩的优秀率为：；
建议七年级的学生加强学习党史（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了用样本估计总体以及众数、中位数的定义，众数是数据中出现次数最多的数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
20．(1)见解析
(2)当BC的长为时，四边形BCDE是正方形．理由见解析

【分析】（1）先判断出△ABC≌△ADC，得到∠BAO=∠DAO，推出AC⊥BD，BO=DO，再证明△EBO≌△CDO，即可得出结论；
（2）根据题意设OE=OC=a，则AE=EC=2a，OA=3a，在Rt△OBA中，求得OB2=25-9a2，
根据正方形的性质得到a2=，在Rt△OBC中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAO=∠DAO，
∵AB=AD，
∴AC⊥BD，BO=DO，
∵BE∥CD，
∴∠BEO=∠DCO，∠EBO=∠CDO，
∴△EBO≌△CDO，
∴BE=CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形BCDE是菱形；
（2）解：当BC的长为时，四边形BCDE是正方形．理由如下：
∵四边形BCDE是菱形，
∴OB=OD，OE=OC，EC⊥BD，
∵E为AC的中点，∴AE=EC，
设OE=OC=a，则AE=EC=2a，OA=3a，
在Rt△OBA中，OB2=AB2-AO2= 52-(3a)2=25-9a2，　
∵四边形BCDE是正方形，
∴OB=OC，
∴25-9a2=a2，
∴a2=，
在Rt△OBC中，BC2=OB2+CO2= 25-9a2+a2=25-8×=5，
∴BC=(负值已舍)，
∴当BC的长为时，四边形BCDE是正方形．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．(1)小星在处的影子为米；
(2)当他在坡面上至少前进米时，他的影子恰好都落在坡面上．

【分析】直接利用太阳光线与地面成角得到等腰直角三角形，然后利用等腰三角形的两直角边相等求得影长即可；
利用斜坡的坡度的值得到，然后设米，则米，从而得，最后在中利用得到，从而列出关于的方程求解即可．
【详解】（1）解：如图：由题意得： 米，，

∴ 米，
答：小星在处的影子为米．
（2）解：∵，
设米，则米，
∴米，
∴米，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴小星在斜坡上的影子为：，即 ，
答：当他在坡面上至少前进米时，他的影子恰好都落在坡面上．
【点睛】本题考查了解直角三角形的坡度坡角问题解直角三角形的应用，根据题意画出直角三角形是解题的关键．
22．(1)购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元；
(2)共有3种购买方案；方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．
(3)方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵

【分析】（1）设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）比较各方案即可得答案．
【详解】（1）解：设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，
依题意得，
解得
答：购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元．
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵，
依题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为51，52，53，
∴共有3种购买方案，
方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；
方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；
方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵．
（3）方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；元，
方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；元，
方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵.元，
∴购进A种树苗51棵，B种树苗49棵最省钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
23．(1)从消毒开始30需要经过钟后，学生才能回到教室．
(2)此次消毒有效．理由见解析

【分析】（1）分别求出正比例函数和反比例函数解析式，再在反比例函数中求出当时x的值即可得到答案；
（2）分别在正比例函数和反比例函数中求出当时，x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：设对应的正比例函数解析式为，反比例函数解析式为，
∴，
∴，
∴正比例函数解析式为，反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∵，
∴在中，y随x增大而减小，
∴从消毒开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室；
（2）解：此次消毒有效，理由如下：
在中，当时，，
在中，当时，，
∵，
∴此次消毒有效．
【点睛】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)

【分析】（1）如图所示，连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，则，由，可证，即可证明直线是的切线；
（2）先求出，利用勾股定理求出，证明∽求出，利用勾股定理求出，，则．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，

∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵点在上，
∴直线是的切线；
（2）解：如图所示，连接，由（1）得，

∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，，
∴∽，
∴，即，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
25．(1)
(2)1
(3)，，

【分析】（1）二次函数与y轴交于点，判断，根据，即二次函数对称轴为，求出b的值，即可得到二次函数的表达式；
（2）证明，得到，即，设，点D在第一象限，根据点的坐标写出长度，利用求出t的值，即可，的值，进一步得出tan∠CDA的值；
（3）根据题目要求，找出符合条件的点C的位置，在利用集合图形的性质，求出对应点C的坐标即可。
【详解】（1）解：∵二次函数与y轴交于点，
∴，即，
∵，即二次函数对称轴为，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：如图，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，，
设：，点D在第一象限，
∴，，，
∴，
解得：（舍），（舍），
当时，，
∴，，
∴，

∵在中，
∴
（3）解：存在，
如图，（2）图中关于对称轴对称时，，

∵点D的坐标为，
∴此时，点C的坐标为，
如图，当点C、D关于对称轴对称时，此时AC与AD长度相等，即，
当点C在x轴上方时，

过点C作CE垂直于x轴，垂足为E，
∵，点C、D关于对称轴对称，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设点C的坐标为，
∴，，
∴
解得：，（舍），
此时，点C的坐标为，
当点C在x轴下方时，

过点C作CF垂直于x轴，垂足为F，
∵，点C、D关于对称轴对称，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设点C的坐标为，
∴，，
∴
解得：（舍），，
此时，点C的坐标为，
综上：点C的坐标为，，．
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．