2023届初三升高一数学衔接讲义 第八讲 集合的基本运算（精讲）

2023年初高中衔接素养提升专题讲义

第八讲  集合的基本运算（精讲）（解析版）

【知识点透析】

一、交集

1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，读作“A交B”

2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

3、图形语言：阴影部分为A∩B

4、性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A

5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。

二、并集

1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”

2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

3、符号语言：阴影部分为A∪B

4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B.

5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性

三、补集

1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，

那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U.

2、补集

（1）文字语言：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作.

（2）符号语言：

（3）符号语言：

（4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A.

【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。

四、利用交并补求参数范围的解题思路

1、根据并集求参数范围：，

若A有参数，则需要讨论A是否为空集；

若B有参数，则

2、根据交集求参数范围：

若A有参数，则需要讨论A是否为空集；

若B有参数，则

【知识点精讲】

题型一 并集、交集、补集的运算

【例题1】（2022·浙江·杭十四中高一期中）设全集，集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据并集的定义直接求解即可.

【详解】因为，

所以，

故选：C

【例题2】（2021春•山西大同期中）设集合，，则　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，

．

故选B．

【例题3】．（2022·江苏·高二期末）已知集合，，若，则实数a的值为（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】因为，所以或，解得：．

故选：C．

【例题4】．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））已知集合， ，若，（       ）

A．  B．  C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，由求出的值，进一步求出得答案.

【详解】因为， ，并且，

所以，所以.

故选：B.

【例题5】．（2021·北京昌平区·高二期末）已知全集，集合，，则___________.

【答案】．

【解析】解：，1，2，3，4，，，1，2，，，，

，，，4，.

故答案为：，4，.

【例题6】．（2022·四川南充高一课时检测）已知全集，集合，则（       ）．

A． B．或

C．或 D．或

【答案】D

【分析】直接根据补集概念运算求解即可.

【详解】因为全集，集合，

所以或.

故选：D.

【例题7】．41．（2021·陕西商洛市·镇安中学高一期中）已知集合，．

（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．

【答案】．（1）；（2）或.

【解析】（1）当时，，故；

（2）当时，即当时，，则；

当时，即当时，，

因为，则或，解得或，此时有.

综上所述，实数的取值范围是或.

【变式1】．（2022·河北邢台高二期末）若集合，，则

A．    B．   C． D．

【答案】B

【分析】利用集合的交并运算求、，注意是否存在包含关系，即可得答案.

【详解】因为，，

所以，，相互没有包含关系.

故选：B

【变式2】．（2022·江苏常州高三开学考试） 设集合，，则（       ）

A．  B． C． D．

【答案】A

【分析】先求解二次不等式得，再根据集合运算法则算即可

【详解】由题，，则，

故选：A

【变式3】（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知集合，，则（       ）

A．       B．     C．     D．

【答案】C

【解析】，.

故选：C.

【变式4】．（2022·浙江·三模）已知集合，则（       ）

A．    B．  C． D．

【答案】C

【解析】由题意知：.

故选：C.

题型二  并集、交集、补集综合运算及性质的应用

【例题8】．（2022·河南洛阳高一课时检测）已知全集，集合，，，则集合（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合补集的运算法则进行求解.

【详解】集合，

又

故选：D

【例题9】．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知集合，，且，则实数a的所有值构成的集合是（       ）

A．   B．    C． D．

【答案】D

【分析】根据，对进行分类讨论，由此求得的所有值构成的集合.

【详解】，

当时，，满足，只有D选项符合.

当时，，

要使，则或或，即或或，

所以实数a的所有值构成的集合是. 故选：D

【例题10】．（湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期起点考试）已知集合，，若，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意可得，解得即可.

【详解】解：因为，且，

所以，解得，即；

故选：D

【例题11】．（2022·云南昆明一中高一检测）已知A，B都是非空集合，且．若，，则（       ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】根据交集、并集的运算及新定义求解即可.

