2021年上海市奉贤区高考数学二模试卷

这是一份2021年上海市奉贤区高考数学二模试卷，共22页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年上海市奉贤区高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．（4分）经过点（2，4）的抛物线y＝ax2焦点坐标是　 　．
2．（4分）把一个表面积为16π平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥（假设没有任何损耗），则圆锥的高是　 　厘米．
3．（4分）已知z＝（i是虚数单位）是方程x2﹣ax+1＝0（a∈R）的一个根，则|﹣a|＝　 　．
4．（4分）已知各项为正的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a7﹣a62＝0，则S11＝　 　．
5．（4分）已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为　 　万元．
家庭年收入（万元）
[4，5）
[5，6）
[6，7）
[7，8）
[8，9）
[9，10）
频率f
0.2
0.2
0.2
0.26
0.07
0.07
6．（4分）某参考辅导书上有这样的一个题：
△ABC中，tanA与tanB是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则tanC的值为（　　）．
A.
B.
C.
D.
你对这个题目的评价是　 　（用简短语句回答）．
7．（5分）用0、1两个数字编码，码长为4的二进制四位数（首位可以是0），从所有码中任选一码，则事件A＝{码中至少有两个1}的概率是　 　．
8．（5分）设Sn为正数列{an}的前n项和，Sn+1＝qSn+S1，q＞1，对任意的n≥1，n∈N均有Sn+1≤4an，则q的取值为　 　．
9．（5分）函数y＝3x+在（0，+∞）内单调递增，则实数a的取值范围是　 　．
10．（5分）假如（x﹣）n的二项展开式中x3项的系数是﹣84，则（x﹣）n二项展开式中系数最小的项是　 　．
11．（5分）函数f（x）＝cosx，x∈Z的值域由6个实数组成，则非零整数n的值是　 　．
12．（5分）如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧上的一点，若＝2，则的值域是　 　．

二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）如图，PA⊥面ABCD，ABCD为矩形，连接AC、BD、PB、PC、PD，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（　　）

A．与 B．与 C．与 D．与
14．（5分）下列选项中，y可表示为x的函数是（　　）
A．3|y|﹣x2＝0 B．x＝y
C．sin（arcsinx）＝siny D．lny＝x2
15．（5分）已知x1、x2、y1、y2都是非零实数，（x1x2+y1y2）2＝（x12+y12）（x22+y22）成立的充要条件是（　　）
A．＝0
B．＝0
C．＝0
D．＝0
16．（5分）设点A的坐标为（a，b），O是坐标原点，向量绕着O点顺时针旋转θ后得到，则A′的坐标为（　　）
A．（acosθ﹣bsinθ，asinθ+bcosθ）
B．（acosθ+bsinθ，bcosθ﹣asinθ）
C．（asinθ+bcosθ，acosθ﹣bsinθ）
D．（bcosθ﹣asinθ，bsinθ+acosθ）
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）已知M、N是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱B1C1、C1D1的中点，异面直线MN与AB1所成角的大小为arccos．
（1）求证：M、N、B、D在同一平面上；
（2）求二面角C﹣MN﹣C1的大小．
18．（14分）设函数f（x）＝lg（1﹣cos2x）+cos（x+θ），θ∈[0，）．
（1）讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）设θ＞0，解关于x的不等式f（+x）﹣f（﹣x）＜0．
19．（14分）假设在一个以米为单位的空间直角坐标系O﹣xyz中，平面xOy内有一跟踪和控制飞行机器人T的控制台A，A的位置为（170，200，0），上午10时07分测得飞行机器人T在P（150，80，120）处，并对飞行机器人T发出指令：以速度v1＝13米/秒沿单位向量＝（，，﹣）做匀速直线飞行（飞行中无障碍物），10秒后到达Q点，再发出指令让机器人在点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8米/秒，然后保持8米/秒，再沿单位向量＝（，，）做匀速直线飞行（飞行中无障碍物），当飞行机器人T最终落在平面xOy内发出指令让它停止运动，机器人T近似看成一个点．
