四川省雅安市部分校2022-2023学年高三下学期4月联考数学（理科）试题

这是一份四川省雅安市部分校2022-2023学年高三下学期4月联考数学（理科）试题，共16页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，本试卷主要考试内容，住房的许多建材都会释放甲醛等内容，欢迎下载使用。
2023届高三考试数学试题（理科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，且，则集合可以为（    ）A．{偶数}    B．    C．{质数}    D．2．已知复数，则（    ）A．2    B．    C．4    D．83．2022年11月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（    ）A，猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小B．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍C．去年11月鲜菜价格要比今年11月低D．这7种食品价格同比涨幅的平均值超过7%4．若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（    ）A．     B．     C．    D．5．如图，网格纸小正方形的边长为1，粗实线绘制的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）A．    B．    C．    D．6．小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额为（    ）A．19903元    B．19913元    C．20103元    D．20113元7．若过作的垂线，垂足为，则称向量在上的投影向量为，如图，已知四边形均为正方形，现有下列四个结论：①在上的投影向量为；②在上的投影向量为；③在上的投影向量为；④在上的投影向量为．其中正确的是（    ）A．①③    B．①④    C．②③    D．②④8．执行如图所示的程序框图，若输入的，则（    ）A．输出的的最小值为，最大值为5    B．输出的的最小值为，最大值为4C．输出的的最小值为0，最大值为5      D．输出的的最小值为0，最大值为49．住房的许多建材都会释放甲醛．甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害．新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过，否则，该新房达不到安全入住的标准．若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（    ）A．17周    B．24周    C．26周    D．28周10．已知四棱锥的每个顶点都在球的球面上，球的表面积为平面，底面是等腰梯形，，则（    ）A．4    B．     C．    D．511．已知函数有两个极值点，且，则（    ）A．    B．    C．    D．12．已知双曲线的上焦点为，过焦点作的一条新近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（    ）A．    B．或    C．    D．或二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．写出曲线的一条对称轴的方程：________．14．在这4个数中，最小的是________，最大的是________．（本题第一空2分，第二空3分）15．2023年2月6日，土耳其发生7.8级地震，我国在第一时间派出救援队进行救援．已知某救援队共有8人，根据救灾安排，该救援队需要安排救援人员到三个地区实施救援，每个地区至少安排两人，每人只去一个地区，则共有________种安排方案．16．已知数列和满足，则________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在中，角的对边分别为．（1）求；（2）若，且，求面积的取值范围．18．（12分）某视频主采购了8台不同价位的航拍无人机进行测评，并从重量、体积、画质、图传、续航、避障等多方面进行综合评分．以下是价格和对应的评分数据：价格/百元3681014172232评分4352607174818998（1）根据以上数据，求关于的线性回归方程（系数精确到0.01）．（2）某网友下周将购买一台元的航拍无人机，根据（1）中的回归方程，对即将购买的航拍无人机进行预测评分．设预测评分为（结果精确到整数），若的分布列如下：200025000.60.4求的数学期望．附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．参考数据：．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，为棱上任意一点（不包括端点），为棱上任意一点（不包括端点），且．（1）证明：异面直线与所成角为定值．（2）已知，当三棱锥的体积取得最大值时，求与平面所成角的正弦值．20．（12分）设椭圆方程为分别是椭圆的左、右顶点，动直线过点，当直线经过点时，直线与椭圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于（异于）两点，且直线与的斜率之和为，求直线的方程．21．（12分）已知函数．（1）试问曲线是否存在过原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）证明：．（参考数据：）（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），曲线与轴的交点为（在的上方）．（1）若曲线与轴的交点为，求的面积；（2）设为曲线上任意一点，求线段中点的迹方程（用直角坐标方程表示）．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，若，求的取值范围．2023届高三考试数学试题参考答案（理科）1．C  【解析】本题考查集合的交集，考查数学运算的核心素养．若{偶数}，则；若，则；若{质数}，则;若，则．2．B  【解析】本题考查复数的运算与复数的模，考查数学运算的核心素养．由，得．3．D  【解析】本题考查统计，考查应用意识．由图可知，猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，粮食价格同比涨幅最小，所以A错误．，所以B错误．去年11月鲜菜价格要比今年11月高，所以C错误．因为，所以D正确．4．A  【解析】本题考查抛物线的标准方程与性质，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．依题意可设的标准方程为，因为的焦点到准线的距离为3，所以，所以的标准方程为．5．B  【解析】本题考查简单几何体的体积与三视图，考查空间想象能力与运算求解能力．由三视图可知，该几何体由一个棱长为2的正方体和底面半径为，高为2的圆柱拼接而成，故该几何体的体积为．6．C  【解析】本题考查等差数列的实际应用，考查应用意识与数学建模的核心素养．设小方第天存钱元，则数列从第4项起成等差数列，且该等差数列的首项为1，公差为1，所以小方存钱203天的储蓄总额为元．7．