精品解析：湖北省十堰市2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题（解析版）

十堰市2022~2023学年下学期期末调研考试

高二数学

全卷满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填与在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.

3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在等比数列中，，则（    ）

A. 1 B. 2 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用等比中项的含义可求答案.

【详解】因为，所以.

故选：D.

2. 函数的导数（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据导数公式可得.

【详解】由知

故选：B

3. 若随机变量，则（    ）

A. 4.8 B. 2.4 C. 9.6 D. 8.6

【答案】C

【解析】

【分析】由，求出，进而由线性关系计算出.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：C

4. 已知，则（    ）

A. 1 B. 0 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用赋值法，先令，求出，再令，求出，从而可求得结果.

【详解】令，得.

令，得，

所以.

故选：B

5. 记为的任意一种排列，则使得为偶数的排列种数为（    ）

A. 8 B. 12 C. 16 D. 18

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可知只有偶数，从而可求得结果.

【详解】因为只有为偶数，

所以使得为偶数的排列种数为.

故选：A

6. 的展开式中的系数为（    ）

A.  B.  C. 672 D. 112

【答案】A

【解析】

【分析】首先展开式为，再根据的二项展开式的通项公式，求展开式中的系数.

【详解】因为的展开式的通项为，

所以，展开式中的系数为.

故选：A

7. 若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数，，若和存在唯一的“隔离直线”，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设出切点坐标，由公切线列出等量关系，求解即可.

【详解】当与相切时，只有唯一的“隔离直线”，

且“隔离直线”为公切线.设切点为，

则即所以.

故选：D.

8. 已知有编号为的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个2号球，两个3号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在两次取球编号不同的条件下（    ）

A. 第二次取到1号球的概率最大

B. 第二次取到2号球的概率最大

C. 第二次取到3号球的概率最大

D. 第二次取到号球的概率都相同

【答案】B

【解析】

【分析】分别计算出两次取球编号不同的条件下，第二次取到1号球，2号球，3号球的概率，比较大小即可.

【详解】两次取球编号不同的条件下，第二次取到1号球的概率；

两次取球编号不同的条件下，第二次取到2号球的概率；

两次取球编号不同的条件下，第二次取到3号球的概率.

故两次取球编号不同的条件下，第二次取到2号球的概率最大.

故选：B

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 设数列、都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】取，，可判断A选项；利用等比数列的定义可判断BD选项；取可判断C选项.

【详解】设等比数列、的公比分别为、，其中，，

对任意的，，，

对于A选项，不妨取，，则数列、都是等比数列，

但对任意的，，

故数列不是等比数列，A不满足条件；

对于B选项，，即数列为等边数列，B满足条件；

对于C选项，当时，，此时，不是等比数列，C不满足条件；

对于D选项，，故为等比数列，D满足条件.

故选：BD.

10. 某同学求得一个离散型随机变量的分布列为

则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，由概率和为1列方程可求出的值，对于B，由期望公式求解即可，对于C，利用方差公式求解，对于D，利用标准差公式计算即可.

【详解】由，得，所以A正确；

因为，所以B正确；

因为，所以C不正确；

因为，所以D正确.

故选：ABD

11. 为研究如何合理施用有机肥，使其最大限度地促进某种作物的增产，同时减少对周围环境的污染，某研究团队收集了7组某种有机肥的施用量和当季该种作物的亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如表所示的一些统计量的值，其中，有机肥施用量为（单位：千克），当季该种作物的亩产量为（单位：百千克）.

现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型II为非线性经验回归方程，经计算可得此方程为，另外计算得到模型I的决定系数和模型II的决定系数，则（    ）

A.

B. 模型II的拟合效果比较好

C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量一定增加0.17个单位

D. 若7组数据对应七个点，则至少有一个点在经验回归直线上

【答案】AB

【解析】

【分析】A选项，计算出，代入中，求出；B选项，越大，拟合效果越好；CD选项，根据线性回归方程的意义作出判断；

【详解】A选项，由题意得，

，

模型的经验回归方程为，所以，即，故A正确；

B选项，因为越大，拟合效果越好，所以模型II的拟合效果比较好，故B正确；

C选项，在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加0.17个单位，故C错误；

D选项，因为有可能没有数据点在经验回归直线上，所以D错误.