（1）求从P点开始出发20秒后飞行机器人T的位置；
（2）求在整个飞行过程中飞行机器人T与控制台A的最近距离（精确到米）．

20．（16分）曲线＝1与曲线＝1（a＞0）在第一象限的交点为A，曲线是C是＝1（1≤x≤xA）和＝1（x＞xA）组成的封闭图形，曲线C与x轴的左交点为M、右交点为N．
（1）设曲线＝1与曲线＝1（a＞0）具有相同的一个焦点F，求线段AF的方程；
（2）在（1）的条件下，曲线C上存在多少个点S，使得NS＝NF，请说明理由；
（3）设过原点O的直线l与以D（t，0）（t＞0）为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为T，直线l与曲线C在第一象限的两个交点为P、Q，当＝2对任意直线l恒成立，求t的值．

21．（18分）设数列{an}满足：an+1＝，an+1≠an，设a1＝a，a2＝b．
（1）设b＝，k＝﹣π，若数列的前四项a1、a2、a3、a4满足a1a4＝a2a3，求a；
（2）已知k＞0，n≥4，n∈N，当a∈（0，），b∈（0，），a＜b时，判断数列{an}是否能成等差数列，请说明理由；
（3）设a＝4，b＝7，k＝1，求证：对一切的n≥1，n∈N，均有an＜π．

2021年上海市奉贤区高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．（4分）经过点（2，4）的抛物线y＝ax2焦点坐标是　（0，）　．
【分析】把点（2，4）代入抛物线方程可得a，进而求出抛物线的标准方程，结合抛物线的性质，进而得到焦点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2经过点（2，4），
∴a＝1，
∴抛物线标准方程为x2＝y，
∴抛物线焦点坐标为（0，）．
故答案为：（0，）．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，属于基础题．
2．（4分）把一个表面积为16π平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥（假设没有任何损耗），则圆锥的高是　8　厘米．
【分析】求出球的半径，得到圆锥的半径，然后利用球的体积与圆锥的体积，即可圆锥的高．
【解答】解：一个表面积为16π平方厘米实心铁球的半径为R，
可得16π＝4πR2，解得R＝2，
圆锥的底面半径为2，体积为：＝．解得h＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查取得体积以及表面积的计算，圆锥的体积的求法，是基础题．
3．（4分）已知z＝（i是虚数单位）是方程x2﹣ax+1＝0（a∈R）的一个根，则|﹣a|＝　1　．
【分析】先利用复数的除法运算求出z，然后代入方程求出a，利用共轭复数和模的定义求解即可．
【解答】解：因为z＝＝，
则有i2+ai+1＝0，解得a＝0，
所以．
故答案为：1．
【点评】本题考查了复数的运算，主要考查了复数的除法运算以及复数模的运用，同时考查了共轭复数的定义，属于基础题．
4．（4分）已知各项为正的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a7﹣a62＝0，则S11＝　22　．
【分析】先由题设利用等差数列的性质求得a6，再利用等差数列的前n项和公式求得结果．
【解答】解：由a5+a7﹣a62＝0可得：2a6﹣a62＝0，∵an＞0，∴a6＝2，
∴S11＝＝11a6＝22，
故答案为：22．
【点评】本题主要考查等差数列的性质及前n项和公式的应用，属于基础题．
5．（4分）已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为　6.51　万元．
家庭年收入（万元）
[4，5）
[5，6）
[6，7）
[7，8）
[8，9）
[9，10）
频率f
0.2
0.2
0.2
0.26
0.07
0.07
【分析】由题中给出的数据，利用平均数的计算公式求解即可．
【解答】解：由题意可知，估计该社区内家庭的平均年收入为：
0.2×4.5+0.2×5.5+0.2×6.5+0.26×7.5+0.07×8.5+0.07×9.5＝6.51（万元）．
故答案为：6.51．
【点评】本题考查了平均数的求解，解题的关键是确定区间中点以及对应的频率，考查了化简运算能力，属于基础题．
6．（4分）某参考辅导书上有这样的一个题：
△ABC中，tanA与tanB是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则tanC的值为（　　）．
A.
B.
C.
