（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点23 二元一次不等式（组）与简单的线性规划 (含解析)

这是一份（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点23 二元一次不等式（组）与简单的线性规划 (含解析)，共11页。试卷主要包含了二元一次不等式表示的平面区域，线性规划中的基本概念，利用线性规划求最值的基本步骤，设变量x，y满足约束条件等内容，欢迎下载使用。
考点二十三  二元一次不等式（组）与简单的线性规划知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)直线l：Ax＋By＋C＝0把直角坐标平面内的所有点分成三类：在直线Ax＋By＋C＝0上的点；在直线Ax＋By＋C＝0上方区域内的点；在直线Ax＋By＋C＝0下方区域内的点．(2) 二元一次不等式组表示的平面区域：不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域．2．确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)基本方法：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．(2)关于边界问题：当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．3．线性规划中的基本概念名称定义约束条件变量x、y满足的一次不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x、y的线性函数可行域约束条件所表示的平面区域称为可行域最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题4．利用线性规划求最值的基本步骤(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.典例剖析题型一  二元一次不等式（组）表示的平面区域例1　(1) 已知点P(3，－1)和A(－1,2)在直线ax＋2y－1＝0的两侧，则实数a的取值范围为____________． (2) 不等式组表示的平面区域是____________．(填序号)①                                                                                                                   ②              ③                  ④答案  (1) (－∞，1)∪(3，＋∞)   (2) ②解析  (1)∵P、A在直线ax＋2y－1＝0的两侧，∴(3a－3)(－a＋3)<0，得a>3或a<1.(2)把(0,0)代入第一条直线，满足不等式，所以在x－3y＋6＝0的下方区域（含边界），把(0,0)代入第二条直线，不满足 x－y＋2＜0，所以在直线x－y＋2＝0的上方区域（不含边界），取二者公共区域，答案为②.变式训练  求不等式组表示的平面区域的面积．解析  不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.解题要点  判断在直线哪一侧，一般取特殊点，如果直线不过原点，就取原点判断；若直线过原点，就另取点(1,0)或(0,1)等判断.题型二  求线性目标函数最值问题例2　（2015山东文）若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最大值为______．答案　7解析　不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．∵z＝x＋3y，∴y＝－x＋.将直线y＝－x向上平行移动，当经过点C时，z取得最大值，由方程组得∴C(1,2)，∴z的最大值为zmax＝1＋3×2＝7.变式训练  （2015新课标Ⅰ文）若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为________．答案　4解析　x,y满足条件的可行域如图所示的阴影部分,当z＝3x＋y过A(1,1)时有最大值，z＝4.解题要点  求z＝ax＋by(ab≠0)的最值方法将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．(1)当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；(2)当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．准确做出可行域，是解决此类问题的关键.题型三  利用线性规划求解非线性问题最值例3　变量x，y满足(1)设z＝，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．解析  由约束条件作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示．由解得A.由解得C(1，1)．由解得B(5，2)．  (1)∵z＝＝，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝.(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.∴2≤z≤29.变式训练  若实数x，y满足则的取值范围是________．答案  [1，5]解析  由题可知＝，即为求不等式所表示的平面区域内的点与(0，－1)的连线斜率k的取值范围，由图可知k∈[1，5]．解题要点  解决此类问题，关键是弄清楚目标函数的几何意义，然后利用数形结合思想求解。常见的目标函数及其几何意义如下：(1)斜率型：表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率值；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率值．(2)距离型： 表示点(x，y)与原点(0，0)的距离；表示点(x，y)与点(a，b)的距离； 题型四  利用线性规划求解实际问题例4　(2013·湖北高考)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为____________．答案  36 800元解析  设租用A型车x辆，B型车y辆，则约束条件为,目标函数为z＝1 600x＋2 400y，作出可行域，如图中阴影部分所示，  由图可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin ＝36 800(元)．解题要点  利用线性规划求解应用题时，应仔细审题，可借助表格来分析数据间联系，从而正确列出约束条件。解题时还应注意所求解是否为整数解。对于整点问题，通常是在可行解附近寻求距直线最近的整点，或者用调整优值法寻求最优解。当堂练习1．（2015安徽文）已知x，y满足约束条件则z＝－2x＋y的最大值是____________．答案　－1解析　约束条件下的可行域如图所示，由z＝－2x＋y可知y＝2x＋z，当直线y＝2x＋z过点A(1,1)时，截距最大，此时z最大为－1.2．（2015广东理）若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为____________．答案　解析　不等式组所表示的可行域如下图所示，由z＝3x＋2y得y＝－x＋，依题当目标函数直线l：y＝－x＋经过A时，z取得最小值即zmin＝3×1＋2×＝.3. (2015湖北文)设变量x，y满足约束条件则3x＋y的最大值为________．