故选：AB

12. 已知定义域为的函数的导函数为，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】构造函数，利用函数单调性比较大小.

【详解】令，则，所以函数在上单调递增.

因为，所以，即，所以，，故A错误.

因为，当且仅当时，等号成立，所以，

所以，即，所以，故B正确.

令，则.

当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.

因为，所以，所以，

所以，即，故C正确.

因为，所以，所以，所以，

所以，即，故D错误.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是根据条件构造函数，判断单调性，比较自变量的大小，可得函数值的大小.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】利用求导得出单调区间，即可得出最值，求出结果.

【详解】因为，

，或，

，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

因为，

所以，故.

故答案为：

14. 设等比数列的前项和为，若，则__________.

【答案】156

【解析】

【分析】方法一：设等比数列的公比为，然后由列方程可求出，再利用等比数列的求和公式对化简计算即可，方法二：利用等比数列前项和的性质计算即可.

【详解】法一：设等比数列的公比为，显然.

因为，所以，

所以.

法二：设，则.因为为等比数列，

所以仍成等比数列.

因为，所以，

所以，即.

故答案为：156

15. 的展开式中系数最大的项是第__________项.

【答案】10

【解析】

【分析】设系数最大的项是第项，由展开式通项公式列不等式组即可求解.

【详解】展开式的通项为，

由

得，因为，所以，

故系数最大的项是第10项.

故答案为：10

16. 法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.他将具有分数维的图形称为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为3，在线段上取两个点，使得，以为一边在线段的上方作一个正三角形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的线段做相同的操作，得到图3中的图形.依此类推，则第个图形中新出现的等边三角形的边长为__________；第个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为__________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】依题意设第个图形中新出现的等边三角形的边长为，即可归纳出，

设第个图形中新增加的等边三角形的个数为，归纳得到，设第个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为，

则，再利用累加法计算可得.

【详解】依题意设第个图形中新出现的等边三角形的边长为，

则，，，所以当时，.

设第个图形中新增加的等边三角形的个数为，

则，，，，所以当时，，

设第个图形（图1为第一个图形）中所有线段长的和为，

则，其中，

由累加法可得，其中.

当时，显然成立，

所以第个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为.

故答案为：，

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知等比数列的前项和为，且.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）方法一：由题意可得，解方程组求出，从而可求出通项公式，方法二：由，得，两式相减可求出公比，再由可求出，从而可求出通项公式，

（2）由（1）得，再利用错位相减法可求得.

【小问1详解】

方法一：设等比数列的首项为，公比为.

由，得，即，

解得，

故

方法二：设等比数列的首项为，公比为.

由，得，

两式相减得，即，得.

由，得，解得.

故.

【小问2详解】

因为，

所以，①

.②

由①-②得

，

故.

18. 已知函数.

（1）若是的极值点，求；

（2）当时，在区间上恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先求函数的导数，根据函数的极值点，求，再回代函数，求函数的导数，进行验证；

（2）首先求函数的导数，根据，确定函数在区间的单调性，将不等式恒成立，转化为，即可求实数的取值范围.

【小问1详解】

因为，所以.

因为是的极值点，所以，解得.

当时，.

令，得；令，得.

所以在上单调递增，在上单调递减，

故是的极小值点.

综上，.

【小问2详解】

因为，所以.

令，得，令，得或，

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

因为在区间上恒成立，所以

解得.又因为，所以，故的取值范围是.

19. 世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.

（1）从这三个社区中随机各选取1名居民，求至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率；

（2）从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；

（3）假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，现从这三个社区中随机选取1名居民，求该居民每周运动总时间为3至5小时的概率.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据概率公式，先算出该居民是各社区且每周运动时间没有超过5小时的概率，由对立事件的概率公式求解即可；

（2）由于三个社区的居民人数之比为，设出三个社区的居民人数，计算出各社区每周运动总时间超过5小时的人数，然后由频率估计概率即可；

（3）由正态分布的性质结合条件求解即可.

