2022-2023学年安徽省合肥市包河区中国科大附中八年级（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）

2022-2023学年安徽省合肥市包河区中国科大附中八年级（下）月考数学试卷（5月份）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列式子为最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  若是方程的根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如果，那么的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

6.  下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

7.  如图，矩形的对角线，，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  若是关于的一元二次方程，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，为上的一点，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第个图中平行四边形的个数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  当 ______ 时，式子有意义．

12.  若，是方程的两个实数根，则 ______ ．

13.  三个正方形的面积如图所示，则正方形的面积为______ ．

14.  在四边形中，若已知，则再增加条件______ 只需填一个可使四边形成为平行四边形．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

15.  解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：

17.  本小题分
如图，在平行四边形中，，为对角线上的两点，且求证：．

18.  本小题分

已知关于的方程有两个不相等的实数根．

求的取值范围；

若方程的一个根为，求方程的另一根．

19.  本小题分
已知，如图，在中，是的中点，，垂足为，交于点，且，求证：．

 

20.  本小题分
已知：如图，在▱中，、分别平分、，在上，，求▱的周长和面积．

21.  本小题分
如图，在四边形中，，，垂足为，，垂足为，若，求证：四边形是菱形．

22.  本小题分
某超市如果将进货价为元的商品按元销售，就能卖出个，但如果这种商品每个涨价元，其销售量就减少个，如果你是超市的经理，为了赚得 元的利润，你认为售价售价不能超过进价的应定为多少？这时应进货多少个？

23.  本小题分
以四边形的边、、、为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为、、、，顺次连接这四个点，得四边形．
如图，当四边形为正方形时，我们发现四边形是正方形；如图，当四边形为矩形时，请判断：四边形的形状不要求证明；
如图，当四边形为一般平行四边形时，设，
试用含的代数式表示；
求证：；
四边形是什么四边形？并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A正确；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C错误；
D、被开方数含分母，故D错误；
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，正确；
B、，错误；
C、根式无意义，错误；
D、，错误．
故选A．
首先判断根式要有意义，再把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．
本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
 

3.【答案】 

【解析】解：为一元一次方程的一个根，
，
，
，
故选D．
把代入方程求出，代入求出即可．
本题考查了一元二次方程的解的应用，关键是求出，用了整体代入思想，即把当作一个整体来代入．
 

4.【答案】 

【解析】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
设这个多边形是边形，内角和是，这样就得到一个关于的方程，从而求出边数的值．
解：根据多边形的外角和是，边形的内角和是．
设这个多边形是边形，
根据题意得，
解得，
即这个多边形为六边形．
故选：．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查换元法解一元二次方程．
此题主要是把当成一个整体，把求代数式的值的问题转化为解关于这个整体的方程，利用求根公式求解．在本题中有两个未知数，且通过观察最后结果，可采用换元法，把当成一个整体进行考虑．
【解答】
解：设，则原方程变形为，解得或．
故选C．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】

根据“三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形”逐一对选项作出判断即可得出结果．
本题考查了勾股定理的逆定理有关知识，解题的关键在于熟练掌握勾股定理的逆定理．

【解答】

解：．，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B.，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
C.，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
D.，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
故选C．

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出是等边三角形是解题的关键．
根据矩形的对角线相等且互相平分可得，再根据邻角互补求出的度数，然后得到是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．
【解答】
解：在矩形中，，
，
，
是等边三角形，
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得．
故选B．
本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为；
是整式方程；
含有一个未知数．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图：设，在中，
；
在中，
，
即，
解得．
则．
故选：．
根据题意作出图形，设，在直角三角形中，根据勾股定理表示出的长，再在直角三角形中，根据勾股定理求出的值，从而可得的长．
本题考查了解直角三角形，利用勾股定理是解题的关键，正确设出未知数方可解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：从图中我们发现
中有个平行四边形，，
中有个平行四边形，，
中有个平行四边形，，
第个中有个平行四边形．
故选：．
从图中这三个图形中找出规律，可以先找出这三个图形中平行四边形的个数，分析三个数字之间的关系．从而求出第个图中平行四边形的个数．
本题为找规律题，从前三个图形各自找出有多少个平行四边形，从中观察出规律，然后写出与有关的代数式来表示第个中的平行四边形的数目．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系得到，，再把变形为，然后利用整体代入思想计算．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个解为，，则，．
 

