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2023年河南省周口市扶沟县中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年河南省周口市扶沟县中考数学二模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省周口市扶沟县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，最大的数是( )
A. π B. −2 C. −2 3 D. −3
2. 中国首位女航天员刘洋曾经两次进入太空，分别执行了神舟九号、神舟十四号载人飞行任务，刘洋出生于河南郑州，她是河南9872万人的骄傲.将数据“9872万”用科学记数法表示为( )
A. 9.872×104 B. 9872×104 C. 9.872×108 D. 9.872×107
3. 4月23日上午，我县举行2023世界读书日系列活动暨书香校园行动启动仪式.希望以“世界读书日”活动为契机，开展“书香校园”系列活动，进一步推进文化校园建设.将“文”“化”“校”“园”“建”“设”这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“化”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. 校 B. 建 C. 园 D. 设
4. 下列运算结果错误的是( )
A. (2a+b)2=4a2+b2 B. (−a+b)(−a−b)=a2−b2
C. 3 5− 5=2 5 D. (−3a)3=−27a3
5. 如图，直线EF//AC，∠ABD的顶点B在直线EF上，若∠CAB=40°，∠ABD=60°则∠DBE的度数为( )
A. 100°
B. 120°
C. 140°
D. 160°
6. 某中学乒乓球队4名同学的身高分别是165cm，170cm，170cm，175cm，现又加入了1名同学，其身高是170cm，则加入前后，该乒乓球队队员身高的统计量中，发生变化的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
7. 下列数值不是不等式组5x−1>3x−4−13x≤23−x的整数解的是( )
A. −2 B. −1 C. 0 D. 1
8. 若|a−3|+ b−2=0，则关于x的一元二次方程(a−1)x2+bx+2=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知OA=OB=1，BC=2 2，将矩形ABCD绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标是( )
A. (3,2) B. (2,−3) C. (3,−2) D. (2,3)
10. 甲、乙两种物质的溶解度y(g)与温度t(℃)之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是( )
A. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B. 当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C. 当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D. 当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若代数式1 x−5有意义，则实数x的取值范围是______ ．
12. 请写出一个图象不经过第三象限的函数表达式______ ．
13. 根据高考综合改革实施方案，河南新高考格实行“3+1+2”模式.其中“3”指的是语文、数学、外语三科必考科目，“1”指的是在物理和历史中任选一科，“2”指的是在思想政治、地理、生物和化学中任选两科，若小明在思想政治、地理、生物和化学中任选两科，则选中地理和化学的概率是______ ．
14. 如图，以AC为直径的半圆O交CD于点B，以点B为圆心，BD长为半径的半圆B过点A与点O，若BD= 3，则阴影部分的面积是______ ．
15. 如图，在正方形ABCD中AB=4，点E，F分别是BC，CD边的中点，连接AF，DE交于点M，连接BM，将线段BM绕点B在平面内逆时针旋转α(0°<α<180°)，当△BMF是直角三角形时，MF的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题5.0分)
计算：|3−2 3|−(−π2)0−6tan30°−3−64．
17. (本小题5.0分)
化简：a2−1a+2÷(2−a+3a+2)．
18. (本小题9.0分)
2023年是爱国卫生运动开展71周年，2023年4月也是第35个爱国卫生月，为了倡导文明健康绿色环保生活方式，某市决定开展“爱国卫生行动，从我开始行动”主题演讲比赛.该市某中学将参加本校选拔赛的选手的成绩(满分为100分，得分为正整数)分成六组，并绘制了如图所示不完整的统计图表．
频数分布表
组别
成绩x/分
频数
A
70≤x<75
4
B
75≤x<80
6
C
80≤x<85
m
D
85≤x<90
n
E
90≤x<95
14
F
95≤x<100
4
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)参加学校选拔赛的有______ 人；
(2)补全频数分布直方图；
(3)小华这次的成绩是87分，他分析后认为他的成绩刚好是参赛选手成绩的中位数.请问小华的想法是否一定正确？简要说明理由．
19. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6,8)，连接OA，过点A作x轴的垂线，垂足为B，∠AOB的平分线与线段AB交于点P．
(1)若反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点P，求反比例函数的解析式；
(2)如图，过点A作x轴的平行线，交射线OP于点Q，过点Q作OA的平行线，交x轴于点R，求证：四边形OAQR是菱形．
20. (本小题9.0分)
九年级某班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动.他们先从基地入口A处向正南方向走了300m到达菜园B处锄草，锄草完成之后，再从菜园B处沿正东方向到达手工坊C处进行手工制作，并测得入口A在手工坊C的北偏西60°方向上，手工制作完成之后，再从手工坊C处沿正北方向到达果园D处采摘水果，并且测得入口A在果园D的南偏西50°方向上.求入口与果园之间的距离AD.(结果保留整数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19， 3≈1.73)
21. (本小题9.0分)
数学综合实践课上，李老师在黑板上布置了一道尺规作图题如下：
利用尺规过圆外一点作圆的切线.已知：如图(1)，PA为⊙O的切线，切点为A．
求作：圆的另一条切线PB，切点为B．
下面是各个数学小组进行的一系列探究，请你根据探究内容解决问题．
(1)进步小组的作法：以点P为圆心，PA长为半径作弧，交⊙O于点B(非点A)，作直线PB，则直线PB即为所求作的切线．
问题：a.请你在图(2)中补全进步小组的作图痕迹．
b.进步小组通过连接OB，OP，证明△OBP≌△OAP，他们证明两个三角形全等的依据为______ (填“SAS”“SSS”或“AAS”)．
(2)希望小组的作法：如图(3)，连接OP，作OP的垂直平分线m交OP于点M，以点M为圆心，MO长为半径作圆，交⊙O于点B(非点A)，作直线PB，则直线PB即为所求作的切线．
问题：该组的小华根据作图方案给出如下证明过程．
证明：连接OB，由作图知，OP是⊙M的※____，
∴∠OBP=90°，(理由：◎_____)
即OB⊥BP
又OB是⊙O的半径，
∴BP为⊙O的切线．
在上述证明过程中，※处应该填写______ ；◎处应该填写______ (填序号)
①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
②90°的圆周角所对的弦是直径