D.
你对这个题目的评价是　错题，C为钝角，A，B中也有一个为钝角，构不成三角形．　（用简短语句回答）．
【分析】由韦达定理知，，再结合三角形内角和定理、两角和的正切公式、诱导公式，可推出tanC＝﹣，从而知C为钝角，A，B中也有一个为钝角．
【解答】解：错题，C为钝角，A，B中也有一个为钝角，构不成三角形．
由韦达定理知，，
∴tanC＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣＝﹣＜0，
∴C为钝角，
∵tanAtanB＝﹣1＜0，
∴A，B中也有一个为钝角，
∴无法构成三角形，是一道错题．
故答案为：错题，C为钝角，A，B中也有一个为钝角，构不成三角形．
【点评】本题考查两角和的正切公式，诱导公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7．（5分）用0、1两个数字编码，码长为4的二进制四位数（首位可以是0），从所有码中任选一码，则事件A＝{码中至少有两个1}的概率是　　．
【分析】从所有码中任选一码，基本事件总数n＝24＝16，事件A＝{码中至少有两个1}包含的基本事件个数m＝＝11，由此能求出事件A＝{码中至少有两个1}的概率．
【解答】解：用0、1两个数字编码，码长为4的二进制四位数（首位可以是0），
从所有码中任选一码，
基本事件总数n＝24＝16，
事件A＝{码中至少有两个1}包含的基本事件个数m＝＝11，
则事件A＝{码中至少有两个1}的概率是P＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
8．（5分）设Sn为正数列{an}的前n项和，Sn+1＝qSn+S1，q＞1，对任意的n≥1，n∈N均有Sn+1≤4an，则q的取值为　2　．
【分析】先证出数列{an}为等比数列，再用通项公式和求和公式化简不等式，求出q的取值即可．
【解答】解：∵Sn+1＝qSn+S1，∴Sn＝qSn﹣1+S1（n≥2），
∴an+1＝qan，＝q（n≥2），
把n＝1代入Sn+1＝qSn+S1得，S2＝qa1+a1＝a1+a2，∴a2＝qa1，满足上式，
∴{an}是首相为a1，公比为q的等比数列，
∵Sn+1≤4an，∴≤4a1qn﹣1，∵a1＞0，q＞1，
∴qn+1﹣4qn+4qn﹣1≤1，∴qn﹣1（q﹣2）2≤1，∴（q﹣2）2≤（）min，
∵当q＞1，n→+∞时，→0，∴（q﹣2）2≤0，
又∵（q﹣2）2≥0，∴（q﹣2）2＝0，即q＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，合理化简不等式是解决问题的关键，考查了转化思想，属中档题．
9．（5分）函数y＝3x+在（0，+∞）内单调递增，则实数a的取值范围是　（﹣∞，4]　．
【分析】求出函数的导数，问题转化为a≤（3x+1）2在（0，+∞）恒成立，从而求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵y＝3x+，（x＞0），
∴y′＝•[（3x+1）2﹣a]，
∵函数在（0，+∞）内单调递增，
∴（3x+1）2﹣a≥0即a≤（3x+1）2在（0，+∞）恒成立，
而y＝（3x+1）2＞4，故a≤4，
故答案为：（﹣∞，4]．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
10．（5分）假如（x﹣）n的二项展开式中x3项的系数是﹣84，则（x﹣）n二项展开式中系数最小的项是　﹣　．
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得n的值，从而得出结论．
【解答】解：∵（x﹣）n的二项展开式的通项公式为 Tr+1＝•（﹣1）r•xn﹣2r，令n﹣2r＝3，求得n＝2r+3，
可得展开式中x3项的系数是 •（﹣1）r＝﹣84，故r＝3，n＝9．
则（x﹣）n二项展开式中第r+1项的系数为（﹣1）r•，故当r＝5时，系数最小，
故（x﹣）n二项展开式中系数最小的项为第六项T6＝﹣•x﹣1＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．
11．（5分）函数f（x）＝cosx，x∈Z的值域由6个实数组成，则非零整数n的值是　±10或±11　．
