湖北省咸宁市2022-2023学年高二下学期期末数学试题及参考答案

咸宁市2022—2023学年度下学期高中期末考试

高二数学试卷

本试卷共8页，时长120分钟，满分150分.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数，则的模为（    ）

A.1 B. C. D.2

2.已知集合，，，则（    ）

A. B. C. D.

3.“”是“，，成等比数列”的（    ）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

4.随着疫情结束，自行车市场逐渐回暖，通过调查，收集了5家商家对某个品牌的自行车的售价（百元）和月销售量（百辆）之间的一组数据，如下表所示：

根据计算可得与的经验回归方程是：，则的值为（    ）

A.8.8 B.8.9 C.9 D.9.1

5.除以8的余数为（    ）

A.0 B.2 C.4 D.6

6.已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（    ）

A. B. C.2 D.

7.已知正实数，，满足，则，，的大小关系是（    ）

A. B. C. D.

8.已知，，是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（    ）

A.1 B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知，则下列不等式成立的有（    ）

A. B. C. D.

10.已知，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，则下面四个结论正确的是（    ）

A.椭圆的离心率为  B.的最大值为4

C.的最大值为3 D.的最大值为60°

11.已知正四棱柱的底面边长为4，，点，，分别为，，的中点，点为底面（包括边界）上的动点，则（    ）

A.存在点，使得，，，共面

B.存在点，使得面

C.若，则的轨迹长度为

D.四面体的体积为定值

12.已知点为图象上一点，点为图象上一点，为坐标原点，设，的夹角为，则（    ）

A.的最小值为 B.的最大值为

C.若，则 D.若为等边三角形，则的面积

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知事件发生的概率为0.4，事件发生的概率为0.5，若在事件发生的条件下，事件发生的概率为0.6，则在事件发生的条件下，事件发生的概率为______.

14.已知为坐标原点，若直线：和：交于点，则的值为______.

15.已知（），若在处取到最大值为，则______.

16.若对任意，，恒有，则正整数的最大值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在中，角，，的对边为，，，已知，且.

（1）若，求；

（2）证明：

18.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，为等边三角形，且.

（1）求证：；

（2）若面面，且，求与面的夹角的正弦值.

19.（本小题满分12分）

某中学举行春季研学活动，为了增加趣味性，在研学活动中设计了一个摸奖获赠书的游戏，在一个不透明的盒子中有质地、大小相同的球5个，其中红球2个，黄球2个，蓝色球1个，每次不放回的随机从盒中取一个球，当三种颜色的球都至少有一个被取出时，停止取球，游戏结束，取球次数最少将获得奖励.

（1）求盒子里恰好剩下一个红球的概率；

（2）停止取球时，记盒子中所剩球的个数为，求的分布列与数学期望.

20.（本小题满分12分）

已知数列的前项和为，若，且满足（）.

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：.

21.（本小题满分12分）

已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍.

（1）任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值；

（2）如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值.

22.（本小题满分12分）

已知，过点（）作图象的切线.

（1）求切线的斜率的最大值.

（2）证明：切线与在第一象限仅有一个交点，且.

咸宁市2022—2023学年度下学期高中期末考试

高二数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1. C【解析】，故，选C.

2. A【解析】由题可知：，，，则.

3. B【解析】若，，成等比数列，则；若，令，满足，但此时，，不构成等比数列，故答案选B.

4. D【解析】价格平均，则，

销售量，解得.

5. D【解析】

因此除以8的余数为6.答案选D.

6. B【解析】如图为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆，设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，，设球的半径为，圆台上下底面的半径为，，

注意到与均为角平分线，因此，

从而，故，

则.

7. D【解析】，，，

作出，，，在上的图象，如图所示，

其中恒成立，故图象在的下方，

由图象可知.故选D.

8. B【解析】设，，，由，在轴上方，故，，，注意到，

故，即，

又，代入可得，

故，即，解得，

因而.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9. BD【解析】由得，令，可知A，C错误；

而，，因此，故B正确；

因为在上为递增函数，由得，故选项D正确.

