河南省许平汝名校考前定位2023届高三三模文数试题（含解析）

河南省许平汝名校考前定位2023届高三三模文数试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．已知函数则（    ）

A． B． C．2 D．4

4．现有300名老年人，500名中年人，400名青年人，从中按比例用分层随机抽样的方法抽取人，若抽取的老年人与青年人共21名，则的值为（    ）

A．15 B．30 C．32 D．36

5．将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在区间上的值域为（    ）

A． B． C． D．

6．已知向量，若，则实数（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

7．某学校对班级管理实行量化打分，每周一总结，若一个班连续5周的量化打分不低于80分，则为优秀班级.下列能断定该班为优秀班级的是（    ）

A．某班连续5周量化打分的平均数为83，中位数为81

B．某班连续5周量化打分的平均数为83，方差大于0

C．某班连续5周量化打分的中位数为81，众数为83

D．某班连续5周量化打分的平均数为83，方差为1

8．已知三棱锥中，平面ABC，，，，，D为PB的中点，则异面直线AD与PC所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数的最大值为0，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（    ）

A． B． C．8 D．4

11．已知函数，若方程有两个实根，且两实根之和小于0，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知双曲线的左焦点为，是双曲线上的点，其中线段的中点恰为坐标原点，且点在第一象限，若，，则双曲线的渐近线方程为（   ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．十九世纪初，我国数学家董祐诚在研究椭圆求周长时曾说：“椭圆求周旧无其术，秀水朱先生鸿为言圆柱斜剖成椭圆，是可以勾股形求之．”也就是说可以通过斜截圆柱法得到椭圆．若用一个与圆柱底面成60°的平面截该圆柱，则截得的椭圆的离心率为______．

14．若，则__________.

15．已知函数是上的奇函数，则实数______．

16．在正四棱柱中，，点在棱上，平面，则三棱锥的外接球的表面积为__________.

三、解答题

17．在等比数列中，，且成等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，求满足的的最小值.

18．为保护水资源，节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”.从该市随机抽取100户居民进行月用水量调查，发现每户月用水量都在至之间，其频率分布直方图如图所示.

(1)求的值.

(2)估计这100户居民月用水量的中位数.（结果精确到0.1）

(3)该市每户的月用水量计费方法：每户月用水量不超过时按照3元计费；超过但不超过的部分按照5元计费；超过的部分按照8元计费.把这100户居民月用水量的平均数作为该市居民每月用水量的平均数，估计该市平均每户居民月缴纳水费的金额.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）参考数据：.

19．如图所示，在直四棱柱中，，，且是的中点.

(1)证明：；

(2)若，求四棱柱的体积.

20．已知函数．

(1)若，求的单调区间；

(2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．

21．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点.

(1)求的方程；

(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l过点，且倾斜角为．

(1)若l经过C上纵坐标最大的点，求l的参数方程；

(2)若l与C交于A，B两点，且，求的值．

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)已知a，b为正实数，证明：关于x的不等式的解集为．

参考答案：

1．C

【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为或，，

因此，.

故选：C.

2．A

【分析】由复数的除法运算化简，用几何意义确定对应的点所在象限.

【详解】由题得，在复平面内对应的点，位于第一象限.

故选：A

3．B

【分析】根据解析式求解可得答案.

【详解】，∴．

故选：B

4．D

【分析】利用分层抽样的定义即可得到答案.

【详解】由题可知，解得.

故选：D.

5．C

【分析】根据函数变换，得到函数解析式，利用整体思想结合正弦函数的性质，可得答案.

【详解】将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象，

再将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象．

当时，，．

故选：C.

6．B

【分析】利用平面向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标表示求参数.

【详解】，

因为，所以，解得.

故选：B

7．D

【分析】根据方差、平均数、中位数、众数的定义通过举反例即可判断ABC，根据方差计算公式即可判断D.

【详解】若连续5周的量化打分数据为，满足的条件，但第5周的打分低于80分，故A，B错误；

若连续5周的量化打分数据为，满足C的条件，但第5周的打分低于80分，C错误；

根据方差公式，

因为方差为，所以若存在一周的量化打分低于80分，

则方差一定大于1，故能断定该班为优秀班级，D正确.

故选：D.

8．D

【分析】取BC的中点E，则，或其补角即为异面直线AD与PC所成的角，求出所需边长，利用余弦定理求即可.

【详解】如图所示，取BC的中点E，连接AE，DE，

则，或其补角即为异面直线AD与PC所成的角．

由，，，则有，所以，

E为BC的中点，则，

平面ABC，中，，∴

中，，∴，

在中，根据余弦定理可得．

所以异面直线AD与PC所成角的余弦值为.

故选：D

9．A

【分析】对a作分类讨论，根据题意求解.

【详解】若，即当时，∴的最大值为0，满足题意；

若，当时，，不满足题意；

若，当时，当时，当时等号成立，满足题意；

若，当时，，当时，，当时等号成立，满足题意；

若，当时，，当时，，不满足题意；

所以；

故选：A.

10．D

【分析】由可得，求出，利用正弦定理可得答案.

【详解】在中，由可得，

即

所以，因为，

所以，且，

所以，又，可得，

由正弦定理可得．

故选：D.

11．C

【分析】作出与的图像，对k分类，数形结合得答案.

【详解】，易知方程总有一个实根为0，

当时，，，方程没有非零实根.

当时，当时，，；当时，，，

在上单调递减，在上单调递增

如图所示，作出两函数的大致图像，可知坐标原点为两个图像的公共点.

当时，，，

，，与的图像在原点处相切，

当时，，，

，，与的图像在原点处相切，

此时方程仅有一个实根0.

