2023年甘肃省兰州市中考数学真题

2023年兰州市初中学业水平考试

数  学

注意事项：

1. 全卷共120分，考试时间120分钟.

2. 考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上.

3. 考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上.

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. －5的相反数是（    ）

A.  B. －5 C.  D. 5

2. 如图，直线AB与CD相交于点O，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 计算：（    ）

A.  B.  C. 5 D. a

4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 方程的解是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知二次函数，下列说法正确的是（    ）

A. 对称轴为  B. 顶点坐标为

C. 函数的最大值是－3  D. 函数的最小值是－3

8. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（    ）

A. －2 B. 2 C. －4 D. 4

9. 2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一.下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况.（2022年同比增长速度）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（    ）

A. 2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆

B. 2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个

C. 相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%

D. 相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低

10. 我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法.如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉.日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康.则定东方两表之中与西方之表，则东西也.”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行.（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使；（3）连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线.按以上作图顺序，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（    ）

A. 2 B. 1 C. －1 D. －2

12. 如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若，，则（    ）

A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13. 因式分解：______.

14. 如图，在中，，于点E，若，则______.

15. 如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕原点O顺时针旋转，使OA，OD落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则______.

16. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：

下面有三个推断：

①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；

②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；

③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53.

其中正确的是______.（填序号）

三、解答题（本大题共12小题，共72分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（4分）计算：.

18.（4分）计算：.

19.（4分）解不等式组：.

20.（6分）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C.

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）当时，求线段BC的长.

21.（6分）

综合与实践

问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角.”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是的平分线.

请写出OE平分的依据：____________；

类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可.他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角.做法如下：如图3，在的边OA，OB上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是的平分线，请说明此做法的理由；

拓展实践：（3）小明将研究应用于实践.如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和体息椅D到岔路口A的距离相等.试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置.（保留作图痕迹，不写作法）

22.（6分）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”.“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸.某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动.具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得、，.求“龙”字雕塑CD的高度.（B，C，D三点共线，.结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）

23.（6分）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m.

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.

24.（6分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE.

（1）判断四边形OCDE的形状，并说明理由；

（2）当时，求EG的长.

25.（6分）某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息.

信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x表示，分成六组：A. ；B. ；C. ；D. ；E. ；F. ）.

信息二：排球垫球成绩在D. 这一组的是：

20，20，21，21，21，22，22，23，24，24

信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：

信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）填空：______；

（2）下列结论正确的是______；（填序号）

①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；

②掷实心球成绩的中位数记为n，则；

③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀.如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀.

（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数.

26.（7分）如图，内接于，AB是的直径，，于点E，DE交BF于点F，交AB于点G，，连接BD.

（1）求证：BF是的切线；

（2）判断的形状，并说明理由；

（3）当时，求FG的长.

27.（8分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”.

例如：如图1，已知点，，在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”.

（1）如图2，已知点，，P是线段AB上一点，直线EF过，两点，当点P是直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标；

（2）如图3，x轴上方有一等边三角形ABC，轴，顶点A在y轴上且在BC上方，，点P是上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”.当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；

（3）如图4，以，，为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：的“伴随点”.请直接写出b的取值范围.

28.（9分）

综合与实践

【思考尝试】

（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，于点F，，，.试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；

【实践探究】

（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，于点F，于点H，交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；

【拓展迁移】

（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，于点H，点M在CH上，且，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题.