13.【答案】 

【解析】解：由图可知，．
故答案为：．
直接勾股定理求出正方形的面积即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：此题答案不唯一，可以添加：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
或，
理由：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
故答案为：，等任选其一．
此题是开放题，可以根据平行四边形的判定添加条件．比较简单的是：，等．
此题考查了平行四边形的判定．注意对于开放题要选择比较简单的答案最好．此题最好选择直接用定理就可判定的条件．
 

15.【答案】解：

或
，． 

【解析】把方程化成一般形式，用十字相乘法因式分解求出方程的根．
本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程化成一般形式，再用十字相乘法因式分解求出方程的根．
 

16.【答案】解：

． 

【解析】先计算二次根式的除法运算，再化简二次根式为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可．
本题主要考查了二次根式的加减及除法运算，注意理解最简二次根式的概念．
 

17.【答案】证明：在平行四边形中，，，
，
在和中，

≌，
． 

【解析】由在平行四边形中，，易证得≌，继而证得结论．
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得≌是关键．
 

18.【答案】解：根据题意得，
解得；
所以的取值范围是．
方程的一个根为，则
解得，
则方程为
解得
即方程的另一根为． 

【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解，解题关键在于明确：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
由题意得，然后解不等式即可得到的取值范围；
方程一个根为，可得解得的值，把的值代入原方程，再求出原方程的解即可．
 

19.【答案】证明：连接，如图所示：

是的中点，，
，
，
，
，
是直角三角形，即． 

【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理及其逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
连接，由线段垂直平分线的性质得出，再由已知条件得出，由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形，．
 

20.【答案】解：、分别平分、，
，
，
，，
，，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
根据平行四边形的对边相等，得到：，
平行四边形的周长等于：．
作于根据直角三角形的面积公式得：
所以平行四边形的面积．
即平行四边形的周长为，面积为． 

【解析】根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形和等腰三角形和直角三角形根据直角三角形的勾股定理得到根据等腰三角形的性质得到，从而求得该平行四边形的周长；根据直角三角形的面积可以求得平行四边形边上的高．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
 

21.【答案】证明：，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是菱形． 

【解析】首先证明，可得四边形是平行四边形，然后再证明≌可得，再根据菱形的判定定理可得结论．
此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
 

22.【答案】解：设此商品的单价为元，则每个商品的利润是元，销售数量为个．
由题意，得 ，
整理得．
解得，，
商品售价不能超过进价的，
取．
这时应进货个．
故售价定为元，这时应进货个． 

【解析】根据售价减去进价表示出实际的利润，根据这种商品每个涨价元，其销售量就减少个，表示出实际的销售量．由利润售价进价销售量，列出方程，求出方程的解即可得到结果．
此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解“商品每个涨价元，其销售量就减少个”．
 

23.【答案】解：四边形的形状是正方形．

解：，
在平行四边形中，
，
和是等腰直角三角形，
，
，
答：用含的代数式表示是．

证明：和是等腰直角三角形，
，，
在平行四边形中，，
，
和是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
≌，
．

答：四边形是正方形，
理由是：由同理可得：，，
，
，
四边形是菱形，
≌，
，
，
，
四边形是正方形． 

【解析】根据等腰直角三角形的性质得到，求出四边形是矩形，根据勾股定理求出，，，，推出，根据正方形的判定推出四边形是正方形即可；
根据平行四边形的性质得出，，根据和是等腰直角三角形，得到，求出即可；
根据和是等腰直角三角形，得出，，平行四边形的性质得出，求出，根据证≌，根据全等三角形的性质即可得出；
与证明过程类似求出，，推出，得出菱形，证≌，求出，，即可推出结论．
本题主要考查对正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．