③直径所对的圆周角是直角
④同弧所对的圆周角相等
(3)拓展小组的作法：如图(4)，连接OP交⊙O于点C，过点C作OP的垂线n，以点O为圆心，OP长为半径作弧，交直线n于点D，连接OD交⊙O于点B，作直线BP，则直线BP即为所求作的切线．
问题：请你结合该组作图方案给出证明过程．
22. (本小题9.0分)
党的二十大报告中指出，推动能源清洁低碳高效利用，推进工业、建筑、交通等领域清洁低碳转型，深入推进能源革命.某市交通管理局决定购买一批电动公交车取代燃油公交车.根据调查发现.购买A型电动公交车2辆、B型电动公交车1辆，共需资金112万元；购买A型电动公交车1辆、B型电动公交车1辆，共需资金76万元．
(1)求A、B两种型号的电动公交车的单价分别是多少万元．
(2)该交通管理局计划出资1128万元，准备购买这两种电动公交车共30辆，其中A型电动公交车的数量不多于20辆，请你设计出最省钱的购买方案．
23. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+3x+c经过点A(−1,0)，B(4,0)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点M(m,n)是抛物线上的点，将点M向左平移3个单位长度得到点M′，若点M恰好也在该抛物线上，求点M的坐标．
(3)在(2)的条件下，记点B与点M′之间的抛物线为图象G(含点B和点M′)，当直线y=x+b与图象G只有一个交点时，直接写出b的取值范围．
24. (本小题10.0分)
综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF(∠P=90°,∠F=60°)的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2)．
操作发现
(1)如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为______；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为______；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为______；
类比探究
(2)若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当BM=CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM=CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积(结果保留根号)；
拓展应用
(3)若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH(设∠GOH=α)，将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值(分别用含α的式子表示)．
(参考数据：sin15°= 6− 24，cos15°= 6+ 24，tan15°=2− 3)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵π>−2>−3>−2 3，
∴所给的实数中，最大的数是π．
故选：A．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】D
【解析】解：9872万=98720000=9.872×107．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：在原正方体中，与“化”字所在面相对的面上的汉字是“园”，
故选：C．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的问题，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、(2a+b)2=4a2+4ab+b2，故A符合题意；
B、(−a+b)(−a−b)=a2−b2，故B不符合题意；
C、3 5− 5=2 5，故C不符合题意；
D、(−3a)3=−27a3，故D不符合题意；
故选：A．
利用二次根式的加减法的法则，完全平方公式，平方差公式，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，完全平方公式，平方差公式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】D
【解析】解：∵EF//AC，
∴∠ABF=∠CAB=40°，
∴∠DBF=∠ABD−∠ABF=60°−40°=20°，
∵∠EBD+∠DBF=180°，
∴∠EBD=160°．
故选：D．
由平行线的性质得到∠ABF=∠CAB=40°，求出∠DBF=20°，由邻补角的性质即可求出∠EBD=160°．
本题考查平行线的性质，邻补角的性质，关键是由平行线的性质得到∠ABF的度数，求出∠DBF的度数．
6.【答案】D
【解析】解：加入前，
这4名同学的平均身高是：165+170+170+1754=170(cm)，
这4名同学的中位数是：170+1702=170(cm)，
这4名同学的众数是：170cm，
这4名同学的方差是：s2=14[(165−170)2+(170−170)2×2+(175−170)2]=12.5；
加入1名同学后，这5名同学的身高按从低到高的顺序排列为：165cm，170cm，170cm，170cm，175cm，
这5名同学的平均身高是：165+170+170+170+1755=170(cm)，
这5名同学的中位数是：170cm，
这5名同学的众数是：170cm，
这5名同学的方差是：s2=15[(165−170)2+(170−170)2×3+(175−170)2]=10，
故发生变化的统计量是方差，
故选：D．
先计算加入前4名同学的平均身高，中位数，众数，方差，然后计算加入1名同学后，5名同学的平均身高，中位数，众数，方差，根据计算结果比较即可得出答案．
本题主要考查了平均数，中位数，众数，方差，熟练掌握平均数，中位数，众数，方差的计算公式是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：5x−1>3x−4①−13x≤23−x②，
解不等式①，得：x>−32，
解不等式②，得：x≤1，
∴不等式组的解集为：−32
故选：A．
先分别求每个不等式的解集，取其解集的公共部分作为不等式组的解集，然后再确定其整数解．
本题考查解一元一次不等式组，掌握解不等式组的步骤准确计算是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵|a−3|+ b−2=0，
∴a−3=0，b−2=0，
∴a=3，b=2，
∴关于x的一元二次方程为x2+x+1=0，
∵Δ=12−4×1×1=1−4=−3<0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
先根据非负性求出a和b的值，再计算根的判别式的值得到Δ，然后根据根的判别式的意义进行判断．
本题考查了非负数的性质：绝对值，非负数的性质：算术平方根，根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
9.【答案】B
【解析】解：∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴旋转360°时与原矩形ABCD重合，
∵2021÷4=505…1，
∴第2021次旋转结束时与矩形ABCD旋转90°的位置一样，
过C作CE⊥x轴交于点E，
∵OA=OB=1，
∴∠ABO=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE=45°，
∴CE=BE，
∵BC=2 2，
∴CE=BE=2，
∴C(3,2)，
∵矩形ABCD绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，
则第1次旋转结束时，点C的坐标为(−2,3)；
则第2次旋转结束时，点C的坐标为(−3,−2)；
则第3次旋转结束时，点C的坐标为(2,−3)；
