艺术生高考数学专题讲义：考点56 离散型随机变量的均值与方差（理）

考点五十六  离散型随机变量的均值与方差(理)

知识梳理

1．离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．

2．二项分布的均值、方差

若X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．

3．两点分布的均值、方差

若X服从两点分布，则EX＝p(p为成功概率)，DX＝p(1－p)．

4．离散型随机变量均值与方差的性质

E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X) (a，b为常数)．

典例剖析

题型一  离散型随机变量的均值与方差

例1　已知离散型随机变量X的分布列为

则X的数学期望E(X)＝________．

答案 

解析  E(X)＝1×＋2×＋3×＝＝.

变式训练  随机变量ξ的分布列如下，其中a、b、c为等差数列，若Eξ＝，则Dξ的值为________．

答案　

解析　由分布列得a＋b＋c＝1，①

由期望E(ξ)＝得－a＋c＝，②

由a、b、c为等差数列得2b＝a＋c，③

由①②③得a＝，b＝，c＝，

∴Dξ＝×＋×＋×＝.

解题要点  如果已知两边一角或是两角一边解三角形时，通常用正弦定理．

题型二  二项分布的均值与方差

例2　(2015广东理)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.

答案　

解析　依题意可得E(X)＝np＝30，且D(X)＝np(1－p)＝20，解得p＝.

变式训练  某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为________．

答案　200

解析　记“不发芽的种子数为ξ”，

则ξ～B(1 000，0.1)，所以Eξ＝1 000×0.1＝100，

而X＝2ξ，故EX＝E(2ξ)＝2Eξ＝200.

例3　(2013·福建节选)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？

解析　设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2)．

由已知可得，X1～B(2，)，X2～B(2，)，

所以EX1＝2×＝，EX2＝2×＝，

从而E(2X1)＝2EX1＝，E3X2＝3EX2＝，

因为E(2X1)>E(3X2)，

所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．

方法二　设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：

所以EX1＝0×＋2×＋4×＝，EX2＝0×＋3×＋6×＝.

因为EX1>EX2，

所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．

解题要点  求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．

题型三  离散型随机变量的均值与方差有关的应用题

例4　(2015安徽理)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．

解析　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A．

P(A)＝＝.

(2)X的可能取值为200，300，400.

P(X＝200)＝＝，

P(X＝300)＝＝，

P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)

＝1－－＝.

故X的分布列为

E(X)＝200×＋300×＋400×＝350.

变式训练  (2015四川理)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人．女生中随机抽取3人组成代表队．

(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率．

(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．

解析　(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，

因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.

(2)根据题意，X的可能取值为1，2，3，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

所以X的分布列为

因此,X的数学期望为E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×＋2×＋3×＝2.

解题要点  求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法：

(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；

(2)求ξ取每个值的概率；

(3)写出ξ的分布列；

(4)由均值的定义求E(ξ)；

(5)由方差的定义求D(ξ)．

当堂练习

1．(2015安徽理)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．

答案　16

解析　已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为＝2×8＝16．

2．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

已知ξ的均值Eξ＝8.9，则y的值为________．

答案　0.4

解析　由可得y＝0.4.

3. 设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)则Dξ等于________．

答案　8

解析　Eξ＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，Dξ＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.

4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的均值为________．

答案　2.376

解析　X的所有可能取值为3，2，1，0，其分布列为

∴EX＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.

5．(2014·高考浙江卷)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．

答案 

解析  设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，

则解得所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.

课后作业

一、    填空题

1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，一人的上班途中有3个交通岗，则此人遇红灯的次数的期望为________．

答案  1.2

解析  ∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3，0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2.

2．若ξ是离散型随机变量，η＝3ξ＋2，则________．

①E(η)＝3E(ξ)＋2，D(η)＝9D(ξ)

②E(η)＝3E(ξ)，D(η)＝9D(ξ)

③E(η)＝3E(ξ)＋2，D(η)＝9D(ξ)＋2

④E(η)＝3E(ξ)，D(η)＝9D(ξ)＋4

答案  ①

3．签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为________．

答案  5.25

解析  由题意可知，X可以取3，4，5，6，

P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.

由数学期望的定义可求得E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.

4．若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的值为________．

答案 

解析  根据概率和为1求出

x＝，E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝.

5．由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：

现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？________．

答案  甲

解析  E(ξ1)＝E(ξ2)＝1.1，D(ξ1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(ξ2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，

∴D(ξ1)<D(ξ2)，

即甲比乙得分稳定，选甲参加较好．

6．袋中装有大小完全相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值Eξ为________．

答案　

解析　依题意得，ξ的所有可能取值是0，1，2.

且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，

因此Eξ＝0×＋1×＋2×＝.

7．袋中装有大小完全相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)．则随机变量ξ的数学期望E(ξ)为________．

答案 

解析  依题意得，ξ的所有可能取值是0，1，2，且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，因此E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.

8．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分．没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为，此人得分的数学期望与方差分别为________．

答案  20　

解析  记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分，

则η～B，ξ＝10η，

∴E(ξ)＝10E(η)＝10×3×＝20，D(ξ)＝100D(η)＝100×3××＝.

9．篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是________．

答案　0.7

解析　EX＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.

10．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为，此人得分的数学期望与方差分别为________．

答案  20　

解析  记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分，则η～B，ξ＝10η，∴ E(ξ)＝10E(η)＝10×3×＝20，D(ξ)＝100 D (η)＝100×3××＝.

11．已知离散型随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的方差为________．

答案  2

解析  根据离散型随机变量ξ的分布列知m＝.∴ E(ξ)＝－2×＋0×＋2×＝0，D(ξ)＝(－2－0)2×＋(0－0)2×＋(2－0)2×＝2.

二、解答题

12． (2015重庆理)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．

(1)求三种粽子各取到1个的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．

解析  (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有

P(A)＝＝.

(2)X的所有可能值为0，1，2，且

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.

综上知，X的分布列为

故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．

13．(2015天津理)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．

(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；

(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

解析  (1)由已知，有P(A)＝＝.

所以，事件A发生的概率为.

(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.

P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．

所以随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.