【分析】根据题意，求出f（x）的周期，分析x可取的数值，结合余弦函数的性质分析其一个周期中的函数值个数，分n为奇数和偶数两种情况讨论，可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝cosx，其周期T＝＝|n|，
又由x∈Z，则周期[0，|n|]上，x可取的值为0，1，2，……，|n|﹣1，
若函数f（x）＝cosx，x∈Z的值域由6个实数组成，
而其中f（1）＝f（|n|﹣1），f（2）＝f（|n|﹣2），……，
若n为偶数，除f（0）和f（）之外，有4个函数值，必有n＝±10，
若n为奇数，除f（0），有5个不同的函数值，必有n＝±11，
故答案为：±10或±11
【点评】本题考查余弦函数的性质以及应用，涉及函数的值域分析，属于中档题．
12．（5分）如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧上的一点，若＝2，则的值域是　[5﹣2，0]　．

【分析】建立平面直角坐标系，将向量的数量积求最值转换成求三角函数的最值即可．
【解答】解：以圆心为原点，平行AB的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

则A（﹣1，），C（2，），设P（2cosθ，2sinθ），≤θ≤，
则•＝（2﹣2cosθ，﹣2sinθ）•（﹣1﹣2cosθ，﹣2sinθ）＝5﹣2cosθ﹣4sinθ
＝5﹣2sin（θ+α），且0＜tanα＝＜，∴0＜α＜，
∴＜θ+α＜，
∵y＝sin（θ+α）在（，]上递增，在[，）上递减，
∴当θ＝﹣α时，•的最小值为5﹣2，
当θ＝时，•的最大值为5﹣2cos﹣4sin＝0，
则•∈[5﹣2，0]，
故答案为：[5﹣2，0]．
【点评】本题考查向量的数量积的应用，三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）如图，PA⊥面ABCD，ABCD为矩形，连接AC、BD、PB、PC、PD，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（　　）

A．与 B．与 C．与 D．与
【分析】利用题中给出的条件，结合平面向量数量积为0即向量互相垂直，对四个选项逐一分析判断即可．
【解答】解：对于A，直线PC与BD不一定垂直，故向量与不一定垂直，
所以数量积不一定为零，故选项A符合；
对于B，根据题意，PA⊥面ABCD，AD⊂平面ABCD，则PA⊥AD，
又AD⊥AB，AB∩PB＝P，则AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，
即与一定垂直，所以数量积一定为零，故选项B不符合；
对于C，因为PA⊥面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，
又AB⊥PD，PD∩PA＝P，所以AB⊥平面PAD，
又PD⊂平面PAD，所以PD⊥AB，即向量与一定垂直，
所以数量积一定为零，故选项C不符合；
对于D，因为PA⊥面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD，即向量与一定垂直，所以数量积一定为零，故选项D不符合；
故选：A．
【点评】本题考查了空间向量的数量积的运用，考查了向量垂直的充要条件的运用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
14．（5分）下列选项中，y可表示为x的函数是（　　）
A．3|y|﹣x2＝0 B．x＝y
C．sin（arcsinx）＝siny D．lny＝x2
【分析】根据函数的定义，对各个选项进行判断即可．
【解答】解：对于A：令x＝0，没有y的值与之对应，故A错误，
对于B：令x＝4，y可以取±8，故B错误，
对于C：sin（arcsinx）＝x＝siny，令x＝1，则y＝2kπ+，故C错误，
对于D：y＝，是一一对应的关系，符合函数的定义，故D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的定义，考查一一对应的关系，是基础题．
15．（5分）已知x1、x2、y1、y2都是非零实数，（x1x2+y1y2）2＝（x12+y12）（x22+y22）成立的充要条件是（　　）
A．＝0
B．＝0
C．＝0
D．＝0
