精品解析：江苏省连云港市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版）

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2022~2023学年第二学期期末调研考试高二数学试题注意事项：1.考试时间120分钟，试卷满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间，事件，事件，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先求出，和，然后利用条件概率公式求解即可.【详解】由题知，，，，所以.故选：B2. 设随机变量，且，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用正态分布曲线的性质即可求解.【详解】因为，，所以根据正态分布曲线特征可得，，即.故选：D3. 某杂交水稻研究小组先培育出第一代杂交水稻，再由第一代培育出第二代，第二代培育出第三代，以此类推，且亲代与子代的每穗总粒数之间的关系如下表所示：代数代码1234总粒数197193201209通过上面四组数据得到了与之间的线性回归方程是，预测第十代杂交水稻每穗的总粒数为（    ）A. 233 B. 234 C. 235 D. 236【答案】A【解析】【分析】求出样本中心，然后确定回归直线方程，即可求解预测当时，的估计值.【详解】由题意可知：，.因为回归直线方程经过样本中心，所以，解得，回归直线方程为：，当时，的估计值为：.故选：A.4. 若一个正棱台，其上､下底面分别是边长为和的正方形，高为，则该正棱台的外接球的表面积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件作图，利用求得，即可求出外接球半径，求出外接球表面积.【详解】根据条件，作正棱台图像如下，  则其外接球球心在高的延长线上，，，，所以，，由，可得，解得，所以外接球半径即，所以其外接球表面积为.故选：A5. 若4名学生报名参加数学､物理､计算机､航模兴趣小组，每人限报1项，则恰好航模小组没人报的方式有（    ）A. 18种 B. 36种 C. 72种 D. 144种【答案】B【解析】【分析】由题知先对学生进行分组，然后在对兴趣小组进行选择即可.【详解】因为题意要求恰好航模小组没人报，则将4名学生中的两个“捆绑”分为3组， 则此时有：种情况，然后选择三个小组有：，故满足题意的情况数为：，故选：B.6. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则（  ）A. α∥β且∥α B. α⊥β且⊥βC. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于【答案】D【解析】【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．7. 被除所得的余数是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由利用二项式定理展开即可得出的二项展开式，进而得出结果.【详解】因为，所以，所以被除所得的余数是.故选：C8. 在中，为斜边上异于的动点，若将沿折痕翻折，使点折至处，且二面角的大小为，则的最小值为（    ）A. 4 B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】依题意作出相应图形，得到，记，，利用空间数量积的运算性质可得出，从而求得的最小值.【详解】过点在平面内作直线，垂足为点，过点在平面内作直线，垂足为点，如下图所示：  ，，在中，，所以，记，且，则，所以，，因为二面角的大小为，即为向量，的夹角为，，且，所以，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，线段长度的最小值为4.故选：A.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，则（    ）A. B. C. D 【答案】AC【解析】【分析】求出的通项结合赋值法对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，令，则，故A正确；对于B，的通项为，所以令可得，故B错误；对于C，的通项为，所以当时，即，而，所以令，则，而，故C正确；对于D，令可得，，又因为令，则，所以，故D错误.故选：AC.10. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中取出4个数字，则（    ）A. 可以组成720个无重复数字的四位数B. 可以组成300个无重复数字且为奇数的四位数C. 可以组成270个无重复数字且比3400大的四位数D. 可以组成36个无重复数字且能被25整除的四位数【答案】ABD【解析】【分析】根据0不能排在首位，利用分步计数原理可判断A；先排个位，再排千位，然后排十位与百位可判断B；分三类，千位比3大的数，千位是3且百位比4大的数，千位是3且百位是4的数，进而可判断C；对个位与十位分两种情况讨论判断D.【详解】首位不能排0，有种排法，后面三位从剩下的6个数字中任选3个进行排列，所以共有，即可以组成720个无重复数字的四位数，A正确；个位从1，3，5选择一个，有种选法；千位数字不可选0，从剩下的5个中选一个，有种选法；在剩下的5个数字中选出2个，安排在百位、十位数字，有种选法，则个无重复数字的四位奇数；B正确；3400大的四位数分三类：第一类千位比3大的数，其它三位任意排，有个，第二类千位是3，百位比4大的数，其它两位任意排，有个，第三类千位是3，百位是4的数，其它两位任意排，有个，根据分类计数原理得比3400大的四位数共有，C不正确；能被25整除的四位数分两类：第一类：形如□□25，共个；第二类：形如□□50，共有个；能被25整除的四位数共有：个，D正确.故选：ABD.11. 袋内有除颜色外其它属性都相同的3个黑球和2个白球，则下列选项正确的是（    ）A. 