则第4次旋转结束时，点C的坐标为(3,2)；
…
发现规律：旋转4次一个循环，
∴2023÷4=505⋅⋅⋅3，
则第2023次旋转结束时，点C的坐标为(2,−3)．
故选：B．
由旋转的角度90°，可知旋转4次是一个循环，则第2023次旋转结束时与矩形ABCD顺时针旋转90°的位置一样，求出矩形ABCD顺时针旋转90°时C点坐标即可．
本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2023次旋转后矩形的位置是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由图象可知，A、B、C都正确，
当温度为t1℃时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，
故选：D．
利用函数图象的意义可得答案．
本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
11.【答案】x>5
【解析】解：∵代数式1 x−5有意义，
∴x−5>0，
解得x>5．
故答案为：x>5．
根据分式有意义，分母不为0，二次根式的被开方数是非负数列不等式解答即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握知识点是解题关键．
12.【答案】y=−2x(答案不唯一)
【解析】解：一次函数y=−2x经过第二、四象限，不经过第三象限，
故答案为：y=−2x(答案不唯一)．
根据题意可知一次函数y=kx+b中的k一定小于0，然后写出一个符合要求的函数即可．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确一次函数的性质，写出相应的函数解析式．
13.【答案】16
【解析】解：把思想政治、地理、生物和化学分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小明选中地理和化学的结果有2种，
∴小明选中地理和化学的概率是212=16，
故答案为：16．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明选中地理和化学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】74π−3 34
【解析】
如图，连接AB，OB，
由题意可得，BD=BA=BO=OA=OC= 3，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，∠BOC=120°，
∵AC为半圆O的直径，
∴∠ABD=∠ABC=90°，
∵AC=2OA=2 3，
∴BC= AC2−AB2= 12−3=3，
∵OA=OC，
∴S△AOB=S△BOC=12S△ABC=12×12AB⋅BC=12×12× 3×3=3 34，
∴S阴影=S扇形ABD−(S扇形AOB−S△AOB)+(S扇形ABO−S△AOB)+(S扇形BOC−S△BOC)
=S扇形ABD−S扇形AOB+S△AOB+S扇形ABO−S△AOB+S扇形BOC−S△BOC
=S扇形ABD+S扇形BOC−S△BOC
=90π×( 3)2360+120π×( 3)2360−3 34
=74π−3 34，
故答案为：74π−3 34．
连接AB，OB，易得BD=BA=BO=OA=OC= 3，△AOB为等边三角形，再利用直径所对的圆周角为直角及勾股定理可求得∠ABD=∠ABC=90°，BC=3，则S△AOB=S△BOC=12S△ABC=3 34，然后结合图形，利用扇形面积公式及面积的和差运算进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，结合图形，将阴影部分面积表示为S扇形ABD+S扇形BOC−S△BOC是解题的关键．
15.【答案】2或6
【解析】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：
∵AB=4，点E，F分别是BC，CD边的中点，
∴A(0,4)，D(4,4)，F(4,2)，E(2,0)，
∴直线AF解析式为y=−12x+4，
直线DE的解析式为y=2x−4，
联立y=−12x+4y=2x−4，解得x=165y=125，
∴M(165,125)，
∵B(0,0)，F(4,2)，
∴BM= (165)2+(125)2=4，BF= 42+22=2 5，
旋转后，△BMF是直角三角形，当M为直角顶点时，
MF= BF2−BM2= (2 5)2−42=2；
旋转后，△BMF是直角三角形，当B为直角顶点时，
MF= BM2+BF2= 42+(2 5)2=6；
综上所述，MF的长度为2或6；
故答案为：2或6．
以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，求出A(0,4)，D(4,4)，F(4,2)，E(2,0)，可得直线AF解析式为y=−12x+4，直线DE的解析式为y=2x−4，从而可得M(165,125)，BM=4，BF=2 5，分两种情况用勾股定理可得答案．
本题考查正方形中的旋转变换，涉及直角坐标系，一次函数，直角三角形等知识，解题的关键是建立直角坐标系，求出M的坐标．
16.【答案】解：|3−2 3|−(−π2)0−6tan30°−3−64
=2 3−3−1−6× 33+4
=2 3−3−1−2 3+4
=0．
【解析】先计算零次幂、立方根、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
17.【答案】解：原式=(a−1)(a+1)a+2÷[2(a+2)a+2−a+3a+2]
=(a−1)(a+1)a+2÷2a+4−a−3a+2
=(a−1)(a+1)a+2⋅a+2a+1
=a−1．
【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．
18.【答案】50
【解析】解：(1)∵D组所占百分比为86.4°360∘×100%=24%，C组所占百分比为20%，
∴A，B，E，F组所占百分比为：100%−20%−24%=56%，
∵A，B，E，F组的频数为：4+6+14+4=28，
∴参加学校选拔赛的人数为：28÷56%=50(人)，
故答案为：50；
(2)C组的频数m=20%×50=10(人)，
D组的频数n=24%×50=12(人)，
补全频数分布直方图如下：
(3)不一定正确．
理由如下：根据中位数的意义，参赛选手的中位数应位于成绩按由小到大排列，位于第25，26位成绩的平均数，观察频数分布表或频数分布直方图，可以判断出中位数位于D组(85≤x<90)，但D组的具体数据我们并不知道，因此无法确定中位数是否就是87.故不一定正确．
(1)先根据扇形统计图算出D组所占百分比，然后用A，B，E，F组的频数和以及这四组所占百分比可求出参加学校选拔赛的人数；
(2)由参加学校选拔赛的人数分别乘以C组D组所占百分比，求出m，n的值，补全频数分布直方图即可；
(3)根据中位数的意义和频数分布表中数据的分别情况分析，可作出判断．
本题考查扇形统计图，频数分布表，频数分布直方图，中位数，掌握统计图和相关概念的意义是解题的关键．
19.【答案】(1)解：过点P作PC⊥OA于点C，如图所示，
∵点A的坐标为(6,8)，AB⊥x轴，
∴OB=6，AB=8，
∴OA= OB2+AB2=10．
∵OP平分∠AOB，
∴PC=PB．
∵S△OBP=12OB⋅PB，S△OAP=12OA⋅PC=12OB⋅AP，
∴S△OBPS△OAP=12OB⋅PB12OA⋅PC=12OB⋅PB12OB⋅AP，
∴OBOA=PBAP，即610=PB8−PB，
∴PB=3，
经检验，PB=3是所列方程的解，且符合题意，
∴点P的坐标为(6,3)．
又∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点P，
∴k=6×3=18，
∴反比例函数的解析式为y=18x(x>0)；
(2)证明：∵AQ//x轴，OR在x轴上，QR//OA，
∴四边形OAQR是平行四边形．
设直线OP的解析式为y=mx+n(m≠0)，
将O(0,0)，P(6,3)代入y=mx+n得：n=06m+n=3，
解得：m=12n=0，
∴直线OP的解析式为y=12x.