【小问1详解】

设从三个社区中各选取的1名居民的每周运动总时间超过5小时分别为事件，

则.

设选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时为事件，

则事件的对立事件为选取的3名居民每周运动总时间都没有超过5小时，

所以，

故选取3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率为.

【小问2详解】

设三个社区的居民人数分别为，

则社区每周运动总时间超过5小时的人数为，

社区每周运动总时间超过5小时的人数为，

社区每周运动总时间超过5小时的人数为，

所以，故从这3个社区中随机抽取1名居民且每周运动总时间超过5小时的概率.

【小问3详解】

因为，所以.

因为，所以，

所以.

20. 已知数列的前项和为且.

（1）求的通项公式；

（2）为满足的的个数，求使成立的最小正整数的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先由前项和的递推公式通过累乘法算出，然后由与的关系解出通项公式.

（2）不等式左边利用分组求和的方法求出和，然后构造函数结合作差法与二项式展开式来判断函数单调性，进而解出值.

【小问1详解】

因为，所以，

所以，

累乘得，所以.

符合上式，所以.

当时，，则，

所以.

因为符合上式，所以.

【小问2详解】

由题意知，

则.

令，

则.

由二项式展开式.

所以，

所以单调递增.

因为，所以的最小值是11.

21. 湖北省教育厅出台《全省学校安全专项治理工作方案》，加强校园“十防”、“七全”安全教育和防范工作.为了普及安全教育，增强学生安全意识，武汉市准备组织一次安全知识竞赛.某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，记“性别为男”，“得分超过85分”，且.

（1）完成下列列联表，并根据小概率值独立性检验，能否推断该校学生了解安全知识的程度与性别有关？

（2）学校准备分别选取参与测试的男生和女生前两名学生代表学校参加竞赛，已知男生获奖的概率为，女生获奖的概率为，记该校获奖的人数为，求的分布列与数学期望.

附参考公式：.，其中.下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.

【答案】（1）列联表见解析，认为了解安全知识的程度与性别有关   

（2）分布列见解析，数学期望为

【解析】

【分析】（1）根据概率公式以及独立性检验的方法求解；

（2）根据概率的乘法公式和分布列的概念求解.

【小问1详解】

因为，

所以，即，

所以，

所以200人中男生有120人，女生有80人，测试成绩超过85分的有150人，其中男生100人，女生50人.列联表如下：

零假设为：该校学生了解安全知识的程度与性别没有关联.

根据列联表中的数据，经计算得到,

根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，

即认为了解安全知识的程度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.

【小问2详解】

可能取.,

,

,

,

.

所以的分布列为

所以.

22. 已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若与函数的图象有三个不同的交点，求的取值范围.（参考数据：.）

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）运用求导公式求导，对进行分类讨论.

（2）将两函数图象的交点个数问题转化为函数零点的个数问题，继而运用导数求解.

【详解】（1）因为，所以.

当时，恒成立，则在上单调递增；

当时，令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2）因为函数与函数的图象有三个不同的交点，

所以关于的方程有三个不同的根.

令，则有三个不同的零点.

.

当时，单调递增，则至多有一个零点，不合题意.

令，则.

当时，因为，所以，

所以单调递减，所以至多有一个零点，不合题意.

当时，令，得，且.

当，即时，，则，所以在上单调递增.

因为是连续的函数，且，

所以，所以在上只有一个零点.

当或，即或时，，

则在上单调递减.

令，

则，所以在上单调递增.

因为，所以.

因为，所以.

因为是连续的函数，所以在上只有一个零点.

设在上的零点为，且，

因为，故为奇函数，所以.

因为是连续的函数，所以在上只有一个零点.

综上可知，的取值范围为

【点睛】第二问，将交点个数转化为函数零点个数之后，对进行分类讨论，此题关键之处在于巧妙的构造函数，在找出两个零点之后，第三个零点借助奇偶性来找.属于难题.