有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是B. 有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是C. 不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是D. 不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是【答案】BCD【解析】【分析】AB选项，考虑有放回时，利用白球和黑球个数比例求出相应的概率；C选项，考虑两种情况，求出相应的概率求和即可；D选项，在C选项的基础上进行求解即可.【详解】A选项，有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率为，A错误；B选项，放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球，则前两次均摸到黑球，故概率为，B正确；C选项，不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球，分以下两种情况进行求解，前两次摸到1个白球，第三次摸到白球和前两次没有摸到白球，第三次摸到白球，其中前两次摸到1个白球，第三次摸到白球的概率为，前两次没有摸到白球，第三次摸到白球的概率为，综上：第三次摸到白球的概率为，C正确；D选项，不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率为，D正确.故选：BCD12. 在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方体的面内（含边界）移动，点为线段上的动点，设，则（    ）A. 当时，平面B. 为定值C. 的最小值为D. 当直线平面时，点的轨迹被以为球心，为半径的球截得长度为1【答案】ABD【解析】【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量可判断A；利用等体积法即可判断B；由两点间的距离公式求出，由二次函数的性质可判断C；根据面面平行的判定定理知点轨迹为线段，即可求出的轨迹被以为球心，为半径的球截得长度即可判断D.【详解】对于A，以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，  因为正方体的棱长为2，所以 ，，，，，，则，， 设平面的一个法向量为，则,取，则，因为，所以，所以，，因为平面，所以平面，故A正确；对于B，设点到平面的距离为，  则所以，因为点在正方体的面内（含边界）移动，又因为平面平面，所以点到平面的距离为定值，又因为为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；对于C，设，，所以，所以，所以，则，故C错误；对于D，连接，由正方体的性质知，，平面，平面，所以平面，，平面，平面，所以平面，，所以平面平面，因为点在正方体的面内（含边界）移动，当，则平面，则平面，则点轨迹为线段，取中点，连接，而△为等边三角形，则，以A为球心，为半径球截的长度为，故D正确；  故选：ABD.【点睛】方法点睛：立体几何中的动态问题：①几何法：根据图形特征，寻找两点之间的距离的范围；②坐标法：建立空间直角坐标系，利用坐标求范围.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某厂用甲､乙两台机器生产相同的零件，它们的产量各占，而各自的产品中废品率分别为，则该厂这种零件的废品率为__________.【答案】【解析】【分析】由全概率公式求解即可.【详解】由已知得，这种零件的废品率为.故答案为：14. 为考查某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表： 感染未感染注射1040未注射20300.050.0250.0103.8415.0246.635则在犯错误的概率最多不超过__________的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.参考公式：.【答案】0.05##【解析】【分析】补充列联表，计算可得，即可得出答案.【详解】补充列联表可得， 感染未感染合计注射104050未注册203050合计3070100所以，.所以，在犯错误的概率最多不超过的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系.故答案为：0.05.15. 将边长为正方形绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，与在平面的同侧，则异面直线与所成角的正切值为__________.【答案】【解析】【分析】设点在下底面圆周的射影为，连接，则，直线与所成角为或其补角，判断出的形状，即可得解.【详解】设点在下底面圆周的射影为，连接，则，所以，直线与所成角为或其补角，且，连接、、，则，，所以，，又因为，则为等边三角形，且，因为平面，平面，则，故为等腰直角三角形，故直线与所成角大小为，其正切值为.故答案为：.16. 如图，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，记这个数列的前项和为，则的值为__________.  【答案】454【解析】【分析】分组求和，结合组合数公式，计算出答案.【详解】根据组合知识可得.故答案为：454四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 在中，内角所对的边分别为.已知.（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】（1）    （2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化简即可求得.