2024届新高考数学一轮复习资料第2讲：充分条件、必要条件、充要条件

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第2讲充分条件、必要条件、充要条件一、聚焦高考目标1.理解命题的概念．2．了解“若，则”形式的命题3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.二、聚焦高考题型1．（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线，，．则“，，共面”是“，，两两相交”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】空间中不过同一点的三条直线，，，若，，在同一平面，则，，相交或，，有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．而若“，，两两相交”，则“，，在同一平面”成立．故，，在同一平面”是“，，两两相交”的必要不充分条件，故选：．2．（2019•上海）已知、，则“”是“”的　　A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【解析】等价，，得“”， “”是“”的充要条件，故选：．三、聚焦高考知识体系1. 充分、必要条件(1) 对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，记作p⇒q，称p是q的　充分　条件，q是p的　必要　条件；当它是假命题时，记作pq，称p不是q的　充分　条件，q不是p的　必要　条件．(2) ①若p⇒q，且qp，则p是q的　充分不必要　条件；②若pq，且q⇒p，则p是q的　必要不充分　条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的　充要　条件，记做p⇔q；④若pq，且qp，则p是q的　既不充分又不必要　条件．(3) 证明“充要条件”应分为两个环节，一是充分性，二是必要性．应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．证明时要分清哪个是条件，哪个是结论．2. 判断充分必要条件的常用方法(1) 定义判断法：通过判断p⇒q与q⇒p是否成立确定p是q的什么条件．(2) 集合判断法：建立命题p，q相应的集合，若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：x∈A＝{x|p(x)}，q：x∈B＝{x|q(x)}，则：①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；③若A，则p是q的充分不必要条件；④若B，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件；⑥若AB且B A，则p是q的既不充分又不必要条件．四、聚焦典例考点一：充分、必要条件的判定例1：设：，：，则是成立的(　　)A．充要条件                B．充分不必要条件C．必要不充分条件          D．既不充分也不必要条件答案：B解析：p：x<3，q：－1<x<3，可得q⇒p，而p推不出q.则q是p成立的充分不必要条件．故选B.例2：“0<a<b”是“a－<b－”的(　A　)A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【解析】 因为y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数，所以当0<a<b时，a－<b－，充分性成立；当a－<b－时，a<b<0或0<a<b，必要性不成立．所以“0<a<b”是“a－<b－”的充分不必要条件．变式1：若x，y为实数，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意可知当时，满足，但不满足；由，得，满足，所以 “”是“”的必要不充分条件，故选：B．变式2：设，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解不等式，得；解不等式，得.设集合，.充分性：因为集合不是集合的子集，故充分性不成立；必要性：因为成立，故必要性成立；综上可得“”是“”的必要不充分条件.故选：B考点二：充分条件、必要条件的探究例3：不等式成立的一个必要不充分条件是(　　)A． B．C． D．答案：B　解：由不等式x(x－2)＜0得0＜x＜2，因此x∈(0,2)是不等式x(x－2)＜0成立的充要条件，则所求必要不充分条件应包含集合{x|0＜x＜2}，故选B.]例4：命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)A． B．C． D．答案：C　解：由题意知，a≥x2对x∈[1,3]恒成立，则a≥9.因此a≥10是命题“∀x∈[1,3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件，故选C.变式3：已知p：，q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】本题考查充分条件与必要条件的判断.q：，即.p：，即.因为p是q的必要不充分条件，所以且等号不同时成立，解得.故答案为：变式4： (2022·株洲一检)已知“x≥a”是“x≥2”的必要不充分条件，则a的取值范围为(　B　)A. (3，＋∞)  B. (－∞，2)C. (－∞，2]  D. [0，＋∞)【解析】 由题意得，{x|x≥2}是{x|x≥a}的真子集，故a<2.五、当堂检测1.已知m，n是平面α内的两条相交直线，且直线l⊥n，则“l⊥m”是“l⊥α”的(　　)A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案　A解析　当l⊥m时，m，n是平面α内的两条相交直线，又l⊥n，根据线面垂直的判定定理，可得l⊥α.当l⊥α时，因为m⊂α，所以l⊥m.综上，“l⊥m”是“l⊥α”的充要条件.2．设，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，所以充分性成立，当时，满足，但不成立，所以必要性不成立．所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A．3. 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是　(0,3]　.【解析】 因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，且p是q的必要不充分条件，所以{x|1－m≤x≤1＋m}是{x|－2≤x≤10}的真子集，且{x|1－m≤x≤1＋m}不是空集，所以或解得0<m≤3，所以实数m的取值范围是(0,3]．4．(2023·长沙模拟)已知p：>1；q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　)A．[0，＋∞)   B．[1，＋∞)C．(－∞，0]   D．(－∞，1]答案　C解析　由>1，可得x(x－1)<0，解得0<x<1，记A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}，若p是q的充分条件，则A是B的子集，所以m≤0，所以实数m的取值范围是(－∞，0]．5.若，，则“”是“”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5＞4，不满足a＋b≤4，必要性不成立．故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，选A.