湖南省衡阳市衡阳县2022-2023学年高二创新实验班下学期期末数学试题

2023年上学期高二创新实验班期末质量检测

数学试题卷

本试题卷共22题，全卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色签字笔直接将答案写在答题卡上对应题号的答题区域内，写在试题卷和草稿纸上均无效。

3.考试结束后，只交答题卡。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设复数满足，则的共轭复数的虚部为（    ）

A. B. C. D.2

2.设集合，，则（    ）

A. B. C. D.

3.2023年春节在北京工作的五个家庭，开车搭伴一起回老家过年，若五辆车分别为A，B，C，D，E，五辆车随机排成一排，则A车与B车相邻，A车与C车不相邻的排法有（    ）

A.36种 B.42种 C.48种 D.60种

4.在中，，D是AC的中点，若，则（    ）

A. B.2 C. D.3

5.如图，在棱长为2的正四面体中，点E，F分别为棱AB，BC的中点，则下列结论错误的是（    ）

A.直线平面 B.平面平面

C.点F到平面的距离为 D.异面直线AB与CD所成角为90°

6.已知，，，则（    ）

A. B. C. D.

7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为椭圆C的左顶点，以为直径的圆与椭圆C在第一、二象限的交点分别为M，N，若直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（    ）

A. B. C. D.

8.已知函数及其导数的定义域均为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（    ）

A. B.

C. D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的有（    ）

A.若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B对立

B.若随机变量，则方差

C.若随机变量，，则

D.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和

10.已知函数，则下列说法正确的有（    ）

A.若，则

B.将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称

C.函数的最小正周期为

D.若在上有且仅有3个零点，则的取值范围为

11.设，过定点A的动直线，和过定点B的动直线交于点P，M是圆上的任意一点，则下列说法正确的有（    ）

A.直线与圆C相切时 B.到距离的最大值是

C.直线与圆C相交的最短弦长为 D.的最大值为

12.已知函数的两个零点分别为，，且，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.存在实数a，使得 D.若，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若函数为偶函数，则______.

14.已知等比数列满足，且，则的最小值为______.

15.古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点A，B满足，若，则双曲线C的离心率______.

16.已知D，E分别为边长为2的等边边，的中点，现将沿DE翻折使得平面平面，则棱锥外接球的表面积为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，CD平分交于点D，.

（1）求；

（2）求的面积.

18.（本题满分12分）已知数列的前n项和为，.

（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和.

19.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面（垂足H在矩形内），E为棱的中点，平面.

（1）证明：；

（2）若，直线PC与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值.

20.（本题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病.下面是两种化验方案：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止.

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性，则表明患病动物为这3只中的1只，然后逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取1只化验.

（1）设依方案甲所需化验次为X，求X的分布列与期望；

（2）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率.

21.（本题满分12分）函数在点处的切线方程为.

（1）求实数a，b的值；

（2）求的单调区间；

（3）对，成立，求实数k的取值范围.

22.（本题满分12分）已知点，P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.

（1）求C的方程；

（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形的面积最小时，求l的方程.

2023年上学期高二创新实验班期末质量检测

数学参考答架

一、选择题

8.【解析】（1）∵是奇函数，∴，令得：，

又在R上单调递增，∴当，；当，

故在上单调递减，在上単调递增.

（2）∵，∴（c为常数）

令得：，∴，即的图象关于直线对称

由已知得：，，，

（3）①先比较a，c：∵

， ∴

②再比较与c：∵

∴，

故，又在上单调递增，

∴，所以选C

三、填空题

13.2 14.8 15. 16.

四、解答题

17.（本题满分10分）

【解析】

解法一：（1）∵且

∴

又 ，∴，∵，∴，……2分

在中，∵，，

由正弦定理得：，∴

∴sin……4分

又，∴.……5分

（2）在中，∵，，∴

∵CD是的平分线，∴，∴，即

∴……7分

又……9分

∴.……10分

解法二：（1）同解法一.……5分

（2）在中，∵，，∴

∵CD是的平分线，∴，∴，……6分

在中，∵，，

由正弦定理得：，∴，.……8分

∴……10分

18.（本题满分12分）

【答穿】（1）证明见解析：；

（2）

【解析】（1）∵……①

当时，且，解得

当时，……②

得：，整理得：

∴，又

∴数列为等比数列，公比为2，首项为2

∴，∴……6分

（2）∵

∴

……③

则……④

得：

∴， ∴……12分

19.（本题满分12分）

【解析】（1）延长交于点，连按，，

又E为棱PC的中点，∴H为CF的中点，

∴BH是直角三角形BCF斜边上的中线

∴

∴，∴，……5分

（2）以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

∵平面，∴CH是PC在平面内的影，

∴是直线与立面所成角，∴……6分

∴为等腰直角三角形，

设，则，则 ∴

∴， 又，，，，

∴，

设平面的法向量为，

由 令得：，

∴.……8分

同理求得平面的法向量.……9分

∴，

所以平面与平面夹角的余弦值为.……12分

20.（本题满分12分）

【解析】

（1）X的可能取值为1，2，3，4

， ， ， 

∴X的分布列为：

∴.……5分

（2）设依方案乙所需化验次数为Y，则Y的可能取值为2，3

， 

∴Y的分布列为：

……9分

∴ 

所以依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率为……12分

21.（本题满分12分）

【答案】（1）；

（2）函数的减区间是，增区间是：

（3）的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）求得，分别令，，即可求得a，b的值；

（2）由（1）得和，由于在区间上为增函数，且，进而得到函数的单调区间；

（3）由，成立，等价于，构造函数，再由（2）知当时，，即（当且仅当时取等号），即可求解实数的取值范围.

试题解析：

（1），依题意得，，则有.……4分

（2）由（1）得，，

由于在区间上为增函数，且，则

当时，；当时，，

故函数的单调递减区间是，单调递增区间是.……8分

（3），成立，等价于，

于是构造函数，则

由（2）知当时，，即对恒成立.

即（当且仅当时取等号）

所以函数，又时，，∴

所以，故的取值范围是.……12分

22.（本题满分12分）

【答案】（1），（2）或

【解析】

【小问1详解】

设，则以为直径的圆的圆心为，

根据圆与y轴相切，可得，

化简得，所以C的方程为……4分

【小问2详解】

解法一：

由题意可知：直线的斜率存在且不为0，设直线，，，

联立，

所以，，……5分

设直线的倾斜角为，则，，

所以，……6分

所以，……7分

由题意可知四边形为梯形，所以

，……9分

设，则，

所以.

当，，单调递增，当，，单调递减，

所以当时，即时，面积最小，此时，

故直线的方程为：，即或……12分

解法二：

设，，直线

联立消得：，∴，……分

直线，令得，∴

同理：，所以

……9分

令，则，

设，则

令得：或（舍去）

当时，，∴单调递减：

当时，，∴单调递增

故时，有最小值，即有最小值，

此时，，，∴……12分