当y=8时，8=12x，
解得：x=16，
∴点Q的坐标为(16,8)，
∴AQ=16−6=10=OA，
∴平行四边形OAQR是菱形．
【解析】(1)过点P作PC⊥OA于点C，由点A的坐标，可得出OB，AB的长，利用勾股定理可求出OA的长，由OP平分∠AOB，利用角平分线的性质，可得出PC=PB，利用面积法，可求出PB的长度，结合OB的长度，可得出点P的坐标，再利用反比例函数k的几何意义，可求出k值，进而可得出反比例函数的解析式；
(2)由AQ//x轴，OR在x轴上，QR//OA，可证出四边形OAQR是平行四边形，由点O，P的坐标，利用待定系数法，可求出直线OP的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点Q的坐标，结合点A的坐标，可得出AQ=10=OA，进而可证出平行四边形OAQR是菱形．
本题考查了勾股定理、角平分线的性质、三角形的面积、反比例函数k的几何意义、平行四边形的判定、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的判定，解题的关键是：(1)利用面积法，求出PB的长；(2)牢记“在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形邻边相等的平行四边形是菱形”．
20.【答案】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
由题意得：∠ABC=90°，∠ACD=60°，∠ADE=50°，BC=AE，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°−∠ACD=30°，AB=300米，
∴BC=ABtan30∘=300 33=300 3(米)，
∴AE=BC=300 3(米)，
在Rt△ADE中，AD=AEsin50∘≈300 30.77≈674(米)，
∴入口与果园之间的距离AD约为674米．
【解析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：∠ABC=90°，∠ACD=60°，∠ADE=50°，BC=AE，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】SSS 直径 ③
【解析】解：(1)a.如图(2)，作法：1.以点P为圆心，PA长为半径作弧，交⊙O于另一点B，
2.作直线PB，
直线PB即为所求作的切线．
b.证明：连接OB、OP，则OB=OA，由作图知，PB=PA，
在△OBP和△OAP中，
OB=OAPB=PAOP=OP，
∴△OBP≌△OAP(SSS)，
∴∠OBP=∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，切点为A，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，
∵OB是⊙O的半径，PB⊥OB，
∴直线PB是⊙O的切线．
故答案为：SSS．
(2)证明：如图(3)，连接OB，由作图知，OP是⊙M的直径，
∴∠OBP=90°，(理由：直径所对的圆周角是直角)
即OB⊥BP
又OB是⊙O的半径，
∴BP为⊙O的切线．
故答案为：直径，③．
(3)证明：由作图知，CD⊥OP于点C，OP=OD，OB=OC，
∴∠OCD=90°，
在△OBP和△OCD中，
OP=OD∠POB=∠DOCOB=OC，
∴△OBP≌△OCD(SAS)，
∴∠OBP=∠OCD=90°，
∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．
(1)a.按尺规作图的要求补全作图痕迹即可；
b.连接OB、OP，则OB=OA，由作图知，PB=PA，而OP=OP，即可根据全等三角形的判定定理“SSS”证明△OBP≌△OAP，可知证明△OBP≌△OAP的依据是“SSS”，于是得到问题的答案；
(2)连接OB，由作图知，OP是⊙M的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”得∠OBP=90°，即可由OB⊥BP，且OB是⊙O的半径，证明BP为⊙O的切线，于是得到问题的答案；
(3)由作图知，CD⊥OP于点C，OP=OD，OB=OC，则∠OCD=90°，而∠POB与∠DOC是△OBP和△OCD的公共角，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△OBP≌△OCD，得∠OBP=∠OCD=90°，即可证明PB是⊙O的切线．
此题重点考查尺规作图、线段的垂直平分线的性质、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定与性质、切线的性质定理和判定定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
22.【答案】解：(1)设A型电动公交车的单价为x万元，B型电动公交车的单价为y万元．
依题意，得2x+y=112x+y=76，
解得x=36y=40；
答：A型电动公交车的单价是36万元，B型电动公交车的单价是40万元．
(2)设购买A型电动公交车m辆，则购买B型电动公交车(30−m)辆．
依题意得36m+40(30−m)≤1128，解得m≥18．
又m≤20，
∴18≤m≤20．
设购买这两种电动公交车共30辆的总费用为w万元，
依题意，得w=36m+40(30−m)=−4m+1200．
∵−4<0，
∴w随m的增大而减小．
∴当m=20时，w取得最小值．此时30−m=30−20=10．
∴最省钱的购买方案为：购买A型电动公交车20辆，B型电动公交车10辆．
【解析】(1)设A型电动公交车的单价为x万元，B型电动公交车的单价为y万元．根据购买A型电动公交车2辆、B型电动公交车1辆，共需资金112万元；购买A型电动公交车1辆、B型电动公交车1辆，共需资金76万元，列出方程组进行求解即可；
(2)设购买A型电动公交车m辆，则购买B型电动公交车(30−m)辆，根据题意列出不等式，求出m的取值范围，设购买这两种电动公交车共30辆的总费用为w万元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质进行求解即可．
本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组和一次函数解析式，是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+3x+c经过点A(−1,0)，B(4,0)，
∴a−3+c=016a+12+c=0，
解得a=−1c=4，
∴抛物线的表达式为y=−x2+3x+4；
(2)∵y=−x2+3x+4，
∴对称轴为直线x=−32×(−1)=32，
∵点M(m,n)是抛物线上的点，将点M向左平移3个单位长度得到点M′(m−3,n)，点M′恰好也在该抛物线上，
∴m+m−32=32，
∴m=3，
∴点M的横坐标为3，
把x=3代入y=−x2+3x+4，得y=−9+9+4=4，
∴M(3,4)；
(3)由(2)可知，M′(0,4)，
当直线y=x+b经过点M′时，4=b，解得b=4，
当直线y=x+b经过点B时，0=4+b，解得b=−4，
令x+b=−x2+3x+4，整理得x2−2x+b−4=0，
Δ=(−2)2−4(b−4)=0，解得b=5，
∴当直线y=x+b与图象G只有一个交点时，b的取值范围是−4≤b<4或b=5．
【解析】(1)利用待定系数法即可求解；
(2)求得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性即可得出m+m−32=32，求得m的值，从而求得M点的坐标；
(3)求得直线经过点M′和点B时的b的值，以及直线与抛物线有一个交点时的b的值，结合图象即可求得b的取值范围．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，一次函数图象与系数的关系，坐标与图形变化−平移，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
24.【答案】1 1 S1=14S
【解析】解：(1)如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=14正方形ABCD的面积=1；
当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=14正方形ABCD的面积=1；
一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=14S.
理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OM=ON，
∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，
∴四边形OMBN是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形OMBN是正方形，
∴∠MON=∠EOF=90°，
∴∠MOJ=∠NOK，
∵∠OMJ=∠ONK=90°，
∴△OMJ≌△ONK(AAS)，
∴S△PMJ=S△ONK，
∴S四边形OKBJ=S正方形OMBN=14S正方形ABCD，
∴S1=14S.
故答案为：1，1，S1=14S.