【分析】化简（x1x2+y1y2）2＝（x12+y12）（x22+y22），再利用行列式的计算公式即可判断出结论．
【解答】解：x1、x2、y1、y2都是非零实数，（x1x2+y1y2）2＝（x12+y12）（x22+y22），化为：x1y2＝x2y1．
对于C：左边＝1×x1×y2+（﹣1）×y1×x2＝x1y2﹣x2y1＝0，因此C⇔x1y2＝x2y1．
经过验证只有ABD不满足充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查了行列式的计算公式、乘法公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．（5分）设点A的坐标为（a，b），O是坐标原点，向量绕着O点顺时针旋转θ后得到，则A′的坐标为（　　）
A．（acosθ﹣bsinθ，asinθ+bcosθ）
B．（acosθ+bsinθ，bcosθ﹣asinθ）
C．（asinθ+bcosθ，acosθ﹣bsinθ）
D．（bcosθ﹣asinθ，bsinθ+acosθ）
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，求得A′的坐标．
【解答】解：根据题意，设||＝r，向量与x轴正方向的夹角为α，
又由点A的坐标为（a，b），则a＝rcosα，b＝rsinα，
向量绕着O点顺时针旋转θ后得到，则A′（rcos（α﹣θ），rsin（α﹣θ））．
而 rcos（α﹣θ）＝rcosαcosθ+sinαsinθ＝acosθ+bsinθ，
rsin（α﹣θ）＝rsinαcosθ﹣rcosαsinθ＝bcosθ﹣asinθ，
故A′的坐标为（acosθ+bsinθ，bcosθ﹣asinθ），
故选：B．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，属于中档题．
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（14分）已知M、N是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱B1C1、C1D1的中点，异面直线MN与AB1所成角的大小为arccos．
（1）求证：M、N、B、D在同一平面上；
（2）求二面角C﹣MN﹣C1的大小．
【分析】（1）连结BD，B1D1，利用中位线定理以及平行公理证明MN∥BD，即可证明M、N、B、D在同一平面上；
（2）建立合适的空间直角坐标系，设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为a（a＞0），求出所需点的坐标和向量，利用异面直线所成的角建立等式，求出a的值，再求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可．
【解答】（1）证明：连结BD，B1D1，
因为M，N分别为B1C1，C1D1的中点，
所以MN∥B1D1，
又在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1∥DD1，且BB1＝DD1，
所以四边形BDD1B1为平行四边形，故BD∥B1D1，
所以MN∥BD，
故M、N、B、D在同一平面上；
（2）解：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为a（a＞0），
则M（2，1，a），N（1，2，a），A（0，0，0），B1（2，0，a），
所以，
因为异面直线MN与AB1所成角的大小为arccos，
所以，解得a＝4，
所以M（2，1，4），N（1，2，4），C（2，2，0），
所以，
设平面CMN的法向量为，
则有，
令z＝1，则x＝y＝4，故，
平面C1MN的一个法向量为，
所以＝，
由图可知，二面角C﹣MN﹣C1的平面角为锐角，
所以二面角C﹣MN﹣C1的大小为．

【点评】本题考查了四点共面的证明以及空间角的应用与求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
18．（14分）设函数f（x）＝lg（1﹣cos2x）+cos（x+θ），θ∈[0，）．
（1）讨论函数y＝f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）设θ＞0，解关于x的不等式f（+x）﹣f（﹣x）＜0．