（2）利用面积公式和余弦定理即可求解.【小问1详解】由，得，在中，，在中，.【小问2详解】，由余弦定理得，，，的周长为.18. 李平放学回家途经3个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过.经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二､第三个路口遇到红灯的概率依次增加，在三个路口都没遇到红灯的概率为，在三个路口都遇到红灯的概率为，且他在各路口是否遇到红灯相互独立.（1）求李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率；（2）记为李平放学回家途中遇到红灯的路口个数，求数学期望.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）设第二､三个路口遇到红灯的概率分别为，由已知列出方程组，求解得出的值，即可得出答案；（2）的可能值为，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，分别求出取不同值的概率，列出分布列，然后根据期望公式，即可得出答案.【小问1详解】设第二､三个路口遇到红灯的概率分别为，，依题意可得解得或（舍去），所以李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率.【小问2详解】由已知可得，的可能值为，，，，，所以，分布列为0123所以，.19. 已知数列的前项和为.（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）根据，变形得到，从而得到，得到答案；（2）先在（1）的基础上求出，利用错位相减法求出答案.【小问1详解】因为，，，即，，即，是1为首项，1为公差的等差数列.【小问2详解】由（1）知，，，故①，②，两式相减得，，所以.20. 如图，在三棱锥中，，平面平面.  （1）求异面直线与间的距离；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）    （2）.【解析】【分析】（1）法一：根据等腰三角形性质得PO垂直AC，，根据线面垂直的判定定理得面，在面中，作，知为异面直线与间的距离可得答案；法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，且可得，由异面直线与间的距离向量求法可得答案；（2）方法一：在平面内作，则平面，在平面内作，则，得为二面角平面角，法一：设点到平面的距离为，利用得可得答案；法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量求法可得答案.【小问1详解】法一：取中点，连接，由知，又平面平面，平面平面，故平面，连接，则，又因为为中点，故，面，故面，在面中，作，则由知为异面直线与间的距离，由，知，即异面直线与间的距离为；   法二：取中点，连接，由知，又平面平面，平面平面，故平面以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，则，设，且，则，令，则，又，则异面直线与间的距离为；  【小问2详解】由（1）知平面，可得平面平面，如图，在平面内作，垂足为，则平面，在平面内作，垂足为，联结，平面，所以，且，平面，所以平面，平面，所以   故为二面角的平面角，即，设，则，在Rt中，，在Rt中，由知，得，法一：设点到平面的距离为，由，得，即，又，解得，则与平面所成角的正弦值为；法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图，则，，设平面的法向量为，则由，知，令，则，则与所成角的余弦值为，则与平面所成角的正弦值.  21. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为正数且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆及直线分别于点和点，且.证明：直线过定点.【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率与椭圆上的点列方程求解即可得椭圆方程；（2）设直线的方程为：，，联立直线与椭圆得交点坐标关系，再结合线段坐标表示求解的值即可得结论.【小问1详解】由题知，解得：，所以椭圆.【小问2详解】设直线的方程为：，，  由，得，由得，设，则，，，射线OP的方程为，由，得；由，得，由，得，即，解得，直线恒过定点.【点睛】方法点睛：本题考察直线过定点问题，常用方法：设直线方程，联立曲线方程消元，根据韦达定理，结合已知条件列方程，寻找k和b的关系，代回直线方程化为点斜式可得.22. 已知函数.（1）当为何值时，轴为曲线的切线；（2）用表示中的最大值，设函数，试讨论函数零点的个数.【答案】（1）    （2）答案见解析【解析】【分析】（1）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值；（2）根据对数函数的图象与性质将分为，研究 的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.【小问1详解】设曲线与轴相切于点，则，即，解得.【小问2详解】当时，在无零点.当时，若，则，故是的零点；若，则，故不是的零点.当时，，所以只需考虑在的零点个数.（i）若或，则在无零点，故在单调，而，所以当时，在有一个零点；当时，在无零点.（ii）若，则在单调递增，在单调递减，故当时，取的最大值，最大值为.①若，即无零点.②若，即，则在有唯一零点；③若，即，由于，所以当时，在有两个零点；当时，在有一个零点.综上，当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.【点睛】方法点睛：利用导数研究方程根（函数零点）的技巧（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．