(2)①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．
理由：过点O作OT⊥BC，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴BT=CT，
∵BM=CN，
∴MT=TN，
∵OT⊥MN，
∴OM=ON，
∵∠MON=60°，
∴△MON是等边三角形；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．
∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC，
∴△OCM≌△OCN(SAS)，
∴∠COM=∠CON=30°，
∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°，
∵OJ⊥CB，
∴∠JOM=90°−75°=15°，
∵BJ=JC=OJ=1，
∴JM=OJ⋅tan15°=2− 3，
∴CM=CJ−MJ=1−(2− 3)= 3−1，
∴S四边形OMCN=2×12×CM×OJ= 3−1．
(3)如图4−1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．
在Rt△MOQ中，MQ=OQ⋅tanα2=tanα2，
∴MN=2MQ=2tanα2，
∴S2=S△OMN=12×MN×OQ=tanα2．
如图4−2中，当CM=CN时，S2最大．
同法可证△COM≌△CON，
∴∠COM=12α，
∵∠COQ=45°，
∴∠MOQ=45°−12α，
QM=OQ⋅tan(45°−12α)=tan(45°−12α)，
∴MC=CQ−MQ=1−tan(45°−12α)，
∴S2=2S△CMO=2×12×CM×OQ=1−tan(45°−12α)．
(1)如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=14正方形ABCD的面积=1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=14正方形ABCD的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=14S.利用全等三角形的性质证明即可；
(2)①结论：△OMN是等边三角形．证明OM=ON，可得结论；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J.证明△OCM≌△OCN(SAS)，推出∠COM=∠CON=30°，解直角三角形求出OJ，即可解决问题；
(3)如图4−1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．如图4−2中，当CM=CN时，S2最大．分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2023年河南省周口市扶沟县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，最大的数是( )
A. π B. −2 C. −2 3 D. −3
2. 中国首位女航天员刘洋曾经两次进入太空，分别执行了神舟九号、神舟十四号载人飞行任务，刘洋出生于河南郑州，她是河南9872万人的骄傲.将数据“9872万”用科学记数法表示为( )
A. 9.872×104 B. 9872×104 C. 9.872×108 D. 9.872×107
3. 4月23日上午，我县举行2023世界读书日系列活动暨书香校园行动启动仪式.希望以“世界读书日”活动为契机，开展“书香校园”系列活动，进一步推进文化校园建设.将“文”“化”“校”“园”“建”“设”这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“化”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. 校 B. 建 C. 园 D. 设
4. 下列运算结果错误的是( )
A. (2a+b)2=4a2+b2 B. (−a+b)(−a−b)=a2−b2
C. 3 5− 5=2 5 D. (−3a)3=−27a3
5. 如图，直线EF//AC，∠ABD的顶点B在直线EF上，若∠CAB=40°，∠ABD=60°则∠DBE的度数为( )
A. 100°
B. 120°
C. 140°
D. 160°
6. 某中学乒乓球队4名同学的身高分别是165cm，170cm，170cm，175cm，现又加入了1名同学，其身高是170cm，则加入前后，该乒乓球队队员身高的统计量中，发生变化的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
7. 下列数值不是不等式组5x−1>3x−4−13x≤23−x的整数解的是( )
A. −2 B. −1 C. 0 D. 1
8. 若|a−3|+ b−2=0，则关于x的一元二次方程(a−1)x2+bx+2=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，顶点C，D在第一象限，已知OA=OB=1，BC=2 2，将矩形ABCD绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标是( )
A. (3,2) B. (2,−3) C. (3,−2) D. (2,3)
10. 甲、乙两种物质的溶解度y(g)与温度t(℃)之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是( )
A. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B. 当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C. 当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D. 当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若代数式1 x−5有意义，则实数x的取值范围是______ ．
12. 请写出一个图象不经过第三象限的函数表达式______ ．
13. 根据高考综合改革实施方案，河南新高考格实行“3+1+2”模式.其中“3”指的是语文、数学、外语三科必考科目，“1”指的是在物理和历史中任选一科，“2”指的是在思想政治、地理、生物和化学中任选两科，若小明在思想政治、地理、生物和化学中任选两科，则选中地理和化学的概率是______ ．
14. 如图，以AC为直径的半圆O交CD于点B，以点B为圆心，BD长为半径的半圆B过点A与点O，若BD= 3，则阴影部分的面积是______ ．
15. 如图，在正方形ABCD中AB=4，点E，F分别是BC，CD边的中点，连接AF，DE交于点M，连接BM，将线段BM绕点B在平面内逆时针旋转α(0°<α<180°)，当△BMF是直角三角形时，MF的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题5.0分)
计算：|3−2 3|−(−π2)0−6tan30°−3−64．
17. (本小题5.0分)
化简：a2−1a+2÷(2−a+3a+2)．
18. (本小题9.0分)
2023年是爱国卫生运动开展71周年，2023年4月也是第35个爱国卫生月，为了倡导文明健康绿色环保生活方式，某市决定开展“爱国卫生行动，从我开始行动”主题演讲比赛.该市某中学将参加本校选拔赛的选手的成绩(满分为100分，得分为正整数)分成六组，并绘制了如图所示不完整的统计图表．
频数分布表
组别
成绩x/分
频数
A
70≤x<75
4
B
75≤x<80
6
C
80≤x<85
m
D
85≤x<90
n
E
90≤x<95
14
F
95≤x<100
4
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)参加学校选拔赛的有______ 人；
(2)补全频数分布直方图；
(3)小华这次的成绩是87分，他分析后认为他的成绩刚好是参赛选手成绩的中位数.请问小华的想法是否一定正确？简要说明理由．
19. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6,8)，连接OA，过点A作x轴的垂线，垂足为B，∠AOB的平分线与线段AB交于点P．
(1)若反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点P，求反比例函数的解析式；
(2)如图，过点A作x轴的平行线，交射线OP于点Q，过点Q作OA的平行线，交x轴于点R，求证：四边形OAQR是菱形．
20. (本小题9.0分)
