艺术生高考数学真题演练 专题04 导数及其应用（解答题）（教师版）

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专题04 导数及其应用（解答题）
1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f ′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）设，则.
当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，故在存在唯一零点.
所以在存在唯一零点.
（2）由题设知，可得a≤0.
由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，所以，当时，.
又当时，ax≤0，故.
因此，a的取值范围是.
【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.
2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数．证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）的定义域为（0，+）.
.
因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，
，故存在唯一，使得.
又当时，，单调递减；当时，，单调递增.
因此，存在唯一的极值点.
（2）由（1）知，又，所以在内存在唯一根.
由得.
又，故是在的唯一根.
综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值，以及函数零点的问题，属于常考题型.
3．【2019年高考天津文数】设函数，其中.
（Ⅰ）若a≤0，讨论的单调性；
（Ⅱ）若，
（i）证明恰有两个零点；
（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.
【答案】（Ⅰ）在内单调递增.；（Ⅱ）（i）见解析；（ii）见解析.
【解析】（Ⅰ）解：由已知，的定义域为，且
.
因此当a≤0时，，从而，所以在内单调递增.
（Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）知.令，由，
可知在内单调递减，又，且
.
故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则.当时，，所以在内单调递增；当时，，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.
令，则当时，，故在内单调递减，从而当时，，所以.从而
，
又因为，所以在内有唯一零点.又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.
（ii）由题意，即从而，即.因为当时，，又，故，两边取对数，得，于是
，
整理得.
【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.
4．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当0