10. BCD【解析】由椭圆方程得，，，因此，.

选项A中，，，故，A错误；

选项B中，，当且仅当时取等号，B正确；

选项C中，令，则，故C正确；

选项D中，当点为短轴的端点时，取得最大值，此时，则，

，的最大值为60°，D正确.

11. AC【解析】对于选项A，当为时，，，，共面，故A正确；

对于B选项，在面上的投影不可能与垂直，因此不垂直于，从而B错误；

对于C选项，取，的中点，，当在上时，在面上的投影为，

而，且，因此，即的轨迹即为，且其长度为，故C正确；

对于D选项，由于面与面不平行，因此体积不为定值.

12.ABC【解析】对于A选项，注意到与关于对称，设为到直线的距离，为到直线的距离，则，

注意到，，，

从而，当且仅当，时取到最小值，故A正确；

对于B选项，当直线与相切，直线与相切时，

此时的夹角为最小，计算可知，

设，，则；

对于C选项，当时，当时，，故；

当时，注意到，从而，也即，

构造函数，，故在上单调递增，又，

从而，因此，

对于D选项，依题意可知，，两点关于对称，此时，，

因此，

因此.

故选ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 0.75  【分析】本题考查了条件概率的计算公式，属于简单题.

【解析】，即，

故.

14. 2  【解析】直线过定点，过定点，

当时，两直线的斜率分别为，，，故，从而，

当时，易求得，此时，

综上可知，.

15.  【解析】，其中，

依题意，故，此时，且，

因此.

16. 4  【解析】易知等价于.

令（），则.

令得，则在上单调递增，在上单调递减，

则有最大值.

令（），则.令，.

当时，在，，此时，必有成立.

故考虑，则在上单调递减，在上单调递增，

故有最小值.

若成立，只需，即，即.

两边取自然对数可得，即求最大的使得，

当时，不等式转化为.

令，本题即求使得的最大的正整数.

恒成立，则在上单调递減.

因为，，

的最大正整数为4.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.【解析】（1）依题意，，即，

由正弦定理可知，，即，

从而，故

（2）由（1）可知，，由余弦定理可得：，

即，则，又，

故，从而.

18.【解析】（1）证明：取中点，因为，故，

又因为，从而面，即，

因为为的中点，从而.

（2）平面平面，平面平面，且，故面，

以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，则，而，从而，

易得，，，，

可得，

设面的法向量，则，即，

令，则，

又，设与面的夹角为，

则.

19.【解析】（1）依题意，设事件：盒子恰好剩下一个红球，前三次只能取两种颜色的球，第四次取第三种颜色的球，因此第四次取球只能是红色球或者蓝色球，从而.

（2）的所有可能取值为0，1，2，

，，，

的分布列为

.

20.【解析】依题意，可知（），

当时，由，可知，

由，可得两式相减可知，，即（），

因此时，，即.

（2）由（1）可知，，，当时，，

因此（），

.

21.【解析】（1）依题意，根据双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍，可得，

即，故双曲线：，

不妨设：，则设：，

联立，可得，联立可得，

联立可得，

从而.

（2）如图，延长，分别交渐近线于，两点，

由（1）可知，则，

设，则：，联立解得，

而：，联立解得，

从而.

设的倾斜角为，则，而，故，

则，因此.

22.【解析】（1）当时，，则，

直线的切线的斜率，设，，

当时，，当时，，

因此在上单调递减，在上单调递增；

因此，即.

（2）依题意：，

则切线与在第一象限仅有一个交点，

即方程仅有一个正数解；

即函数（）仅有一个零点，

，，

故单调递增，则，

由（1）可知在上单调递減，在上单调递增；

因此，从而，即单调递增；

注意到，，

设，则，

故在上单调递减，在上单调递增；

因此，

因此，故存在，使得，

从而.