艺术生高考数学专题讲义：考点44 抛物线

考点四十四  抛物线

知识梳理

1．抛物线的概念

把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线．

用集合语言描述：P＝{M|}，即P＝{M||MF|＝d}．

注意：抛物线的定义中不可忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

3．抛物线的焦点弦有关的常用结论

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.

(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．

(3) S△AOB＝

(4)＋为定值.

(5)以AB为直径的圆与准线相切，以AF或BF为直径的圆与y轴相切．

(6)当AB与抛物线的对称轴垂直时，称线段AB为抛物线的通径，它是焦点弦中最短者，长度等于2p.

典例剖析

题型一  抛物线的定义及其应用

例1　若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是__________．

答案　

解析　M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，

设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.

变式训练  已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝__________．

答案　3

解析　∵＝4，∴||＝4||，∴＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，

∴＝＝，

∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QF|＝|QQ′|＝3

解题要点  利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．

题型二  抛物线的标准方程求解

例2　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．求抛物线C的方程，并求其准线方程；

解析  将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p×1，所以p＝2.

故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.

变式训练  已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是__________．

答案  y2＝±4x

解析  因为双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．

设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.

解题要点  求抛物线的标准方程的方法：

①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．

②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．

题型三  抛物线的几何性质

例3　如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．

答案  y2＝3x

解析  分别过点A、B作准线的垂线AE、BD，分别交准线于点E、D，

则|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°，又∵|AE|＝|AF|＝3，

∴|AC|＝6，即点F是AC的中点，根据题意得p＝，∴抛物线的方程是y2＝3x.

变式训练  已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|等于__________．

答案　3

解析　∵＝4，∴||＝4||，∴＝.

如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，

设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，∴＝＝，

∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3.

解题要点  应用抛物线性质的技巧：

1.利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．

2.要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．

3.借助抛物线的定义，在点到焦点间距离和点到准线间距离之间相互转化．

当堂练习

1．(2015陕西文）已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为__________．

答案　(1,0)

解析　由于抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，由题意得－＝－1，p＝2，焦点坐标为.

2．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为__________．

答案  2

解析  利用|PF|＝xP＋＝4，可得xP＝3，

∴yP＝±2.∴S△POF＝|OF|·|yP|＝2.

3. (2014年辽宁卷)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为__________．

答案  －

解析  ∵点A(－2,3)在y2＝2px的准线上，∴－＝－2，∴p＝4，∴y2＝2px的焦点为F(2,0)，∴kAF＝＝－.

4．(2014·安徽)抛物线y＝x2的准线方程是__________．

答案　y＝－1

解析　∵y＝x2，∴x2＝4y.

∴准线方程为y＝－1.

5．已知A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝________.

答案  1∶

解析  MF的方程为＋y＝1即x＋2y－2＝0，MF的倾斜角为α，则tanα＝－，由抛物线的定义可知|MF|＝|MQ|；

∴＝＝sinα＝＝ .

课后作业

一、    填空题

1．过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是__________．

答案　y2＝－x或x2＝y

解析　设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－，m＝，

∴y2＝－x或x2＝y.

2．抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离是__________．

答案　

解析　由x2＝y，知p＝，所以焦点到准线的距离为p＝.

3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是__________．

答案  y2＝8x

解析  由抛物线的准线方程为x＝－2，得焦点F(2,0)，∴＝2，

∴p＝4，故抛物线的标准方程为y2＝8x.

4．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是__________．

答案  (1,2)

解析  如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，

∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号．

∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1.

5．若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为__________．

答案  y2＝8x

解析  由题意，得2－＝4，p＝4，所以抛物线的方程为y2＝8x.

6．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是__________．

答案  y＝x2或y＝－x2

解析  将y＝ax2化为x2＝y，当a>0时，准线y＝－，由已知得3＋＝6，∴＝12，∴a＝.当a<0时，准线y＝－，由已知得|3＋|＝6，

∴a＝－或a＝(舍)．∴抛物线方程为y＝或y＝－x2.

7．抛物线y＝－2x2的焦点坐标为__________．

答案  (0，－ )

解析  y＝－2x2化为标准方程为x2＝－y，其焦点坐标是(0，－).

8．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是__________．

答案 

解析  抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为±x－y＝0，则所求距离为d＝.

9．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交y轴于点A，抛物线上有一点B满足 (O为坐标原点)，则△BOF的面积是__________．

答案  1

解析  由题可知F(1,0)，可设过焦点F的直线方程为y＝k(x－1)(可知k存在)，则A(0，－k)，

∴B(1，－k)，由点B在抛物线上，得k2＝4，k＝±2，即B(1，±2)，

S△BOF＝·|OF|·|yB|＝×1×2＝1.

10．若抛物线y2＝2x上一点M到坐标原点O的距离为，则点M到抛物线焦点的距离为________．

答案 

解析  设M(x，y)，则由得x2＋2x－3＝0.

解得x＝1或x＝－3(舍)．

所以点M到抛物线焦点的距离d＝1－－＝.

11．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．

答案  x＝－1

解析  直线方程为y＝x－，由得y2－2py－p2＝0.设A和B的纵坐标分别为y1和y2，由韦达定理知y1＋y2＝2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，所以p＝2.于是抛物线的准线方程为x＝－1．

二、解答题

12．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.求C的方程；

解析  设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝.所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.

由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.

13．若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，求△OPQ面积S△OPQ．

解析  如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|PF|＝3，由抛物线定义知：点P到准线x＝－1的距离为3，∴点P的横坐标为2.

将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点P的纵坐标y＝2，

∴P(2,2)，∴直线PF的方程为y＝2(x－1)．

联立直线与抛物线的方程

解之得或

由图知Q，∴S△OPQ＝|OF|·|yP－yQ|＝×1×|2＋|＝.