A  【解析】本题考查向量的新概念与向量的加法，考查直观想象的核心素养．过作于．设，则，所以，则，所以在上的投影向量为．连接，根据向量加法的平行四边形法则，得，所以在上的投影向量为．8．A  【解析】本题考查程序框图与线性规划，考查逻辑推理与直观想象的核心素养．作出不等式组表示的可行域（图略），由图可知，当直线过点时，取得最大值4，当直线过点时，取得最小值．因为，且，所以输出的的最小值为，最大值为5．9．C  【解析】本题考查函数的实际应用，考查应用意识与数学运算的核心素养．，由，得，两式相减得，则，所以．该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则，则，即，解得，故至少需要通风26周．10．D  【解析】本题考查四棱锥的外接球，考查空间想象能力与运算求解能力．如图，取的中点，过作，使得，连接在等腰梯形中，由，可得为正三角形．因为底面是等腰梯形，所以为正三角形，所以．由平面，得平面．又，所以到的距离相等，则为球的球心．在中，，所以球的表面积为，解得．11．A  【解析】本题考查导数的应用与导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．由，得，可得．因为，所以两式作差得，则，所以，解得．12．D  【解析】本题考查双曲线的离心率，考查直观想象的核心素养与分类讨论的数学思想．当时，直线与另一条渐近线平行，所以．当时，如图1，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，由，得，则，所以，则，所以，则．当时，如图2，过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，由，得，则，则，所以，则，所以，则．综上，的离心率为或．13．（答案不唯一，只要对称轴方程满足即可）  【解析】本题考查三角函数图象的对称性，考查数学运算的核心素养．令，得．14．;  【解析】本题考查三角函数值与指数大小的比较，考查逻辑推理的核心素养．因为，所以最小的是，最大的是．15．2940  【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查逻辑推理的核心素养．人数分配有2，2，4和3，3，2两种情形，所以共有种安排方案．16．  【解析】本题考查数列的综合，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养．因为，所以，整理得．因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以．因为，所以，则，所以，所以．17．解：（1）因为，所以．                1分在中，，所以，则．                3分因为，所以．                4分（2）由及正弦定理，得，                5分所以．                6分由余弦定理得，，            7分所以，                8分当且仅当时，等号成立．                9分因为，所以，则，            10分所以，因为的面积为，所以面积的取值范围是．    12分18．解：（1），            1分，                2分，            4分，            5分所以关于的线性回归方程为．            6分（2）当时，，            7分则;                8分当时，，            9分则．                10分故的数学期望．                12分【注】第（1）问中要求精确到0.01的估计值，不能将精确到0.01的估计值1.87代入求得，如果这样写“”，不扣分．19．（1）证明：∵四边形为矩形，．                 1分平面．            2分平面，                3分，∴异面直线与所成角为定值，且该定值为．                 4分（2）解：如图，在上取点，使得．由，设，其中．由平面，可得．            5分平面平面．在中，有，可得，可得．            6分的面积为．，可得当时，三棱锥体积的最大值为．            7分当三棱锥的体积取得最大值时，此时为的中点，为的中点．以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则．            8分．设平面的法向量为，则，即                9分令，得．            10分因为，            11分所以当三棱锥的体积取得最大值时，与平面所成角的正弦值为．     12分20．解：（1）依题意可得．                1分当直线经过点时，的方程为，            2分代入，整理得，            3分，            4分解得，所以椭圆的方程为．            5分（2）依题意可得直线的斜率不为0，可设．由得，则                6分则．                8分因为，            9分所以．又因为，所以，            10分则直线的方程为，与联立得，            11分所以的方程为，即．            12分21．（1）解：假设存在，并设切点为．因为，所以，                1分则                2分整理得，解得，                3分所以曲线存在过原点的切线，且切点坐标为．                4分（2）证明：要证，即证，即证．            6分设函数，则．在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以．                8分设函数，则．在区间上，单调递增，在区间上，单调递减，所以．                10分因为，所以，                11分即，故．                12分22．解：（1）对于曲线的参数方程，令，得，则，则．                1分对于曲线的参数方程，令，得或1，                2分则或2，所以．                3分故的面积．                4分（2）对于曲线的参数方程，由，得，                5分代入，得，则曲线的普通方程为．            6分设线段的中点为，则                7分解得                8分因为在曲线上，所以，所以，                9分整理得，所以线段中点的轨迹方程为．            10分23．解：（1）当时，可化为，                1分不等式两边平方，得，整理得，                3分解得．故当时，不等式的解集为．            5分（2）（解法一）当时，由绝对值不等式得． 7分由，得的最小值为4．                8分因为，所以，解得．故的取值范围为．            10分（解法二）当时，             7分当时，;当时，；当时，；当时，．故的最小值为4．                9分因为，所以，解得．故的取值范围为．                10分