艺术生高考数学专题讲义：考点1 集合的概念与运算

考点一 集合的概念与运算

知识梳理

1．集合与元素

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法．

(4)常见数集的记法

(5)集合的分类

若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．

2.集合间的基本关系

子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.

3.全集与补集

(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；

(2) 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

4.集合的运算

5.集合关系与运算的常用结论

(1)子集个数公式：若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个．

(2) A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．

(3)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B) ．

典例剖析

题型一  集合的基本概念

例1　已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是     

答案  5

解析  列表

根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个．

变式训练  已知集合A＝{0，1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B中有________个元素．

答案  6

解析　因为x－y∈A，∴x≥y．

当x＝0时，y＝0；

当x＝1时，y＝0或y＝1；

当x＝2时，y＝0，1，2.

故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，

即集合B中有6个元素．

解题要点  研究集合问题，通常从代表元素入手，考查其所代表的是数还是点，如果代表元素是数x，则是数集，如果代表元素是数对(x，y)，则是点集．在列举集合的元素时可借助表格，或根据元素特征分类列举，列举时应做到不重不漏．

例2　设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.

答案  2

解析　因为{1，a＋b，a}＝，且由a在分母的位置可知a≠0，

所以a＋b＝0，则＝－1，

所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.

变式训练  已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

答案  －

解析  因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.

当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，

此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；

当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，

此时当m＝－时，m＋2＝≠3符合题意，

所以m＝－.

解题要点  对于含字母参数的集合，应准确进行分类讨论，列出方程或方程组求出字母参数的值．需要特别注意的是，求出字母参数值后，还要检验是否违反了集合中元素的互异性．

题型二  集合间的基本关系

例3　集合A={－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有    个

答案  4

解析  根据题意，在集合A的子集中，

含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，－1}、{－1，0，1}，共四个.

变式训练  设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有    个

答案  6

解析　集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，其中一个奇数元素也没有的集合有两个：∅和{2}，故满足要求的集合M共有8－2＝6(个)．

解题要点  解题关键是弄清符合题意的集合其元素应满足的条件．在元素较少时可以采取穷举法列出所有满足条件的集合．

例4　设，若，则a的取值范围是     ．

答案 

解析  根据题意作图：

由图可知，，则只要即可，即的取值范围是．

变式训练  已知集合，则a的取值范围是     ．

答案 

解析  ，∵，根据题意作图：

由图可知，只要即可，即的取值范围.

解题要点  对于这类用不等式表示的数集之间的包含关系时，常常借助数轴进行求解.在解题时应注意端点是否可以取到.

题型三  集合的基本运算

例5　已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．

答案  5

解析  A∪B＝{1,2,3,4,5}，共有5个元素.

变式训练  已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于________．

答案  {－1,0,1,2}

解析  A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，B为整数集，A∩B＝{－1,0,1,2}.

解题要点  求解集合交、并首先应对各个集合进行化简，准确弄懂集合中的元素，求并集时相同的元素只算一个．

例6　已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B) ＝________．

答案  {x|0<x<1}

解析  ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，

∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，

在数轴上表示如图．

∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．

变式训练  已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则A∪B＝________．

答案  R

解析　∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.

∴集合A与B可用数轴表示为：

由图象可以看出A∪B＝R．

解题要点  集合的基本运算是历年高考的热点，常与不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，解题时先求出各个集合，然后借助数轴求交并是基本方法．

当堂练习

1. 已知集合,集合,,则________．

答案  {4}

解析　因为A∪B＝{1,2,3}，全集U＝{1,2,3,4}，所以U(A∪B)＝{4}．

2．若集合M={－1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N等于________．

答案  {0，1}

解析  由集合M={－1，0，1}，N={0，1，2}，得到M∩N={0，1}．

3．已知{菱形}，{正方形}，{平行四边形}，则之间的关系为_______

答案 

4．已知集合A＝{(x，y)|－1≤x≤1，0≤y<2，x、y∈Z}，用列举法可以表示集合A为________．

答案  {(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}

解析  集合A表示不等式组确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．

5．设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝     ．

答案　{1，2}

解析　由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0，

解得1≤x≤2，故N＝{x|1≤x≤2}，∴M∩N＝{1,2}．

课后作业

1．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则A∩B等于________．

答案　(2,3)

解析　∵A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}＝{x|1＜x＜3}，

∴A∩B＝{x|2＜x＜3}＝(2,3)．

2．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝________．

答案　{－2,0,2}

解析　先确定两个集合的元素，再进行并集运算．集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，

故M∪N＝{－2,0,2}．

3．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>4}，则M∪N等于________．

答案　{x|x<－5或x>－3}

解析　在数轴上表示集合M和N，如图所示，

则数轴上方所有“线”下面的部分就是M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．

4．若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=________．

答案　4

解析　a＝0时，ax2+ax+1=0无解，此时，A=，不合题意；

a≠0时，由题意得方程ax2＋ax＋1＝0有两个相等实根，则，解得a＝4.

5．已知全集，集合，，则= ________．

答案　{0,2,4}

解析　∵＝{0,4}，＝{0, 2,4}.

6．已知集合,,则________．

答案　{1,4}

解析　∵x＝n2，n∈A，∴x＝1,4,9,16.

∴B＝{1,4,9,16}．∴A∩B＝{1,4}．

7．满足条件{0,2}∪M＝{0,1,2}的所有集合M的个数为________．

答案　4

解析　由题可知集合M中必有1，满足条件的M可以为{1}，{0,1}，{2,1}，{0,1,2}共4个．

8．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________．

答案　0或3

解析　∵A∪B＝A，∴B⊆A，∵A＝{1,3，}，B＝{1，m}，

∴m∈A，故m＝或m＝3，解得m＝0或m＝3或m＝1，又根据集合元素的互异性m≠1，所以m＝0或m＝3.

9．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(∁UB)等于________．

答案　{1}

解析　∵∁UB＝{1,5,6}，∴A∩(∁UB)＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1}.

10．已知A＝{3,5,6,8}且集合B满足A∩B＝{5,8}，A∪B＝{2,3,4,5,6,7,8}，则这样的集合B有________个．

答案　4

解析　∵A∩B＝{5,8}，∴5,8∈B，又∵A∪B＝{2,3,4,5,6,7,8}而A＝{3,5,6,8}，

∴2,4,7∈B，∴3,6可以属于B，也可不属于B．  ∴这样的B有22＝4(个)．

11．若集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B等于            ．

答案　{x|－3<x<2}

解析　由题意，得A∩B＝{x|－5<x<2}∩{x|－3<x<3}＝{x|－3<x<2}．

12．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为   

答案　2

解析　A＝{…，5,8,11,14,17…}，B＝{6,8,10,12,14}，集合A∩B中有两个元素．

13． 已知A＝{x|2a<x≤a＋8}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∪B＝R， 则a的取值范围是________．

答案　－3≤a<－

解析　∵B＝{x|x<－1或x>5}，A∪B＝R，  ∴ 解得－3≤a<－.