【详解】由题意，得，，

故或．

故选：D

【例题12】．（2021·江苏高一专题练习）已知集合，．

（1）若，求实数m的取值范围；

（2）若 ，求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】：（1）因为，所以，

；      

（2）若 ，则 或，不等式组无解，

所以  时，所以

【变式1】（2022·辽宁沈阳高一课前预习）集合，，若，求实数的取值范围.

【答案】．

由题意，知，因为，所以.

（1）若，则1是方程的根，所以. 当时，，符合题意.

（2）若，则2是方程的根，所以.

当时，，此时不满足，所以不符合题意.

（3）若，则，解得，此时.

综上所述，的取值范围为.

【变式2】．（2023·浙江高二开学考试）已知，设集合，，

（1）当时，求集合A．（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）当时，有，解得，故．

（2）∵，∴，

不等式可以表示成，

当时，，此时成立，

当时，，成立，

当时，，若此时成立，则，解得，故．

综上所述，．

【变式3】．（2022·四川乐山市高一单元测试）已知集合，．

(1)在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，求；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析   (2)

【分析】（1）代入的值求出集合，再求并集可得答案；

（2）求出，根据可得，分、讨论可得答案.

（1）选择条件①：

因为，所以，

又，所以；

选择条件②：

因为，所以，

又，所以；

选择条件③：

因为，所以，

又，所以；

（2）因为，所以，

因为，所以，

当时，满足，此时，即，

当时，则或，

解得或，

综上，a的取值范围为．

题型三  Venn图的应用

【例题13】．（2021·贵州省思南中学高三月考（理））已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】．B

【解析】，所以，

图象表示集合为，

，.

故选：B

【例题14】．（2021·全国高三其他模拟）已知全集，集合，，则下列Venn图中阴影部分表示的集合为（    ）

A．      B．     C． D．

【答案】．C

【解析】

，

集合．

因为集合，所以，

所以Venn图中阴影部分表示的集合为，

故选：C．

【例题15】．（2021·山东济南·高一期中）国庆期间，高一某班名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有人观看了《长津湖》，有人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据集合的运算可得答案.

【详解】解：由已知得同时观看了这两部电影的人数为.

故选：A.

【变式】．（2021·广东·广州外国语学校高一检测）某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加项不参加项的有（       ）

A．7人 B．8人 C．9人 D．10人

【答案】D

【分析】设，两项公益活动都参加的有人，得出仅参加，项和两项公益活动都不参加的人数，列出方程，即可求解.

【详解】如图所示，设，两项公益活动都参加的有人，

则仅参加项的有人，仅参加项的有人，

，两项公益活动都不参加的有人，

由题意得，解得，

所以只参加项不参加项的有人）.

故选D．

题型四  集合新定义创新类型

【例12】．（2021·全国高一单元测试）已知对于集合、，定义，.设集合，集合，则中元素个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】．D

【解析】∵，，

∴，，

∴，其中有个元素，故选D.

（2021·湖北·葛洲坝中学高一期中）已知集合，是实数集的子集，定义，若集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求函数的值域求得，由此求得.

【详解】在上递减，所以，

的对称轴为轴，所以，

所以.

故选:B

【变式1】（2022·山西太原高三专题检测）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”的个数是（    ）

A．16 B．9 C．8 D．4

【答案】B

【解析】由题意，对子集分类讨论：

当集合，集合可以是，共4中结果；

当集合，集合可以是，共2种结果；

当集合，集合可以是，共2种结果；

当集合，集合可以是，共1种结果，

根据计数原理，可得共有种结果.

故选：B.

【变式2】．（2023·四川成都高三专题模拟）对于两个正整数m，n，定义某种运算“⊙”如下，当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的个数是_____.

【答案】13

【解析】∵当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n＝m+n；

当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n＝mn，

∴集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}

＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），

（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，

共13个元素，

故答案为：13