新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 第二周 （含解析）

这是一份新高考数学二轮复习 第4部分 高考22题逐题特训 第二周 （含解析），共6页。
第二周周一1．(2020·全国Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.解　(1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.由已知得，解得所以{an}的通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)知log3an＝n－1.故Sn＝.由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得，m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)，即m2－5m－6＝0.解得m＝－1(舍去)或m＝6.周二2．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3BD，cos∠BAD＝.(1)求cos∠ABD；(2)若AD＝4，CD＝3，求BC.解　(1)设BD＝x，则AB＝3x，∵cos∠BAD＝，在△ABD中，由余弦定理可得cos∠BAD＝，即＝，解得AD＝2x.由余弦定理可得，cos∠ABD＝＝＝.(2)∵AD＝4＝2x，∴x＝2.∵cos∠BDC＝cos∠ABD＝，CD＝3，BD＝2，在△BCD中，由余弦定理可得，BC2＝BD2＋DC2－2DB·DC·cos∠BDC＝4＋9－2×2×3×＝9.∴BC＝3.周三3．某校开展学生社会法治服务项目，共设置了文明交通、社区服务、环保宣传和中国传统文化宣讲四个项目，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生，每名学生必须且只能选择1项．(1)求恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率；(2)求“环保宣传”被这4名学生选择的人数ξ的分布列及均值．解　(1)由题意得，基本事件总数n＝44＝256，恰有2个项目没有被这4名学生选择包含的基本事件个数m＝C×(C＋CA)＝84，∴恰有2个项目没有被这4名学生选择的概率P＝＝＝.(2)“环保宣传”被这4名学生选择的人数ξ的可能取值为0,1,2,3,4，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝，P(ξ＝4)＝＝，∴ξ的分布列为ξ01234P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.周四4. (2020·福州质检)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝，BC＝4，O为BC的中点，A1O⊥平面ABC.(1)证明：四边形BB1C1C为矩形；(2)求直线AA1与平面A1B1C所成角的余弦值．(1)证明　连接AO，∵O为BC的中点，可得BC⊥AO，∵A1O⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1O⊥BC，又∵AO∩A1O＝O，AO，A1O⊂平面AA1O，∴BC⊥平面AA1O，又AA1⊂平面AA1O，∴BC⊥AA1，∵BB1∥AA1，∴BC⊥BB1，又∵四边形BB1C1C为平行四边形，∴四边形BB1C1C为矩形．(2)解　如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B(0,2,0)，C(0，－2,0)，在Rt△AOB中，AO＝＝1，在Rt△AA1O中，A1O＝＝2，所以A(1,0,0)，A1(0,0,2)，∴＝(－1,0,2)，＝(0，－2，－2)，＝＝(－1,2,0)，设平面A1B1C的法向量是n＝(x，y，z)，由得即可取n＝(2,1，－1)，设直线AA1与平面A1B1C所成角为θ，则θ∈，sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，∵θ∈，∴cos θ＝＝，即直线AA1与平面A1B1C所成角的余弦值为.周五5．已知点M在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，且点M到C的左、右焦点的距离之和为2.(1)求C的方程；(2)设O为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM(不含端点O，M)上，求·的取值范围．解　(1)由条件知＋＝1,2a＝2，所以a＝，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则AB的中点在线段OM上，且kOM＝，所以x1＋x2＝2(y1＋y2)，又＋y＝1，＋y＝1，两式相减得＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，易知x1－x2≠0，y1＋y2≠0，所以＝－＝－1，即kAB＝－1.设AB方程为y＝－x＋m(m>0)，代入＋y2＝1并整理得3x2－4mx＋2m2－2＝0.由Δ＝8(3－m2)>0，解得m2<3，所以0<m<.由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，故·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(－x1＋m)(－x2＋m)＝2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝m2－.又0<m<，所以·的取值范围是.周六6．已知函数f(x)＝2a2ln x－x2－ax(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，若f(x)在(1，e)上有零点，求实数a的取值范围．解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2a2·－x－a＝－.由f′(x)＝0得x＝a或x＝－2a.当a＝0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，∴f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)，没有单调递增区间．当a>0时，由f′(x)>0得0<x<a，f(x)为增函数，由f′(x)<0得x>a，f(x)为减函数，∴f(x)的单调递增区间是(0，a)，单调递减区间是(a，＋∞)．当a<0时，由f′(x)>0得0<x<－2a，f(x)为增函数，由f′(x)<0得x>－2a，f(x)为减函数，∴f(x)的单调递增区间是(0，－2a)，单调递减区间是(－2a，＋∞)．故当a＝0时，f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)，没有单调递增区间．当a>0时，f(x)的单调递增区间是(0，a)，单调递减区间是(a，＋∞)，当a<0时，f(x)的单调递增区间是(0，－2a)，单调递减区间是(－2a，＋∞)．(2)由(1)得，当a>0时，f(x)的单调递增区间是(0，a)，单调递减区间是(a，＋∞)，f(1)＝－－a<0，当0<a≤1时，f(x)在(1，e)上为减函数，∴f(x)<f(1)<0，∴f(x)无零点，∴a≤1不成立，当1<e≤a时，f(x)在(1，e)为增函数，若f(x)在(1，e)上有零点，则f(e)>0，∴4a2－2ea－e2>0，∴a<e或a>e，∴a≥e，当1<a<e时，f(x)在(1，a)上单调递增，在(a，e)上单调递减，∵f(1)<0，∴f(a)≥0，即2a2ln a－a2－a2≥0，∴ln a≥，∴≤a<e，综上所述，实数a的取值范围为[，＋∞)．