2023高考数学艺体生一轮复习 专题27 统计的应用（解析版）

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专题27 统计的应用
【考点预测】
一、抽样方法
三种抽样方式的对比
类型
共同点
各自特点
相互关系
使用范围
简单随机抽样
抽样过程都是不放回抽样，每个个体被抽到的机会均等，总体容量N，样本容量n，每个个体被抽到的概率
从总体中随机逐个抽取

总体容量较小
系统抽样
总体均分几段，每段T个，
第一段取a1，
第二段取a1+T，
第三段取a1+2T，
……
第一段简单随机抽样
总体中的个体个数较多
分层抽样
将总体分成n层，每层按比例抽取
每层按简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
二、样本分析
(1)样本平均值：。
(2)样本众数：样本数据中出现次数最多的那个数据。
(3)样本中位数：将数据按大小排列，位于最中间的数据或中间两个数据的平均数。
(4)样本方差：。
众数、中位数、平均数都是描述一组数据集中趋势的量，方差是用来描述一组数据波动情况的特征数。
三、频率分布直方图的解读
(1)频率分布直方图的绘制
①由频率分布表求出每组频数ni；
②求出每组频率(n为样本容量)；
③列出样本频率分布表；
④画出样本频率分布直方图，直方图横坐标表示各组分组情况，纵坐标为每组频率与组距比值，各小长方形的面积即为各组频率，各小长方形的面积总和为1。
(2)样本估计总体
步骤：总体→抽取样本→频率分布表→频率分布直方图→估计总体频率分布。
样本容量越大，估计越精细，样本容量无限增大，频率分布直方图无限无限趋近概率分布密度曲线。
(3)用样本平均数估计总体平均数，用样本标准差估计总体标准差。
公式：，s2(aX+b)=a2s2(X)。







【典型例题】
例1．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

由直方图可估计本校高三男生100米体能测试成绩小于13.5秒的人数为（    ）
A．47 B．54 C．67 D．94
【答案】D
【解析】由题意，则，解得，
由图，则本校高三男生100米体能测试成绩小于13.5秒的频率为，
估计本校高三男生100米体能测试成绩小于13.5秒的人数为.
故选：D.
例2．（2023·陕西榆林·统考一模）为了解市民的生活幸福指数，某组织随机选取了部分市民参与问卷调查，将他们的生活幸福指数（满分100分）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，根据此频率分布直方图，估计市民生活幸福指数的中位数为（    ）

A．70 B． C． D．60
【答案】C
【解析】由题意可得，解得.
因为成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
故市民生活幸福指数的中位数在内.
设市民生活幸福指数的中位数为，则，
解得.
故选：C
例3．（2023·全国·高三专题练习）要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从第8行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续.则第四袋牛奶的标号是（    ）
（下面摘取了某随机数表的第7行至第9行）

A．358 B．301 C．071 D．206
【答案】C
【解析】由题意可知，读取的第一个数据是583，不符合条件，第二个数据是921，不符合条件，第三个数据是206，符合条件；
即随机选取的第一袋牛奶标号是206；
以下数据依次是766，301，647，859，169，555，671，998，301，其中符合题意的数据只有301，169，301三个数据，但是301属于重复数据，继续往后计数；
下一个数是071，符合条件，即前四袋牛奶的标号依次为206，301，169，071；
所以，第四袋牛奶的标号为071.
故选：C.
例4．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）年春节影市火爆依旧，《无名》、《满江红》、《交换人生》票房不断刷新，为了解我校高三名学生的观影情况，随机调查了名在校学生，其中看过《无名》或《满江红》的学生共有位，看过《满江红》的学生共有位，看过《满江红》且看过《无名》的学生共有位，则该校高三年级看过《无名》的学生人数的估计值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以集合表示调查的名在校学生看过《无名》的学生构成的集合，
集合表示调查的名在校学生看过《满江红》的学生构成的集合，如下图所示：

所以，调查的名在校学生看过《无名》的学生人数为，
所以，该校高三年级看过《无名》的学生人数的估计值为，
故选：C.
例5．（多选题）（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车､自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则（    ）

A．骑车时间的中位数的估计值是22分钟
B．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟
C．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值
D．坐公交车时间的方差的估计值小于骑车时间的方差的估计值
【答案】BC
【解析】对A：设骑车时间的中位数为，则，解得，
故骑车时间的中位数的估计值是分钟，A错误；
对B：设坐公交车时间的40%分位数为，则，解得，
故坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟，B正确；
对C：坐公交车时间的平均数，
骑车时间的平均数，
∵，故坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值，C正确；
对D：
坐公交车时间的方差
骑车时间的方差，
∵，故坐公交车时间的方差的估计值大于骑车时间的方差的估计值，D错误.
故选：BC.
例6．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（    ）
A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是
C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32
【答案】AB
【解析】用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为，A正确；
已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，
所以，解得：，
所以，
则这组数据的方差是，B正确；
数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数，从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，
由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，
即，所以第70百分位数是，C错误；
若样本数据的标准差为8，所以的方差为64，
则数据的方差为，
所以数据的标准差为，D错误.
故选：AB
例7．（2023秋·北京·高三校考期末）在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
16
16
14
14
4
(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度．规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.
【解析】（1）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为，
所以估计240人中有人实测答对第5题．
（2）的可能取值是0，1，2．
；；．  
的分布列为：

0
1
2




．
（3）第1题的实测难度为，同理可得：第2题的实测难度为，
第3题的实测难度为，第4题的实测难度为，第5题的实测难度为0.2，
故．
因为 ，
所以，该次测试的难度预估是合理的．
例8．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.

(1)估计这批苹果的重量的平均数；
(2)该果园准备把这批苹果销售给一家超市，据市场行情，有两种销售方案；
方案一：所有苹果混在一起，价格为2.5元/千克；
方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为3元/千克，重量小于160克的苹果的价格为2元/千克，但果园需支付每1000个苹果5元的分拣费.
分别估计并比较两种方案下果园销售10000个苹果的收入.
【解析】（1）由题意，得，解得，
50个苹果重量的平均数为，
故估计这批苹果的重量的平均数约为159.6克；
（2）若采用方案一，估计销售收入约为（元）
若采用方案二，重量小于160克的苹果的总重量约为
（千克），
重量不小于160克的苹果的总重量约为
（千克）,
估计销售收入约为（元）,
因为，因此，方案二的销售收入更高.
例9．（2023·高三课时练习）为倡导节能减排，某市计划制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中的a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
(3)估计居民月均用水量的中位数.
【解析】（1）由频率分布直方图可知，月用水量在[0，0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.
同理，在[0.5，1），（1.5，2]，[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5）的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)=0.5×a＋0.5×a，解得a=0.30.
（2）由（1）知，100位居民月均水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02=0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=36000.
（3）设中位数为x吨.
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25=0.73>0.5，
而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21=0.48