结合图像可知，当时，方程另有一正根，不合题意；

当时，方程另有一负根，符合题意.

故满足条件的的取值范围是.

故选：C.

12．B

【分析】易证得四边形为矩形，设，结合双曲线定义可表示出，在中，利用勾股定理可构造方程求得，由此可得渐近线方程.

【详解】设双曲线的右焦点为，连接，

，，，

又为中点，四边形为矩形；

设，则，，，，

，，解得：，

又，，即，

整理可得：，双曲线的渐近线方程为.

故选：B.

13．/

【分析】画出图形，设圆柱的底面半径为r，则椭圆短轴长为，求出长轴长为，进而可得答案.

【详解】如图，设圆柱的底面半径为r，则椭圆短轴长为，

长轴长为，

即，则，

所以椭圆离心率为

故答案为：

   .  

14．/0.75

【分析】利用同角三角函数的平方关系、倍角公式和辅助角公式化简求值.

【详解】，即，

得，所以.

故答案为：.

15．

【分析】利用奇函数的定义可得出关于实数的等式，解之即可.

【详解】因为函数是上的奇函数，

则，即，

所以，，

所以，，

所以，.

故答案为：.

16．/

【分析】由三角形相似求得，利用三棱锥所在长方体，求外接球的半径和表面积.

【详解】如图所示，设与交于点，连接.

因为平面，平面，所以，

在平面内，可得∽，即，如图所示，

正四棱柱中，，则，，，

则，解得，

三棱锥中，两两互相垂直，

则三棱锥的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同，

外接球直径为，半径为

故其外接球的表面积为.

故答案为：

17．(1)

(2)7

【分析】（1）设的公比为，由题意解出，可得数列通项；

（2）由已知求出数列的通项，得为等差数列，求前项和，结合解不等式即可.

【详解】（1）设的公比为，由，则，解得.

成等差数列，.

得，解得，

.

（2），则有，，

则是以4为首项，2为公差的等差数列，

，

令，得，解得或，

又，的最小值为7.

18．(1)

(2)

(3)69元

【分析】（1）利用频率分布直方图中的各矩形面积之和等于1计算即可；

（2）计算累计频率取到0.5的数据即可；

（3）先利用公式求出用水量的平均数，然后利用分段函数计算缴纳水费即可.

【详解】（1）由频率分布直方图知数据落在内的频率为0.22，

所以；

（2）估计这100户居民月用水量的中位数为.

因为，

所以.由，可得.

（3）估计该市每户居民月用水量的平均数为

，

故估计该市平均每户居民月缴纳水费的金额为（元）.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，求出、，即可得到，由线面垂直得到，即可证明平面，从而得证；

（2）设，利用勾股定理表示出、、，再由求出，最后根据锥体体积公式计算可得.

【详解】（1）如图，连接，，，，，

，，

，，

平面，平面，，

又，平面，平面，

平面，.

（2）设，则由已知可得，

，，

，，即，

解得（负值舍去），，

四棱柱的体积.

20．(1)单调递增区间为和，单调递减区间为；

(2).

【分析】（1）求导后，解不等式可得增区间，解不等式可得减区间；

（2）先由时不等式成立，得，再将不等式化为，构造函数，利用导数求出其最小值，代入可解得结果.

【详解】（1），，

令，得或，

令，得或，令，得，

所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.

（2）关于x的不等式在上恒成立，

即在上恒成立，

当时，得，即，

令，

，

因为，所以，

设，则，

令，得,令，得，

所以在上为减函数，在上为增函数，

所以，即，

所以，所以在上为增函数，

所以，即.

21．(1)

(2)

【分析】（1）根据焦点位置设出抛物线的标准方程，把焦点坐标代入圆的方程，求解即可；

（2）设两点坐标，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理得根与系数的关系，表示出弦长，利用导数求抛物线过两点的切线，求出交点，点到直线距离得三角形的高，根据面积的表达式求最小值.

【详解】（1）由题意，设的方程为，

因为圆经过抛物线的焦点，

所以，解得，

所以的方程为.

（2）如图所示，

设，则，联立方程组整理得，

所以，且，

所以.

由，可得，则，所以抛物线的过点A的切线方程是，

将代入上式整理得，

同理可得抛物线的过点的切线方程为

由解得，所以，

所以到直线的距离，

所以的面积，

当时，，

所以面积的最小值为.

22．(1)（t为参数）

(2)

【分析】（1）将C化为普通方程得其纵坐标最大点的坐标，可得直线l的倾斜角，可求参数方程；

（2）把直线l的参数方程代入C的普通方程，利用参数的几何意义结合，求的值．

【详解】（1）将C的参数方程化为普通方程：，

即C是一个椭圆，C上纵坐标最大的点为其上顶点，

因为l经过点和，所以l的斜率为，即，

故其参数方程可写为（t为参数），即（t为参数）．

注：答案不唯一，其他合理答案例如（t为参数）或（t为参数）．

（2）直线l的参数方程为（t为参数），

将其代入中整理可得，

设A，B在l上对应的参数分别为，，则，且，符号相反，

故，解得．

23．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意，把不等式，转化为等价不等式组，即可求解；

（2）根据题意，求得函数的值域为，再由基本不等式得到和，得到，证得，即可得证.

【详解】（1）解：由得，

可得或或，

分别解得或或，

综上可得不等式的解集为．

（2）解：由题意知，

当，函数为单调递减函数，可得；

当，函数；

当，函数为单调递增函数，可得，

所以函数的值域为

因为是正实数，所以，，所以，

所以，即，

因此对任意，恒成立，即该不等式解集为．