【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，然后检验f（﹣x）与f（x）的关系即可判断；
（2）结合已知函数解析式，由不等式代入后可转化为求解cos（x+）＜cos（﹣x+θ），然后结合和差角的余弦公式可求．
【解答】解：（1）f（x）＝lg（1﹣cos2x）+cos（x+θ）＝lg（2sin2x）+cos（x+θ），
由sinx≠0可得x≠kπ（k∈Z），关于原点对称，
因为f（﹣x）＝lg（2sin2x）+cos（﹣x+θ），
当θ＝0时，f（x）＝lg（2sin2x）+cosx，f（﹣x）＝lg（2sin2x）+cos（﹣x）＝lg（2sin2x）+cosx＝f（x），
所以函数y＝f（x）是偶函数；
当θ∈（0，）时，f（x）＝lg（2sin2x）+cos（x+θ），f（﹣x）＝lg（2sin2x）+cos（﹣x+θ），
﹣f（﹣x）＝﹣lg（2sin2x）﹣cos（﹣x+θ），
所以f（﹣x）±f（x）≠0，
函数y＝f（x）是非奇非偶函数．
（2）因为f（+x）＝lg2+lgsin2（x+）+cos（x+）＝lg（1+sin2x）+cos（x+），
f（﹣x）＝lg[1﹣cos（﹣2x）]+xos（）＝lg（1+sin2x）+cos（﹣x+θ），
因为f（+x）﹣f（﹣x）＜0，
所以lg（1+sin2x）+cos（x+）＜lg（1+sin2x）+cos（﹣x+θ），
即cos（x+）＜cos（﹣x+θ），
整理得cosθcos（）＜0，
所以cos（）＜0，且1+sin2x＞0，
所以＜＜+2kπ，且x≠2kπ，k∈Z，
解得，且x≠2kπ，k∈Z，
故不等式的解集{x|，且x≠2kπ，k∈Z}．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，解不等式，体现了转化思想及分类讨论实现的应用，属于中档题．
19．（14分）假设在一个以米为单位的空间直角坐标系O﹣xyz中，平面xOy内有一跟踪和控制飞行机器人T的控制台A，A的位置为（170，200，0），上午10时07分测得飞行机器人T在P（150，80，120）处，并对飞行机器人T发出指令：以速度v1＝13米/秒沿单位向量＝（，，﹣）做匀速直线飞行（飞行中无障碍物），10秒后到达Q点，再发出指令让机器人在点原地盘旋2秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到8米/秒，然后保持8米/秒，再沿单位向量＝（，，）做匀速直线飞行（飞行中无障碍物），当飞行机器人T最终落在平面xOy内发出指令让它停止运动，机器人T近似看成一个点．
（1）求从P点开始出发20秒后飞行机器人T的位置；
（2）求在整个飞行过程中飞行机器人T与控制台A的最近距离（精确到米）．

【分析】（1）由已知利用向量的坐标运算性质即可求解；（2）当Q点与A点处于同一垂直线上时，与控制台A的距离最近，然后求出两点间的距离即可求解．
【解答】解：（1）由已知可得机器人T在10秒后到达Q点，
则Q点的坐标为（150，80，120）+13×＝（180，200，80），
在Q点原地盘旋2秒再移动8秒后到达的位置为：
（180，200，80）+8×＝（212，200﹣32，48），
则从P点出发20秒后飞行机器人T的位置为（212，200﹣32，48）；
（2）当0≤t≤10时，||＝
＝，在[0，10]单调递减，
所以当t＝10时，|＝AQ＝10，
当10＜t≤12时，AT，
当12＜t≤32时，T（132+4t，200+48，128﹣4t），
所以||＝＝
＝，当t＝时，ATmin＝73＜81，
所以在整个飞行过程中飞行机器人T与控制台A的最近距离为73米．
【点评】本题考查了函数的实际应用，涉及到向量的坐标运算，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．
20．（16分）曲线＝1与曲线＝1（a＞0）在第一象限的交点为A，曲线是C是＝1（1≤x≤xA）和＝1（x＞xA）组成的封闭图形，曲线C与x轴的左交点为M、右交点为N．
（1）设曲线＝1与曲线＝1（a＞0）具有相同的一个焦点F，求线段AF的方程；
（2）在（1）的条件下，曲线C上存在多少个点S，使得NS＝NF，请说明理由；