九年级某班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动.他们先从基地入口A处向正南方向走了300m到达菜园B处锄草，锄草完成之后，再从菜园B处沿正东方向到达手工坊C处进行手工制作，并测得入口A在手工坊C的北偏西60°方向上，手工制作完成之后，再从手工坊C处沿正北方向到达果园D处采摘水果，并且测得入口A在果园D的南偏西50°方向上.求入口与果园之间的距离AD.(结果保留整数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19， 3≈1.73)
21. (本小题9.0分)
数学综合实践课上，李老师在黑板上布置了一道尺规作图题如下：
利用尺规过圆外一点作圆的切线.已知：如图(1)，PA为⊙O的切线，切点为A．
求作：圆的另一条切线PB，切点为B．
下面是各个数学小组进行的一系列探究，请你根据探究内容解决问题．
(1)进步小组的作法：以点P为圆心，PA长为半径作弧，交⊙O于点B(非点A)，作直线PB，则直线PB即为所求作的切线．
问题：a.请你在图(2)中补全进步小组的作图痕迹．
b.进步小组通过连接OB，OP，证明△OBP≌△OAP，他们证明两个三角形全等的依据为______ (填“SAS”“SSS”或“AAS”)．
(2)希望小组的作法：如图(3)，连接OP，作OP的垂直平分线m交OP于点M，以点M为圆心，MO长为半径作圆，交⊙O于点B(非点A)，作直线PB，则直线PB即为所求作的切线．
问题：该组的小华根据作图方案给出如下证明过程．
证明：连接OB，由作图知，OP是⊙M的※____，
∴∠OBP=90°，(理由：◎_____)
即OB⊥BP
又OB是⊙O的半径，
∴BP为⊙O的切线．
在上述证明过程中，※处应该填写______ ；◎处应该填写______ (填序号)
①一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
②90°的圆周角所对的弦是直径
③直径所对的圆周角是直角
④同弧所对的圆周角相等
(3)拓展小组的作法：如图(4)，连接OP交⊙O于点C，过点C作OP的垂线n，以点O为圆心，OP长为半径作弧，交直线n于点D，连接OD交⊙O于点B，作直线BP，则直线BP即为所求作的切线．
问题：请你结合该组作图方案给出证明过程．
22. (本小题9.0分)
党的二十大报告中指出，推动能源清洁低碳高效利用，推进工业、建筑、交通等领域清洁低碳转型，深入推进能源革命.某市交通管理局决定购买一批电动公交车取代燃油公交车.根据调查发现.购买A型电动公交车2辆、B型电动公交车1辆，共需资金112万元；购买A型电动公交车1辆、B型电动公交车1辆，共需资金76万元．
(1)求A、B两种型号的电动公交车的单价分别是多少万元．
(2)该交通管理局计划出资1128万元，准备购买这两种电动公交车共30辆，其中A型电动公交车的数量不多于20辆，请你设计出最省钱的购买方案．
23. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+3x+c经过点A(−1,0)，B(4,0)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点M(m,n)是抛物线上的点，将点M向左平移3个单位长度得到点M′，若点M恰好也在该抛物线上，求点M的坐标．
(3)在(2)的条件下，记点B与点M′之间的抛物线为图象G(含点B和点M′)，当直线y=x+b与图象G只有一个交点时，直接写出b的取值范围．
24. (本小题10.0分)
综合与实践
问题提出
某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF(∠P=90°,∠F=60°)的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2)．
操作发现
(1)如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为______；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为______；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为______；
类比探究
(2)若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．
①如图2，当BM=CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM=CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积(结果保留根号)；
拓展应用
(3)若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH(设∠GOH=α)，将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值(分别用含α的式子表示)．
(参考数据：sin15°= 6− 24，cos15°= 6+ 24，tan15°=2− 3)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵π>−2>−3>−2 3，
∴所给的实数中，最大的数是π．
故选：A．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】D
【解析】解：9872万=98720000=9.872×107．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：在原正方体中，与“化”字所在面相对的面上的汉字是“园”，
故选：C．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的问题，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A、(2a+b)2=4a2+4ab+b2，故A符合题意；
B、(−a+b)(−a−b)=a2−b2，故B不符合题意；
C、3 5− 5=2 5，故C不符合题意；
D、(−3a)3=−27a3，故D不符合题意；
故选：A．
利用二次根式的加减法的法则，完全平方公式，平方差公式，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，完全平方公式，平方差公式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】D
【解析】解：∵EF//AC，
∴∠ABF=∠CAB=40°，
∴∠DBF=∠ABD−∠ABF=60°−40°=20°，
∵∠EBD+∠DBF=180°，
∴∠EBD=160°．
故选：D．
由平行线的性质得到∠ABF=∠CAB=40°，求出∠DBF=20°，由邻补角的性质即可求出∠EBD=160°．
本题考查平行线的性质，邻补角的性质，关键是由平行线的性质得到∠ABF的度数，求出∠DBF的度数．
6.【答案】D
【解析】解：加入前，
这4名同学的平均身高是：165+170+170+1754=170(cm)，
这4名同学的中位数是：170+1702=170(cm)，
这4名同学的众数是：170cm，
这4名同学的方差是：s2=14[(165−170)2+(170−170)2×2+(175−170)2]=12.5；
加入1名同学后，这5名同学的身高按从低到高的顺序排列为：165cm，170cm，170cm，170cm，175cm，
这5名同学的平均身高是：165+170+170+170+1755=170(cm)，
这5名同学的中位数是：170cm，
这5名同学的众数是：170cm，
这5名同学的方差是：s2=15[(165−170)2+(170−170)2×3+(175−170)2]=10，
故发生变化的统计量是方差，
故选：D．
先计算加入前4名同学的平均身高，中位数，众数，方差，然后计算加入1名同学后，5名同学的平均身高，中位数，众数，方差，根据计算结果比较即可得出答案．
本题主要考查了平均数，中位数，众数，方差，熟练掌握平均数，中位数，众数，方差的计算公式是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：5x−1>3x−4①−13x≤23−x②，
解不等式①，得：x>−32，
解不等式②，得：x≤1，
∴不等式组的解集为：−32
故选：A．
先分别求每个不等式的解集，取其解集的公共部分作为不等式组的解集，然后再确定其整数解．
本题考查解一元一次不等式组，掌握解不等式组的步骤准确计算是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵|a−3|+ b−2=0，
∴a−3=0，b−2=0，
∴a=3，b=2，
∴关于x的一元二次方程为x2+x+1=0，
∵Δ=12−4×1×1=1−4=−3<0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
先根据非负性求出a和b的值，再计算根的判别式的值得到Δ，然后根据根的判别式的意义进行判断．
本题考查了非负数的性质：绝对值，非负数的性质：算术平方根，根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
9.【答案】B
