新高考数学二轮复习 第1部分 专题4 第1讲 空间几何体（含解析）

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[考情分析] 几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积与体积是高考题的重点与热点，多以小题的形式进行考查，属于中等难度．
考点一 表面积与体积
核心提炼
1．旋转体的侧面积和表面积
(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．
(3)S球表＝4πR2(R为球的半径)．
2．空间几何体的体积公式
V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)；
V锥＝eq \f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)；
V球＝eq \f(4,3)πR3(R为球的半径)．
例1 (1)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq \f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5eq \r(15)，则该圆锥的侧面积为________．
答案 40eq \r(2)π
解析 因为母线SA与圆锥底面所成的角为45°，
所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形．
设底面圆的半径为r，则母线长l＝eq \r(2)r.
在△SAB中，cs∠ASB＝eq \f(7,8)，所以sin∠ASB＝eq \f(\r(15),8).
因为△SAB的面积为5eq \r(15)，即eq \f(1,2)SA·SBsin∠ASB
＝eq \f(1,2)×eq \r(2)r×eq \r(2)r×eq \f(\r(15),8)＝5eq \r(15)，
所以r2＝40，
故圆锥的侧面积为πrl＝eq \r(2)πr2＝40eq \r(2)π.
(2)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D－BB1C1的体积为________．
答案 eq \f(2\r(3),3)
解析 如图，取BC的中点O，
连接AO.
∵正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，
∴AC＝2，OC＝1，则AO＝eq \r(3).
∵AA1∥平面BCC1B1，
∴点D到平面BCC1B1的距离为eq \r(3).
又＝eq \f(1,2)×2×2＝2，
∴＝eq \f(1,3)×2×eq \r(3)＝eq \f(2\r(3),3).
易错提醒 (1)计算表面积时，有些面的面积没有计算到(或重复计算)．
(2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解．
(3)求几何体体积的最值时，不注意使用基本不等式或求导等确定最值．
跟踪演练1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12eq \r(2)π B．12π
C．8eq \r(2)π D．10π
答案 B
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，由题意可知2r＝h＝2eq \r(2)，∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πr·h＝4π＋8π＝12π.故选B.
(2)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，D和E分别是边BC和AC上异于端点的点，DE⊥BC，将△CDE沿DE折起，使点C到点P的位置，得到四棱锥P－ABDE，则四棱锥P－ABDE的体积的最大值为________．
答案 eq \f(\r(3),27)
解析 设CD＝DE＝x(0