（3）设过原点O的直线l与以D（t，0）（t＞0）为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为T，直线l与曲线C在第一象限的两个交点为P、Q，当＝2对任意直线l恒成立，求t的值．

【分析】（1）根据题意可得1+a＝49﹣a，解得a，进而可得椭圆的方程，双曲线的方程，联立解得A点坐标，再写出直线AF的方程，即可得出答案．
（2）在（1）的条件下，N（7，0），分两种情况：当F（﹣5，0）时，当F（5，0）时，分析NS＝NF时，点S的个数．
（3）设圆D（x﹣t）2+y2＝r2，直线l的方程为y＝kx，联立直线l与双曲线的方程，解得P点坐标，联立直线l与椭圆的方程，解得Q点的坐标，再分析当＝2对任意直线l恒成立，解得t的值，即可．
【解答】解：（1）若曲线＝1与曲线＝1（a＞0）具有相同的一个焦点F，
则1+a＝49﹣a，解得a＝24，
所以双曲线的方程为x2﹣＝1，椭圆的方程为+＝1，
联立，解得x＝±，y＝±，
因为A在第一象限，
所以A的坐标为（，），
当F（5，0）时，直线AF的方程为y﹣0＝（x﹣5），即y＝﹣x+（≤x≤5），
当F（﹣5，0）时，直线AF的方程为y﹣0＝（x+5），即y＝x+（﹣5≤x≤）．
（2）在（1）的条件下，N（7，0），
当F（﹣5，0）时，NF＝12，
椭圆C中不存在S点，不符合题意，
当F（5，0）时，NF＝2＝NS，
所以S是以N为原点，半径为2的圆，即（x﹣7）2+y2＝4，
联立，得25x2﹣686x+3381＝0，
Δ＝（﹣686）2﹣4×25×3381＞0，
所以方程组有两组解，
所以存在两个S点，使得NS＝NF．
（3）设圆D（x﹣t）2+y2＝r2，直线l的方程为y＝kx，
联立，得x2＝，
所以xP＝，yP＝k•，
联立，得x2＝，
所以xQ＝，yQ＝k•，
因为|OD|＝t，k＝tan∠TOD，cos∠TOD＝，
所以|OT|＝|OD|•cos∠TOD＝t•，
所以2＝xP2+yP2＝（1+k2）xP2＝（1+k2）•，
2＝xQ2+yQ2＝（1+k2）xQ2＝（1+k2）•，
所以+＝+＝2＝t2•，
所以1﹣k2++k2＝t2，所以t2＝，
解得t＝．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与双曲线、椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21．（18分）设数列{an}满足：an+1＝，an+1≠an，设a1＝a，a2＝b．
（1）设b＝，k＝﹣π，若数列的前四项a1、a2、a3、a4满足a1a4＝a2a3，求a；
（2）已知k＞0，n≥4，n∈N，当a∈（0，），b∈（0，），a＜b时，判断数列{an}是否能成等差数列，请说明理由；
（3）设a＝4，b＝7，k＝1，求证：对一切的n≥1，n∈N，均有an＜π．
【分析】（1）讨论若a＜，若a＞，结合数列{an}的定义，推理，可得结论；
（2）若{an}为等差数列，判断{an}的单调性，得到矛盾，即可得到结论；
（3）运用数学归纳法，首先检验n＝1成立，假设n＝k时，结论成立，再证n＝k+1时，结合假设和已知递推式，可得证明．
【解答】解：（1）若a＜，即a＜b，即a1＜a2，所以a3＝a2+ksina2，
可得﹣＝＜a2，
所以a4＝a3+kcosa3，可得﹣＝﹣，所以a1a4＝a2a3，可得﹣a＝×，可得a＝﹣；
若a＞，同理可得，无解．
所以a＝﹣；
（2）若{an}为等差数列，因为a2＝b＞a1＝a，所以an+an﹣2＝2an﹣1，{an}递增，
d＝an﹣an﹣1＝ksinan﹣1＞0，因为k＞0，所以an﹣1∈（0，π），
又因为{an}递增，所以an﹣1一定会出现大于π，且不满足d＞0，所以矛盾，
所以数列{an}不能成等差数列；
（3）证明：n＝1时，a1＝a＝4＜；
假设n＝k时，ak＜成立，
则n＝k+1时，ak+1＝，
①ak在第一、二象限时，sinak＜1＜成立；
ak在第三、四象限时，sinak＜0，
ak+1＜成立；
②ak在第一、四象限时，cosak＜1＜成立；
ak在第二、三象限时，cosak＜0，所以ak+1＜成立；
所以对一切的n≥1，n∈N，均有an＜π．
【点评】本题考查数列与不等式的综合，以及等差数列的定义，考查分类讨论思想和逻辑推理能力，属于难题．
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