【解析】解：∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴旋转360°时与原矩形ABCD重合，
∵2021÷4=505…1，
∴第2021次旋转结束时与矩形ABCD旋转90°的位置一样，
过C作CE⊥x轴交于点E，
∵OA=OB=1，
∴∠ABO=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE=45°，
∴CE=BE，
∵BC=2 2，
∴CE=BE=2，
∴C(3,2)，
∵矩形ABCD绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，
则第1次旋转结束时，点C的坐标为(−2,3)；
则第2次旋转结束时，点C的坐标为(−3,−2)；
则第3次旋转结束时，点C的坐标为(2,−3)；
则第4次旋转结束时，点C的坐标为(3,2)；
…
发现规律：旋转4次一个循环，
∴2023÷4=505⋅⋅⋅3，
则第2023次旋转结束时，点C的坐标为(2,−3)．
故选：B．
由旋转的角度90°，可知旋转4次是一个循环，则第2023次旋转结束时与矩形ABCD顺时针旋转90°的位置一样，求出矩形ABCD顺时针旋转90°时C点坐标即可．
本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2023次旋转后矩形的位置是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由图象可知，A、B、C都正确，
当温度为t1℃时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，
故选：D．
利用函数图象的意义可得答案．
本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
11.【答案】x>5
【解析】解：∵代数式1 x−5有意义，
∴x−5>0，
解得x>5．
故答案为：x>5．
根据分式有意义，分母不为0，二次根式的被开方数是非负数列不等式解答即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握知识点是解题关键．
12.【答案】y=−2x(答案不唯一)
【解析】解：一次函数y=−2x经过第二、四象限，不经过第三象限，
故答案为：y=−2x(答案不唯一)．
根据题意可知一次函数y=kx+b中的k一定小于0，然后写出一个符合要求的函数即可．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确一次函数的性质，写出相应的函数解析式．
13.【答案】16
【解析】解：把思想政治、地理、生物和化学分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小明选中地理和化学的结果有2种，
∴小明选中地理和化学的概率是212=16，
故答案为：16．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明选中地理和化学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】74π−3 34
【解析】
如图，连接AB，OB，
由题意可得，BD=BA=BO=OA=OC= 3，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，∠BOC=120°，
∵AC为半圆O的直径，
∴∠ABD=∠ABC=90°，
∵AC=2OA=2 3，
∴BC= AC2−AB2= 12−3=3，
∵OA=OC，
∴S△AOB=S△BOC=12S△ABC=12×12AB⋅BC=12×12× 3×3=3 34，
∴S阴影=S扇形ABD−(S扇形AOB−S△AOB)+(S扇形ABO−S△AOB)+(S扇形BOC−S△BOC)
=S扇形ABD−S扇形AOB+S△AOB+S扇形ABO−S△AOB+S扇形BOC−S△BOC
=S扇形ABD+S扇形BOC−S△BOC
=90π×( 3)2360+120π×( 3)2360−3 34
=74π−3 34，
故答案为：74π−3 34．
连接AB，OB，易得BD=BA=BO=OA=OC= 3，△AOB为等边三角形，再利用直径所对的圆周角为直角及勾股定理可求得∠ABD=∠ABC=90°，BC=3，则S△AOB=S△BOC=12S△ABC=3 34，然后结合图形，利用扇形面积公式及面积的和差运算进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，结合图形，将阴影部分面积表示为S扇形ABD+S扇形BOC−S△BOC是解题的关键．
15.【答案】2或6
【解析】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：
∵AB=4，点E，F分别是BC，CD边的中点，
∴A(0,4)，D(4,4)，F(4,2)，E(2,0)，
∴直线AF解析式为y=−12x+4，
直线DE的解析式为y=2x−4，
联立y=−12x+4y=2x−4，解得x=165y=125，
∴M(165,125)，
∵B(0,0)，F(4,2)，
∴BM= (165)2+(125)2=4，BF= 42+22=2 5，
旋转后，△BMF是直角三角形，当M为直角顶点时，
MF= BF2−BM2= (2 5)2−42=2；
旋转后，△BMF是直角三角形，当B为直角顶点时，
MF= BM2+BF2= 42+(2 5)2=6；
综上所述，MF的长度为2或6；
故答案为：2或6．
以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，求出A(0,4)，D(4,4)，F(4,2)，E(2,0)，可得直线AF解析式为y=−12x+4，直线DE的解析式为y=2x−4，从而可得M(165,125)，BM=4，BF=2 5，分两种情况用勾股定理可得答案．
本题考查正方形中的旋转变换，涉及直角坐标系，一次函数，直角三角形等知识，解题的关键是建立直角坐标系，求出M的坐标．
16.【答案】解：|3−2 3|−(−π2)0−6tan30°−3−64
=2 3−3−1−6× 33+4
=2 3−3−1−2 3+4
=0．
【解析】先计算零次幂、立方根、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
17.【答案】解：原式=(a−1)(a+1)a+2÷[2(a+2)a+2−a+3a+2]
=(a−1)(a+1)a+2÷2a+4−a−3a+2
=(a−1)(a+1)a+2⋅a+2a+1
=a−1．
【解析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．
18.【答案】50
【解析】解：(1)∵D组所占百分比为86.4°360∘×100%=24%，C组所占百分比为20%，
∴A，B，E，F组所占百分比为：100%−20%−24%=56%，
∵A，B，E，F组的频数为：4+6+14+4=28，
∴参加学校选拔赛的人数为：28÷56%=50(人)，
故答案为：50；
(2)C组的频数m=20%×50=10(人)，
D组的频数n=24%×50=12(人)，
补全频数分布直方图如下：
(3)不一定正确．
理由如下：根据中位数的意义，参赛选手的中位数应位于成绩按由小到大排列，位于第25，26位成绩的平均数，观察频数分布表或频数分布直方图，可以判断出中位数位于D组(85≤x<90)，但D组的具体数据我们并不知道，因此无法确定中位数是否就是87.故不一定正确．
(1)先根据扇形统计图算出D组所占百分比，然后用A，B，E，F组的频数和以及这四组所占百分比可求出参加学校选拔赛的人数；
(2)由参加学校选拔赛的人数分别乘以C组D组所占百分比，求出m，n的值，补全频数分布直方图即可；
(3)根据中位数的意义和频数分布表中数据的分别情况分析，可作出判断．
本题考查扇形统计图，频数分布表，频数分布直方图，中位数，掌握统计图和相关概念的意义是解题的关键．
19.【答案】(1)解：过点P作PC⊥OA于点C，如图所示，
∵点A的坐标为(6,8)，AB⊥x轴，
∴OB=6，AB=8，
∴OA= OB2+AB2=10．
∵OP平分∠AOB，
∴PC=PB．
∵S△OBP=12OB⋅PB，S△OAP=12OA⋅PC=12OB⋅AP，
∴S△OBPS△OAP=12OB⋅PB12OA⋅PC=12OB⋅PB12OB⋅AP，
∴OBOA=PBAP，即610=PB8−PB，
∴PB=3，
经检验，PB=3是所列方程的解，且符合题意，
∴点P的坐标为(6,3)．
又∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点P，
∴k=6×3=18，
∴反比例函数的解析式为y=18x(x>0)；
(2)证明：∵AQ//x轴，OR在x轴上，QR//OA，
∴四边形OAQR是平行四边形．
设直线OP的解析式为y=mx+n(m≠0)，
将O(0,0)，P(6,3)代入y=mx+n得：n=06m+n=3，
解得：m=12n=0，
∴直线OP的解析式为y=12x.