答案　10解析　作出约束条件表示的可行域如图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是(3,1)，(1,3)，(－1，－3)，将三个点的坐标依次代入3x＋y，求得的值分别为10,6，－6，比较可得3x＋y的最大值为10.4．（2015天津文）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋y的最大值为____________．答案　9解析　作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分，作直线l：3x＋y＝0，平移直线l可知，经过点A时，z＝3x＋y取得最大值，由得A(2,3)，故zmax＝3×2＋3＝9.5．（2015新课标Ⅰ理）若x，y满足约束条件则的最大值为________．答案　3解析　由约束条件可画出可行域，利用的几何意义求解．画出可行域如图阴影所示，∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x，y)在点A处时最大．由　得∴A(1,3)．∴的最大值为3.课后作业一、    填空题1． （2015福建理）若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值等于____________．答案　－解析　如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z＝2x－y可化为y＝2x－z，由图形可知当y＝2x－z过点时z最小，zmin＝2×(－1)－＝－.2．（2015新课标II文）若x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为________．答案   8解析　画出约束条件表示的可行域，为如图所示的阴影三角形ABC.作直线l0：2x＋y＝0，平移l0到过点A的直线l时，可使直线z＝x＋y在y轴上的截距最大，即z最大，解得即A(3,2)，故z最大＝2×3＋2＝8. 3．（2015陕西文）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为____________． 甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128答案　18万元解析　设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值．由得A(2,3)．则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．4．（2015山东理）已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝____________．答案　2解析　不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A(2,0)，由得B(1,1)．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在O(0,0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，当a＝2或3时，z＝ax＋y在A(2,0)处取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2.5．（2015广东文）若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋3y的最大值为____________．答案　5解析　如图，过点(4，－1)时，z有最大值zmax＝2×4－3＝5. 6．（2015湖南文）若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值为___________．答案　－1解析　作出表示的平面区域如图：平移直线y＝2x－z知，过点M(0,1)时，z最小＝－1. 7．（2015天津理）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为____________．答案　18解析　画出约束条件的可行域如图阴影，作直线l：x＋6y＝0，平移直线l可知，直线l过点A时，目标函数z＝x＋6y取得最大值，易得A(0,3)，所以zmax＝0＋6×3＝18.8．（2015福建文）变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于____________．答案　1解析　当m＝－2时，可行域如图(1)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值. 当m＝－1时，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如图(2)，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值. 当m＝1时可行域如图(3)，当直线y＝2x－z过点A(2,2)时截距最小，z最大为2.当m＝2时，可行域如图(4)，直线y＝2x－z与直线OB平行，截距最小值为0，z最大为0.9．（2015新课标II理）若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为____________．答案　解析　画出约束条件表示的可行域为如图所示的阴影三角形ABC.作直线l0：x＋y＝0，平移l0到过点A的直线l时，可使直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，即z最大，解得即A，故z最大＝1＋＝.10．设变量x，y满足约束条件：则目标函数z＝的最小值为__________．答案  1解析  不等式组所表示的平面区域如图中的△ABC，目标函数的几何意义是区域内的点与点P(0，－1)连线的斜率，显然图中AP的斜率最小．由解得点A的坐标为(2,1)，故目标函数z＝的最小值为＝1.11．已知x和y是实数，且满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值是________．答案  解析  做出不等式对应的可行域如图所示，由z＝2x＋3y得y＝－x＋，做直线y＝－x，平移直线y＝－x，由图象可知当直线经过C点时，直线y＝－x＋的截距最小，此时z最小，又C，代入目标函数得z＝2x＋3y＝2×＋3×＝.二、解答题12．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9克、咖啡4克、糖3克，乙种饮料每杯含奶粉4克、咖啡5克、糖10克．已知每天原料的使用限额为奶粉3600克、咖啡2000克、糖3000克，甲种饮料每杯能获利润0.7元，乙种饮料每杯能获利润1.2元，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？解析  设每天配制甲种饮料x杯、乙种饮料y杯可以获得最大利润，利润总额为z元．由条件知：z＝0.7x＋1.2y，变量x、y满足作出不等式组所表示的可行域如图所示．作直线l：0.7x＋1.2y＝0，把直线l向右上方平移至经过A点的位置时，z＝0.7x＋1.2y取最大值．由方程组得A点坐标(200,240)．答：应每天配制甲种饮料200杯，乙种饮料240杯方可获利最大．13．实数x、y满足若z＝，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；解析  z＝表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在)．而由，得B(1,2)，则kOB＝＝2.∴zmax不存在，zmin＝2，∴z的取值范围是[2，＋∞)．