当y=8时，8=12x，
解得：x=16，
∴点Q的坐标为(16,8)，
∴AQ=16−6=10=OA，
∴平行四边形OAQR是菱形．
【解析】(1)过点P作PC⊥OA于点C，由点A的坐标，可得出OB，AB的长，利用勾股定理可求出OA的长，由OP平分∠AOB，利用角平分线的性质，可得出PC=PB，利用面积法，可求出PB的长度，结合OB的长度，可得出点P的坐标，再利用反比例函数k的几何意义，可求出k值，进而可得出反比例函数的解析式；
(2)由AQ//x轴，OR在x轴上，QR//OA，可证出四边形OAQR是平行四边形，由点O，P的坐标，利用待定系数法，可求出直线OP的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点Q的坐标，结合点A的坐标，可得出AQ=10=OA，进而可证出平行四边形OAQR是菱形．
本题考查了勾股定理、角平分线的性质、三角形的面积、反比例函数k的几何意义、平行四边形的判定、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的判定，解题的关键是：(1)利用面积法，求出PB的长；(2)牢记“在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形邻边相等的平行四边形是菱形”．
20.【答案】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
由题意得：∠ABC=90°，∠ACD=60°，∠ADE=50°，BC=AE，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°−∠ACD=30°，AB=300米，
∴BC=ABtan30∘=300 33=300 3(米)，
∴AE=BC=300 3(米)，
在Rt△ADE中，AD=AEsin50∘≈300 30.77≈674(米)，
∴入口与果园之间的距离AD约为674米．
【解析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：∠ABC=90°，∠ACD=60°，∠ADE=50°，BC=AE，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】SSS 直径 ③
【解析】解：(1)a.如图(2)，作法：1.以点P为圆心，PA长为半径作弧，交⊙O于另一点B，
2.作直线PB，
直线PB即为所求作的切线．
b.证明：连接OB、OP，则OB=OA，由作图知，PB=PA，
在△OBP和△OAP中，
OB=OAPB=PAOP=OP，
∴△OBP≌△OAP(SSS)，
∴∠OBP=∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，切点为A，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，
∵OB是⊙O的半径，PB⊥OB，
∴直线PB是⊙O的切线．
故答案为：SSS．
(2)证明：如图(3)，连接OB，由作图知，OP是⊙M的直径，
∴∠OBP=90°，(理由：直径所对的圆周角是直角)
即OB⊥BP
又OB是⊙O的半径，
∴BP为⊙O的切线．
故答案为：直径，③．
(3)证明：由作图知，CD⊥OP于点C，OP=OD，OB=OC，
∴∠OCD=90°，
在△OBP和△OCD中，
OP=OD∠POB=∠DOCOB=OC，
∴△OBP≌△OCD(SAS)，
∴∠OBP=∠OCD=90°，
∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．
(1)a.按尺规作图的要求补全作图痕迹即可；
b.连接OB、OP，则OB=OA，由作图知，PB=PA，而OP=OP，即可根据全等三角形的判定定理“SSS”证明△OBP≌△OAP，可知证明△OBP≌△OAP的依据是“SSS”，于是得到问题的答案；
(2)连接OB，由作图知，OP是⊙M的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”得∠OBP=90°，即可由OB⊥BP，且OB是⊙O的半径，证明BP为⊙O的切线，于是得到问题的答案；
(3)由作图知，CD⊥OP于点C，OP=OD，OB=OC，则∠OCD=90°，而∠POB与∠DOC是△OBP和△OCD的公共角，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△OBP≌△OCD，得∠OBP=∠OCD=90°，即可证明PB是⊙O的切线．
此题重点考查尺规作图、线段的垂直平分线的性质、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定与性质、切线的性质定理和判定定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
22.【答案】解：(1)设A型电动公交车的单价为x万元，B型电动公交车的单价为y万元．
依题意，得2x+y=112x+y=76，
解得x=36y=40；
答：A型电动公交车的单价是36万元，B型电动公交车的单价是40万元．
(2)设购买A型电动公交车m辆，则购买B型电动公交车(30−m)辆．
依题意得36m+40(30−m)≤1128，解得m≥18．
又m≤20，
∴18≤m≤20．
设购买这两种电动公交车共30辆的总费用为w万元，
依题意，得w=36m+40(30−m)=−4m+1200．
∵−4<0，
∴w随m的增大而减小．
∴当m=20时，w取得最小值．此时30−m=30−20=10．
∴最省钱的购买方案为：购买A型电动公交车20辆，B型电动公交车10辆．
【解析】(1)设A型电动公交车的单价为x万元，B型电动公交车的单价为y万元．根据购买A型电动公交车2辆、B型电动公交车1辆，共需资金112万元；购买A型电动公交车1辆、B型电动公交车1辆，共需资金76万元，列出方程组进行求解即可；
(2)设购买A型电动公交车m辆，则购买B型电动公交车(30−m)辆，根据题意列出不等式，求出m的取值范围，设购买这两种电动公交车共30辆的总费用为w万元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质进行求解即可．
本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组和一次函数解析式，是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+3x+c经过点A(−1,0)，B(4,0)，
∴a−3+c=016a+12+c=0，
解得a=−1c=4，
∴抛物线的表达式为y=−x2+3x+4；
(2)∵y=−x2+3x+4，
∴对称轴为直线x=−32×(−1)=32，
∵点M(m,n)是抛物线上的点，将点M向左平移3个单位长度得到点M′(m−3,n)，点M′恰好也在该抛物线上，
∴m+m−32=32，
∴m=3，
∴点M的横坐标为3，
把x=3代入y=−x2+3x+4，得y=−9+9+4=4，
∴M(3,4)；
(3)由(2)可知，M′(0,4)，
当直线y=x+b经过点M′时，4=b，解得b=4，
当直线y=x+b经过点B时，0=4+b，解得b=−4，
令x+b=−x2+3x+4，整理得x2−2x+b−4=0，
Δ=(−2)2−4(b−4)=0，解得b=5，
∴当直线y=x+b与图象G只有一个交点时，b的取值范围是−4≤b<4或b=5．
【解析】(1)利用待定系数法即可求解；
(2)求得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性即可得出m+m−32=32，求得m的值，从而求得M点的坐标；
(3)求得直线经过点M′和点B时的b的值，以及直线与抛物线有一个交点时的b的值，结合图象即可求得b的取值范围．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，一次函数图象与系数的关系，坐标与图形变化−平移，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
24.【答案】1 1 S1=14S
【解析】解：(1)如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=14正方形ABCD的面积=1；
当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=14正方形ABCD的面积=1；
一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=14S.
理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OM=ON，
∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，
∴四边形OMBN是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形OMBN是正方形，
∴∠MON=∠EOF=90°，
∴∠MOJ=∠NOK，
∵∠OMJ=∠ONK=90°，
∴△OMJ≌△ONK(AAS)，
∴S△PMJ=S△ONK，
∴S四边形OKBJ=S正方形OMBN=14S正方形ABCD，
∴S1=14S.
故答案为：1，1，S1=14S.
(2)①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．
理由：过点O作OT⊥BC，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴BT=CT，
∵BM=CN，
∴MT=TN，
∵OT⊥MN，
∴OM=ON，
∵∠MON=60°，
∴△MON是等边三角形；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．
∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC，
∴△OCM≌△OCN(SAS)，
∴∠COM=∠CON=30°，
∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°，
∵OJ⊥CB，
∴∠JOM=90°−75°=15°，
∵BJ=JC=OJ=1，
∴JM=OJ⋅tan15°=2− 3，
∴CM=CJ−MJ=1−(2− 3)= 3−1，
∴S四边形OMCN=2×12×CM×OJ= 3−1．
(3)如图4−1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．
在Rt△MOQ中，MQ=OQ⋅tanα2=tanα2，
∴MN=2MQ=2tanα2，
∴S2=S△OMN=12×MN×OQ=tanα2．
如图4−2中，当CM=CN时，S2最大．
同法可证△COM≌△CON，
∴∠COM=12α，
∵∠COQ=45°，
∴∠MOQ=45°−12α，
QM=OQ⋅tan(45°−12α)=tan(45°−12α)，
∴MC=CQ−MQ=1−tan(45°−12α)，
∴S2=2S△CMO=2×12×CM×OQ=1−tan(45°−12α)．
(1)如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=14正方形ABCD的面积=1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=14正方形ABCD的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=14S.利用全等三角形的性质证明即可；
(2)①结论：△OMN是等边三角形．证明OM=ON，可得结论；
②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J.证明△OCM≌△OCN(SAS)，推出∠COM=∠CON=30°，解直角三角形求出OJ，即可解决问题；
(3)如图4−1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．如图4−2中，当CM=CN时，S2最大．分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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